Contrôle de maths L3 : modes de convergence, Borel-Cantelli et TCL

Exercice 1 : Question de cours : Borel-Cantelli et convergence L^p (3,5 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Toutes les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\). Pour une suite d’événements \((A_n)\), on note \(\limsup A_n = \displaystyle\bigcap_{n \geq\, 1}\bigcup_{k \geq\, n} A_k\).

1. Énoncez les deux lemmes de Borel-Cantelli, avec leurs hypothèses exactes. (1 point)
2. Démontrez le premier lemme de Borel-Cantelli. (1,5 point)
3. Soit \(p \geq\, 1\). Démontrez que la convergence dans \(L^p\) entraîne la convergence en probabilité. (1 point)

Exercice 2 : Des exemples qui séparent les convergences (4,5 points)

1. On munit \(\Omega = [0, 1]\) de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue. On pose \(X_n = n\,\mathbf{1}_{[0, 1/n]}\) pour \(n \geq\, 1\). Montrez que \((X_n)\) converge vers \(0\) presque sûrement et en probabilité, mais pas dans \(L^1\). (1,5 point)

2. Soit \((Y_n)_{n \geq\, 1}\) une suite de variables indépendantes, avec \(Y_n\) de loi de Bernoulli de paramètre \(\dfrac{1}{n}\). Montrez que \((Y_n)\) converge vers \(0\) dans \(L^p\) pour tout \(p \geq\, 1\), mais qu’elle ne converge pas presque sûrement. (1,5 point)
3. Soit \(Z\) de loi \(\mathcal{N}(0, 1)\) et \(Z_n = (-1)^n Z\). Montrez que \((Z_n)\) converge en loi vers \(Z\), mais pas en probabilité. (1,5 point)

Exercice 3 : Longues séries de pile (4 points)

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. On modélise les lancers par une suite \((\varepsilon_k)_{k \geq\, 1}\) de variables indépendantes, avec \(\mathbb{P}(\varepsilon_k = 1) = \mathbb{P}(\varepsilon_k = 0) = \dfrac{1}{2}\). L’issue \(\varepsilon_k = 1\) signifie « pile au lancer \(k\) ».

1. Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(\ell_n = \lceil 2\log_2 n \rceil\) et \(A_n\) l’événement « les lancers \(n, n+1, \ldots, n + \ell_n – 1\) donnent tous pile ». Montrez que, presque sûrement, seul un nombre fini d’événements \(A_n\) se réalisent. (1,5 point)
2. Soit \(\ell \geq\, 1\) un entier fixé. Montrez que, presque sûrement, on observe une infinité de séries d’au moins \(\ell\) piles consécutifs. On pourra découper les lancers en blocs disjoints de longueur \(\ell\). (1,5 point)
3. Montrez que, presque sûrement, il existe pour tout entier \(\ell\) une infinité de séries d’au moins \(\ell\) piles consécutifs. Comparez avec la question a). (1 point)

Exercice 4 : Loi faible des grands nombres et loi de Poisson (4 points)

1. Énoncez et démontrez la loi faible des grands nombres dans \(L^2\) à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Précisez les hypothèses. (1,5 point)
2. Soit \(\lambda > 0\) et, pour \(n > \lambda\), \(S_n\) de loi binomiale \(\mathcal{B}(n, \frac{\lambda}{n})\). Calculez la fonction caractéristique de \(S_n\) et celle de la loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\). (1 point)
3. On admet que \(|a^n – b^n| \leq\, n|a – b|\) pour tous complexes \(a, b\) de module au plus 1. Montrez que \(\varphi_{S_n}(t)\) tend vers \(\exp(\lambda(e^{it} – 1))\). Concluez avec le théorème de Lévy, que vous énoncerez. (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : approximation par le théorème central limite (4 points)

On reprend les lancers \((\varepsilon_k)\) de l’exercice 3 et on note \(S_n = \varepsilon_1 + \cdots + \varepsilon_n\) le nombre de piles en \(n\) lancers. On note \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi \(\mathcal{N}(0, 1)\). On donne \(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\) et \(\Phi(2) \approx 0{,}977\).

1. Énoncez le théorème central limite avec ses hypothèses exactes. (1 point)
2. On prend \(n = 10\,000\). Par quelle loi peut-on approcher celle de \(\dfrac{S_n – 5\,000}{50}\) ? Justifiez. (0,5 point)
3. Donnez une valeur approchée de \(\mathbb{P}(4\,900 \leq\, S_n \leq\, 5\,100)\). Justifiez le passage à la limite. (1 point)
4. Minorez la même probabilité par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Comparez les deux résultats. (1 point)
5. À l’aide du théorème central limite, déterminez un nombre de lancers \(n\) à partir duquel la fréquence de pile est à moins de \(0{,}01\) de \(\frac{1}{2}\) avec une probabilité d’environ \(0{,}95\). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : modes de convergence, Borel-Cantelli et TCL

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Loi des grands nombres et TCL » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés loi des grands nombres et tcl.

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