Contrôle de maths L3 : extensions de corps et corps finis

Exercice 1 : Question de cours : la base télescopique (3 points)

Calculatrice interdite.

Soit \(K \subset L \subset M\) trois corps. On suppose les extensions \(L/K\) et \(M/L\) finies.

1. Énoncez le théorème de la base télescopique et démontrez-le. Vous partirez d’une base \((e_i)_{1 \leq\, i \leq\, n}\) de \(L\) sur \(K\) et d’une base \((f_j)_{1 \leq\, j \leq\, m}\) de \(M\) sur \(L\). (2 points)
2. Soit \(\alpha \in M\). Montrez que \(\alpha\) est algébrique sur \(K\) et que son degré sur \(K\) divise \([M : K]\). (1 point)

Exercice 2 : Degré de Q(√2, √3) et polynôme minimal de √2 + √3 (5 points)

On pose \(L = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\) et \(\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}\).

1. Montrez que \(\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})\). (1 point)
2. Déduisez-en le degré \([L : \mathbb{Q}]\) et donnez une base de \(L\) sur \(\mathbb{Q}\). (1,5 point)
3. Trouvez un polynôme unitaire \(P \in \mathbb{Q}[X]\) de degré 4 tel que \(P(\alpha) = 0\). (1 point)
4. Calculez \(\alpha^3\) et exprimez \(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{3}\) en fonction de \(\alpha\). Montrez ensuite que \(\mathbb{Q}(\alpha) = L\). Déduisez-en le polynôme minimal de \(\alpha\) sur \(\mathbb{Q}\). (1,5 point)

Exercice 3 : Corps de décomposition de X³ − 2 (3 points)

On note \(j = e^{2i\pi/3}\). Les racines complexes de \(X^3 – 2\) sont représentées ci-dessous.

1. Montrez que \(X^3 – 2\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\). Donnez ses trois racines complexes. (1 point)
2. On note \(K\) le corps de décomposition de \(X^3 – 2\) sur \(\mathbb{Q}\). Montrez que \(K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, j)\), puis que \([K : \mathbb{Q}] = 6\). (1,5 point)
3. Les corps \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) et \(\mathbb{Q}(j\sqrt[3]{2})\) sont-ils égaux ? Justifiez. (0,5 point)

Exercice 4 : Corps finis F4 et F8, cyclicité du groupe multiplicatif (5 points)

1. Montrez que \(X^2 + X + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{F}_2\). On pose \(\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[X]/(X^2 + X + 1)\) et on note \(\omega\) la classe de \(X\). Donnez les éléments de \(\mathbb{F}_4\), puis dressez ses tables d’addition et de multiplication. (1,5 point)
2. On admet que \(X^3 + X + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{F}_2\). On pose \(\mathbb{F}_8 = \mathbb{F}_2[X]/(X^3 + X + 1)\) et on note \(\beta\) la classe de \(X\). Écrivez \(\beta^k\), pour \(0 \leq\, k \leq\, 7\), dans la base \((1, \beta, \beta^2)\). Déduisez-en que \(\beta\) engendre le groupe \(\mathbb{F}_8^{*}\). (1,5 point)
3. Soit \(F\) un corps fini de cardinal \(q\). On admet que \(\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n\) pour tout entier \(n \geq\, 1\), où \(\varphi\) est l’indicatrice d’Euler. Démontrez que le groupe \(F^{*}\) est cyclique. Trouvez ensuite un générateur de \(\mathbb{F}_{13}^{*}\). (2 points)

Exercice 5 : Problème : la duplication du cube et la trisection (4 points)

On admet le théorème de Wantzel : si un réel \(x\) est constructible à la règle et au compas, il existe une suite de corps \(\mathbb{Q} = K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_m\) telle que \([K_{i+1} : K_i] = 2\) pour tout \(i\), et \(x \in K_m\).

1. Montrez que le degré \([\mathbb{Q}(x) : \mathbb{Q}]\) d’un réel constructible est une puissance de 2. (1,5 point)
2. Dupliquer le cube consiste à construire l’arête d’un cube de volume double de celui d’un cube d’arête 1. Montrez que c’est impossible à la règle et au compas. (1 point)
3. On pose \(c = \cos(\frac{\pi}{9})\) et \(x = 2c\). À l’aide de la formule \(\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta – 3\cos\theta\), montrez que \(x^3 – 3x – 1 = 0\). Montrez ensuite que \(x\) n’est pas constructible. Qu’en déduisez-vous pour la trisection de l’angle de \(60^\circ\) ? (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : extensions de corps et corps finis

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Corps et extensions » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés corps et extensions.

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