Calcul différentiel : cours de maths en L3 en PDF.

Soit \(f : U \to F\) et \(a \in U\). On dit que \(f\) est différentiable en \(a\) s’il existe \(L \in \mathcal{L}_c(E,F)\) telle que
\[ f(a+h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|) \quad \text{lorsque } h \to 0. \]
Autrement dit, \(\|f(a+h)-f(a)-L(h)\| / \|h\| \to 0\). L’application \(L\) est alors unique : c’est la différentielle de \(f\) en \(a\), notée \(df(a)\).

La différentiabilité et la différentielle ne changent pas si l’on remplace les normes de \(E\) et de \(F\) par des normes équivalentes. En particulier, en dimension finie, elles ne dépendent pas des normes choisies.

Voici trois différentielles à connaître.

• Si \(u \in \mathcal{L}_c(E,F)\), alors \(u(a+h) = u(a) + u(h)\) : ainsi \(du(a) = u\) en tout point.
• Si \(B : E_1 \times E_2 \to F\) est bilinéaire continue, alors \(B(x+h,y+k) = B(x,y) + B(x,k) + B(h,y) + B(h,k)\). Or \(\|B(h,k)\| \leq\, \|B\|\,\|h\|\,\|k\| = o(\|(h,k)\|)\). Par conséquent \(dB(x,y)(h,k) = B(x,k) + B(h,y)\).
• Sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) muni d’une norme d’algèbre, \(f(M) = M^2\) vérifie \((M+H)^2 = M^2 + MH + HM + H^2\). Donc \(df(M)(H) = MH + HM\), qui diffère de \(2MH\) dès que \(M\) et \(H\) ne commutent pas.

Soit \(v \in E\). La dérivée de \(f\) en \(a\) selon \(v\) est, si elle existe, la limite
\[ D_v f(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a+tv)-f(a)}{t}. \]
C’est la dérivée en \(0\) de la fonction d’une variable \(\varphi_v(t) = f(a+tv)\).

Si \(f\) est différentiable en \(a\), elle admet une dérivée selon tout vecteur \(v\), et \(D_v f(a) = df(a)(v)\). En particulier, \(v \mapsto D_v f(a)\) est linéaire.

La réciproque est fausse. Pour \(f(x,y) = \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}\) et \(f(0,0)=0\), toutes les dérivées directionnelles existent en \(0\). Cependant \(f(x,x^2) = \frac{1}{2}\) pour \(x \neq 0\) : la fonction n’est même pas continue en \(0\). L’existence de dérivées dans toutes les directions ne suffit donc jamais.

Soit \(f = (f_1,\ldots,f_p) : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\) différentiable en \(a\). La matrice jacobienne de \(f\) en \(a\) est la matrice de \(df(a)\) dans les bases canoniques :
\[ J_f(a) = ( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) )_{1 \leq\, i \leq\, p,\ 1 \leq\, j \leq\, n} \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R}). \]
Lorsque \(p=1\), le vecteur \(\nabla f(a)\) défini par \(df(a)(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle\) est le gradient.

L’application \(f : U \to F\) est de classe \(C^1\) si elle est différentiable en tout point de \(U\) et si \(df : U \to \mathcal{L}_c(E,F)\) est continue, l’espace d’arrivée étant muni de la norme subordonnée.

Soit \(f : U \subset \mathbb{R}^n \to F\). Si les dérivées partielles \(\partial_1 f, \ldots, \partial_n f\) existent en tout point de \(U\) et sont continues sur \(U\), alors \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(U\). La réciproque est vraie.

Traitons \(n = 2\), le cas général étant identique. Soit \(a \in U\) et \(h = (h_1,h_2)\) petit. On écrit
\[ f(a+h)-f(a) = \big[f(a_1+h_1,a_2+h_2) – f(a_1,a_2+h_2)\big] + \big[f(a_1,a_2+h_2)-f(a)\big]. \]
Le second crochet vaut \(h_2\,\partial_2 f(a) + o(h_2)\) par définition de \(\partial_2 f(a)\). Pour le premier, on applique l’inégalité des accroissements finis de la partie IV à \(t \mapsto f(a_1+t,a_2+h_2) – t\,\partial_1 f(a)\) sur le segment d’extrémités \(0\) et \(h_1\). Sa dérivée est \(\partial_1 f(a_1+t,a_2+h_2) – \partial_1 f(a)\). Par continuité de \(\partial_1 f\), elle est de norme \(\varepsilon(h) \to 0\). Ainsi le premier crochet vaut \(h_1\,\partial_1 f(a) + o(\|h\|)\). Finalement, \(f\) est différentiable en \(a\). Enfin, \(df\) est continue car ses « coordonnées » \(\partial_j f\) le sont.

Pour montrer qu’une application est de classe \(C^1\) :

• en dimension finie, calculez les dérivées partielles et prouvez leur continuité, en isolant les points délicats (souvent l’origine) ;
• en dimension infinie, calculez d’abord \(df(a)\) par un développement de \(f(a+h)\), puis majorez \(\|df(a)-df(b)\|\) en norme subordonnée ;
• sinon, utilisez les théorèmes d’opérations : sommes, produits, composées de fonctions \(C^1\) sont \(C^1\).

Une fonction peut être différentiable sans être de classe \(C^1\). Par exemple, \(g(x,y) = (x^2+y^2)\sin\big(1/\sqrt{x^2+y^2}\big)\), prolongée par \(g(0,0)=0\), est différentiable en \(0\) de différentielle nulle. Pourtant, ses dérivées partielles n’ont pas de limite en \(0\).

Soient \(E\), \(F\), \(G\) trois espaces normés, \(f : U \subset E \to F\) différentiable en \(a\) et \(g : V \subset F \to G\) différentiable en \(b = f(a)\), avec \(f(U) \subset V\). Alors \(g \circ f\) est différentiable en \(a\) et
\[ d(g \circ f)(a) = dg\big(f(a)\big) \circ df(a). \]
En dimension finie, cela s’écrit \(J_{g \circ f}(a) = J_g\big(f(a)\big)\, J_f(a)\).

Posons \(k = f(a+h)-f(a) = df(a)(h) + \|h\|\varepsilon_1(h)\), avec \(\varepsilon_1(h) \to 0\). En particulier \(\|k\| \leq\, (\|df(a)\| + \|\varepsilon_1(h)\|)\|h\|\), donc \(k \to 0\). De même, \(g(b+k) = g(b) + dg(b)(k) + \|k\|\varepsilon_2(k)\). En remplaçant,
\[ g(f(a+h)) – g(f(a)) = dg(b)\big(df(a)(h)\big) + \|h\|\,dg(b)\big(\varepsilon_1(h)\big) + \|k\|\,\varepsilon_2(k). \]
Le deuxième terme est un \(o(\|h\|)\) par continuité de \(dg(b)\). Le troisième aussi, puisque \(\|k\| = O(\|h\|)\) et \(\varepsilon_2(k) \to 0\). D’où le résultat.

Pour \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) différentiable, posons \(F(r,\theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)\). La règle de la chaîne donne
\[ \frac{\partial F}{\partial r} = \cos\theta\, \partial_1 f + \sin\theta\, \partial_2 f, \qquad \frac{\partial F}{\partial \theta} = -r\sin\theta\, \partial_1 f + r\cos\theta\, \partial_2 f, \]
les dérivées de \(f\) étant prises en \((r\cos\theta, r\sin\theta)\).

L’ensemble \(GL_n(\mathbb{R})\) est un ouvert de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), et l’inversion \(\iota : M \mapsto M^{-1}\) y est différentiable, avec
\[ d\iota(M)(H) = -M^{-1} H M^{-1}. \]
De plus, \(\det\) est différentiable et \(d\det(M)(H) = \mathrm{tr}\big({^t\mathrm{com}(M)\, H\big)\) ; en particulier, \(d\det(I_n)(H) = \mathrm{tr}(H)\).

D’abord, \(GL_n(\mathbb{R}) = \det^{-1}(\mathbb{R}^*)\) est ouvert, car \(\det\) est polynomiale donc continue. Ensuite, si \(\|H\| < 1\), la série \(\sum_k (-H)^k\) converge et \(I+H\) est inversible d’inverse \(I – H + \sum_{k \geq\, 2} (-H)^k\). Le reste est majoré par \(\|H\|^2/(1-\|H\|)\) : ainsi \((I+H)^{-1} = I – H + o(\|H\|)\). Enfin, \((M+H)^{-1} = (I + M^{-1}H)^{-1} M^{-1}\), ce qui donne \(M^{-1} – M^{-1}HM^{-1} + o(\|H\|)\). Pour le déterminant, voir l’exercice consacré à cette formule.

Pour calculer une différentielle :

• écrivez \(f(a+h)\) et développez ;
• repérez le terme linéaire en \(h\) et vérifiez qu’il est continu ;
• majorez le reste par \(C\|h\|^2\) ou montrez qu’il est un \(o(\|h\|)\) ;
• si \(f\) est une composée, préférez la règle de la chaîne.

Soit \(g : [0,1] \to F\) continue, dérivable sur \([0,1[\), avec \(\|g^{\prime}(t)\| \leq\, k\) pour tout \(t\). Alors \(\|g(1)-g(0)\| \leq\, k\).

Fixons \(\varepsilon > 0\). Soit \(A\) l’ensemble des \(t \in [0,1]\) tels que \(\|g(s)-g(0)\| \leq\, (k+\varepsilon)s\) pour tout \(s \in [0,t]\). C’est un intervalle contenant \(0\), fermé par continuité de \(g\). Posons \(c = \max A\) et supposons \(c < 1\). Par dérivabilité en \(c\), pour \(h > 0\) assez petit, \(\|g(c+h)-g(c)-hg^{\prime}(c)\| \leq\, \varepsilon h\). Par conséquent,
\[ \|g(c+h)-g(0)\| \leq\, (k+\varepsilon)c + kh + \varepsilon h = (k+\varepsilon)(c+h). \]
Donc \(c+h \in A\), ce qui contredit la maximalité de \(c\). Ainsi \(c = 1\), puis on fait tendre \(\varepsilon\) vers \(0\).

Inégalité des accroissements finis. Soit \(f : U \to F\) différentiable et \(x, y \in U\) tels que le segment \([x,y]\) soit inclus dans \(U\). Si \(\|df(z)\| \leq\, k\) pour tout \(z \in [x,y]\), alors
\[ \|f(y)-f(x)\| \leq\, k\,\|y-x\|. \]
En particulier, si \(U\) est convexe et \(\sup_U \|df\| \leq\, k\), alors \(f\) est \(k\)-lipschitzienne sur \(U\).

Si \(U\) est un ouvert connexe et si \(df(x) = 0\) pour tout \(x \in U\), alors \(f\) est constante sur \(U\).

Fixons \(a \in U\) et posons \(A = \{x \in U : f(x) = f(a)\}\). D’abord, \(A\) est fermé dans \(U\) par continuité de \(f\). Ensuite, \(A\) est ouvert : si \(x \in A\) et \(B(x,r) \subset U\), la boule est convexe, donc \(f\) y est constante par l’inégalité avec \(k = 0\). Enfin \(A\) est non vide. Par connexité, \(A = U\).

L’application \(F(x,y) = \big(\frac{1}{3}\sin(x+y), \frac{1}{3}\cos(x-y)\big)\) a une jacobienne de norme euclidienne subordonnée au plus \(\frac{\sqrt{2}}{3}\). Elle est donc \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}^2\), c’est-à-dire contractante.

On dit que \(f\) est deux fois différentiable en \(a\) si \(df\) est différentiable en \(a\). On note \(d^2f(a) = d(df)(a) \in \mathcal{L}_c\big(E, \mathcal{L}_c(E,F)\big)\), que l’on identifie à l’application bilinéaire continue \((h,k) \mapsto d^2f(a)(h,k) = \big(d(df)(a)(k)\big)(h)\). L’application \(f\) est de classe \(C^2\) si \(d^2 f\) existe et est continue sur \(U\). On définit de même la classe \(C^k\).

Pour \(f(M) = M^2\), on a \(df(M)(H) = MH + HM\). Cette expression est linéaire en \(M\) pour \(H\) fixé. Sa dérivée selon \(K\) vaut donc \(KH + HK\). Ainsi \(d^2f(M)(H,K) = HK + KH\), qui est bien symétrique en \((H,K)\).

Théorème de Schwarz. Si \(f\) est deux fois différentiable en \(a\), alors \(d^2f(a)\) est une application bilinéaire symétrique. En particulier, si \(f : U \subset \mathbb{R}^n \to F\) est de classe \(C^2\), alors \(\partial_i \partial_j f = \partial_j \partial_i f\) pour tous \(i, j\), et la hessienne est symétrique.

Donnons l’idée pour \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) de classe \(C^2\). Posons \(\Delta(t) = f(a+te_1+te_2) – f(a+te_1) – f(a+te_2) + f(a)\). D’une part, avec \(\psi(s) = f(a+se_1+te_2) – f(a+se_1)\), on a \(\Delta(t) = \psi(t)-\psi(0)\). Le théorème des accroissements finis appliqué deux fois donne \(\Delta(t) = t^2\,\partial_2\partial_1 f(c_t)\), avec \(c_t \to a\). D’autre part, en échangeant les rôles des variables, \(\Delta(t) = t^2\,\partial_1\partial_2 f(c^{\prime}_t)\). Enfin, on divise par \(t^2\) et on utilise la continuité des dérivées secondes.

Sans hypothèse de régularité, les dérivées croisées peuvent différer. Pour \(f(x,y) = \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\) et \(f(0,0) = 0\), on trouve \(\partial_2\partial_1 f(0,0) = -1\) alors que \(\partial_1\partial_2 f(0,0) = 1\). Cette fonction est \(C^1\) mais pas \(C^2\).

Formule de Taylor-Young. Si \(f : U \to F\) est deux fois différentiable en \(a\), alors
\[ f(a+h) = f(a) + df(a)(h) + \frac{1}{2}\, d^2f(a)(h,h) + o(\|h\|^2). \]
Pour \(f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), le terme d’ordre deux s’écrit \(\frac{1}{2}\, {^t h\, H_f(a)\, h\).

Taylor avec reste intégral. Si \(F\) est complet, si \(f\) est de classe \(C^2\) et si \([a,a+h] \subset U\), alors
\[ f(a+h) = f(a) + df(a)(h) + \int_0^1 (1-t)\, d^2f(a+th)(h,h)\,dt. \]
Inégalité de Taylor-Lagrange. Si de plus \(\|d^2f(z)\| \leq\, M\) sur \([a,a+h]\), alors \(\|f(a+h)-f(a)-df(a)(h)\| \leq\, \frac{M}{2}\|h\|^2\).

On pose \(g(t) = f(a+th)\), de classe \(C^2\) sur \([0,1]\). La règle de la chaîne donne \(g^{\prime}(t) = df(a+th)(h)\) et \(g^{\prime\prime}(t) = d^2f(a+th)(h,h)\). Il suffit alors d’appliquer la formule de Taylor avec reste intégral en dimension un : \(g(1) = g(0) + g^{\prime}(0) + \int_0^1 (1-t) g^{\prime\prime}(t)\,dt\). Enfin, l’inégalité découle de \(\int_0^1 (1-t)\,dt = \frac{1}{2}\).

Pour \(f(x,y) = e^x\cos y\) en \(0\), on a \(\nabla f(0) = (1,0)\) et \(H_f(0) = \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 -1 \end{pmatrix}\). Donc
\[ e^x \cos y = 1 + x + \frac{x^2-y^2}{2} + o(x^2+y^2). \]
La figure ci-dessous superpose les lignes de niveau de \(f\) et celles de ce polynôme : elles se confondent près de l’origine.

Pour écrire une formule de Taylor à l’ordre \(2\) en \(a\) :

• calculez le gradient et la hessienne en \(a\), ou bien \(df(a)\) et \(d^2f(a)(h,h)\) directement ;
• vérifiez la symétrie de la hessienne, qui contrôle vos calculs grâce au théorème de Schwarz ;
• à défaut, développez \(f(a+h)\) à l’aide des développements limités usuels et gardez les termes de degré au plus \(2\).

Soit \(f : U \to \mathbb{R}\) différentiable sur l’ouvert convexe \(U\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est convexe ;
2. pour tous \(x, y \in U\), \(f(y) \geq\, f(x) + df(x)(y-x)\) : le graphe est au-dessus de ses plans tangents ;
3. pour tous \(x, y \in U\), \(\big(df(y) – df(x)\big)(y-x) \geq\, 0\).

Si \(f\) est de classe \(C^2\), elles équivalent aussi à : \(d^2f(x)(h,h) \geq\, 0\) pour tous \(x \in U\) et \(h \in E\).

Montrons (1) \(\Rightarrow\) (2). Pour \(t \in \,]0,1]\), la convexité donne \(f(x+t(y-x)) \leq\, f(x) + t(f(y)-f(x))\). Donc \(\frac{f(x+t(y-x))-f(x)}{t} \leq\, f(y)-f(x)\). En faisant tendre \(t\) vers \(0^+\), on obtient \(df(x)(y-x) \leq\, f(y)-f(x)\).

Réciproquement, supposons (2) et posons \(z = tx+(1-t)y\). On a \(f(x) \geq\, f(z) + df(z)(x-z)\) et \(f(y) \geq\, f(z) + df(z)(y-z)\). Multiplions par \(t\) et \(1-t\), puis ajoutons. Comme \(t(x-z)+(1-t)(y-z) = 0\), il reste \(tf(x)+(1-t)f(y) \geq\, f(z)\).

Ensuite, (2) \(\Rightarrow\) (3) s’obtient en ajoutant les inégalités écrites en \(x\) et en \(y\). Pour (3) \(\Rightarrow\) (1), on constate que \(g(t) = f(x+t(y-x))\) a une dérivée croissante, donc \(g\) est convexe. Enfin, dans le cas \(C^2\), \(g^{\prime\prime}(t) = d^2 f(x+th)(h,h)\), et une fonction d’une variable est convexe si et seulement si \(g^{\prime\prime} \geq\, 0\).

Si \(f\) est convexe et différentiable sur l’ouvert convexe \(U\), alors \(a\) est un point de minimum global de \(f\) si et seulement si \(df(a) = 0\).

L’étude des extrema locaux d’une fonction quelconque et des extrema sous contrainte utilise les mêmes outils. Elle est développée dans le chapitre sur l’inversion locale et les fonctions implicites.