Contrôle de maths L3 : Cauchy-Lipschitz, Gronwall et portrait de phase

Exercice 1 : Question de cours : le lemme de Gronwall (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Soit \(t_0 < T\), \(C \in \mathbb{R}\), et \(u, a\) deux fonctions continues sur \([t_0, T]\), avec \(a \geq\, 0\).

1. Énoncez le lemme de Gronwall : si \(u(t) \leq\, C + \displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,u(s)\,\mathrm{d}s\) pour tout \(t \in [t_0, T]\), quelle majoration de \(u\) obtient-on ? (1 point)
2. Démontrez ce lemme. On pourra étudier \(v(t) = C + \displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,u(s)\,\mathrm{d}s\) et la fonction \(t \mapsto v(t)\,e^{-A(t)}\), où \(A(t) = \displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,\mathrm{d}s\). (2 points)
3. Soit \(f : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) continue et \(L\)-lipschitzienne par rapport à sa seconde variable. Déduisez du lemme que deux solutions de \(y^{\prime} = f(t,y)\) définies sur \([t_0, T]\) et égales en \(t_0\) sont égales sur \([t_0, T]\). (1 point)

Exercice 2 : Explosion en temps fini (4 points)

On considère l’équation différentielle \(y^{\prime} = y^2\), avec la condition initiale \(y(0) = y_0\), où \(y_0 \in \mathbb{R}\).

1. Justifiez que ce problème de Cauchy admet une unique solution maximale. (1 point)
2. Traitez le cas \(y_0 = 0\). Pour \(y_0 \neq 0\), montrez que la solution maximale ne s’annule pas, puis déterminez son expression. (1,5 point)
3. Précisez l’intervalle de définition de la solution maximale selon le signe de \(y_0\) et son comportement aux bornes. Pourquoi parle-t-on d’explosion en temps fini ? (1,5 point)

Exercice 3 : Une solution globale par le théorème des bouts (3 points)

On considère l’équation \(y^{\prime} = \cos(ty)\), avec \(y(0) = y_0 \in \mathbb{R}\). On note \(y\) la solution maximale, définie sur \(]T_{-}, T_{+}[\).

1. Justifiez l’existence et l’unicité de cette solution maximale. (1 point)
2. Montrez que \(|y(t) – y_0| \leq\, |t|\) pour tout \(t \in \,]T_{-}, T_{+}[\). (1 point)
3. Énoncez le théorème des bouts (ou de sortie de tout compact), puis montrez que \(T_{+} = +\infty\) et \(T_{-} = -\infty\). (1 point)

Exercice 4 : Système linéaire et exponentielle de matrice (4 points)

On considère le système \(X^{\prime} = AX\), où \(X(t) \in \mathbb{R}^2\) et \(A = \begin{pmatrix} 1 4 \\ -1 1 \end{pmatrix}\).

1. On pose \(N = A – I_2\). Calculez \(N^2\), puis \(N^{2m}\) et \(N^{2m+1}\) pour \(m \in \mathbb{N}\). (1 point)
2. Déduisez-en que \(\exp(tN) = \cos(2t)\,I_2 + \dfrac{\sin(2t)}{2}\,N\), puis écrivez cette matrice. (1,5 point)
3. Calculez \(\exp(tA)\) en justifiant, puis la solution telle que \(X(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). (1 point)
4. Pour \(X(t) = \begin{pmatrix} u(t) \\ v(t) \end{pmatrix}\) solution quelconque, calculez \(u(t)^2 + 4v(t)^2\) en fonction de \(t\) et de \(X(0)\). Décrivez les trajectoires et la stabilité de l’origine. (0,5 point)

Exercice 5 : Problème : le pendule amorti (5 points)

On étudie le système autonome, modèle d’un pendule soumis à un frottement :

\[\{ \begin{aligned} x^{\prime} = y \\ y^{\prime} = -\sin x – y \end{aligned} .\]

On note \(F(x,y) = (y, -\sin x – y)\).

1. Montrez que \(F\) est lipschitzienne sur \(\mathbb{R}^2\). Déduisez-en que toute solution maximale est définie sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
2. Déterminez les points d’équilibre du système. (0,5 point)
3. Calculez la matrice jacobienne de \(F\) en \((0,0)\) et ses valeurs propres. Déduisez-en la stabilité de cet équilibre en citant le théorème utilisé. (1,5 point)
4. Même question en \((\pi, 0)\). (1 point)
5. On pose \(E(x,y) = \dfrac{y^2}{2} + 1 – \cos x\). Montrez que \(E\) décroît le long de toute trajectoire. (0,5 point)
6. Tracez l’allure du portrait de phase pour \(x \in [-2\pi, 2\pi]\) et \(y \in [-3, 3]\). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : Cauchy-Lipschitz, Gronwall et portrait de phase

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Équations différentielles » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés équations différentielles.

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