Ce QCM vérifie la maîtrise des théorèmes limites en L3 : modes de convergence des variables aléatoires, lemme de Borel-Cantelli, lois faible et forte des grands nombres, théorème de Lévy et théorème central limite. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Convergences, grands nombres et central limite du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Loi des grands nombres et TCL - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Laquelle de ces implications entre modes de convergence est fausse en général ?
AConvergence dans \(L^2\) \(\Rightarrow\) convergence en probabilité
BConvergence en probabilité \(\Rightarrow\) convergence en loi
CConvergence en probabilité \(\Rightarrow\) convergence presque sûre
DConvergence presque sûre \(\Rightarrow\) convergence en probabilité
Question 2
Soit \((A_n)\) une suite d’événements telle que \(\sum P(A_n) < +\infty\). Que donne le lemme de Borel-Cantelli ?
ASeul un nombre fini de \(A_n\) se réalisent, à condition que les \(A_n\) soient indépendants
BPresque sûrement, seul un nombre fini de \(A_n\) se réalisent
CPresque sûrement, une infinité de \(A_n\) se réalisent
D\(P(A_n) = 0\) à partir d’un certain rang
Question 3
Soient \(X_n\) indépendantes avec \(P(X_n = 1) = \frac1n\) et \(P(X_n = 0) = 1 - \frac1n\). Dans quel sens \((X_n)\) tend-elle vers \(0\) ?
APresque sûrement et en probabilité
BPresque sûrement, mais pas en probabilité
CNi en probabilité, ni presque sûrement
DEn probabilité, mais pas presque sûrement
Question 4
Pour \(n = 100\) variables indépendantes de Bernoulli de paramètre \(\frac12\), quelle majoration de \(P\left(|\bar X_n - \frac12|\geqslant 0{,}1\right)\) donne l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
A\(\frac12\)
B\(\frac14\)
C\(\frac{1}{40}\)
D\(\frac{1}{400}\)
Question 5
Quelles hypothèses suffisent pour la loi forte des grands nombres de Kolmogorov, \(\bar X_n\to E[X_1]\) presque sûrement ?
ALes \(X_i\) sont indépendantes, de même loi et intégrables
BLes \(X_i\) sont indépendantes, sans hypothèse de moment
CLes \(X_i\) sont de même loi et deux à deux décorrélées
DLes \(X_i\) sont indépendantes et bornées dans \(L^1\)
Question 6
Si les \(X_i\) sont indépendantes de loi de Cauchy standard, que dire de \(\bar X_n = \frac1n\sum_{i=1}^n X_i\) ?
AElle converge en loi vers \(\mathcal{N}(0,1)\) par le théorème central limite
BElle converge presque sûrement vers \(0\) par la loi forte
CElle converge en probabilité vers \(0\) par la loi faible
DElle suit encore une loi de Cauchy standard et ne converge vers aucune constante
Question 7
Vers quelle loi converge en loi \(\mathcal{B}\left(n, \frac{\lambda}{n}\right)\) quand \(n\to+\infty\), d’après le théorème de Lévy ?
A\(\mathcal{B}(\lambda)\)
B\(\mathcal{E}(\lambda)\)
C\(\mathcal{N}(\lambda,\lambda)\)
D\(\mathcal{P}(\lambda)\)
Question 8
On lance \(100\) fois une pièce équilibrée. D’après le théorème central limite, quelle est l’approximation de \(P(S\geqslant 60)\), où \(S\) est le nombre de piles ?
AEnviron \(0{,}023\)
BEnviron \(0{,}001\)
CEnviron \(0{,}16\)
DEnviron \(0{,}05\)
Question 9
Si \(X_n\) converge en loi vers une constante \(c\), que peut-on en déduire ?
A\(X_n\) converge vers \(c\) presque sûrement
BOn ne peut rien en déduire de plus
C\(X_n\) converge vers \(c\) en probabilité
D\(X_n\) converge vers \(c\) dans \(L^1\)
Question 10
Soit \(U\) uniforme sur \(]0,1[\) et \(X_n = n\,\mathbf{1}_{U < 1/n}\). Dans quel sens \((X_n)\) tend-elle vers \(0\) ?
APresque sûrement, mais pas dans \(L^1\)
BDans \(L^1\), mais pas presque sûrement
CNi presque sûrement, ni en probabilité
DPresque sûrement et dans \(L^1\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de loi des grands nombres et TCL en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les quatre modes de convergence (presque sûre, en probabilité, \(L^p\), en loi) et leurs implications ;
le lemme de Borel-Cantelli et son second volet avec indépendance ;
la loi faible par Bienaymé-Tchebychev et la loi forte de Kolmogorov ;
le théorème de Lévy et les fonctions caractéristiques ;
le théorème central limite et l’approximation normale.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : appliquer la loi des grands nombres sans hypothèse d’intégrabilité. Pour des variables de Cauchy indépendantes, la moyenne empirique suit encore une loi de Cauchy, quel que soit \(n\) : elle ne converge vers aucune constante.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour comparer des modes de convergence, gardez deux exemples en tête : \(n\,\mathbf{1}_{U < 1/n}\) (converge presque sûrement mais pas dans \(L^1\)) et des indicatrices indépendantes de probabilité \(\frac1n\) (convergent en probabilité mais pas presque sûrement, par Borel-Cantelli). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Quelle différence entre loi faible et loi forte des grands nombres ?
La loi faible donne la convergence en probabilité de la moyenne empirique, la loi forte la convergence presque sûre. La loi forte de Kolmogorov ne demande que des variables indépendantes, de même loi et intégrables.
Le théorème central limite donne-t-il une convergence presque sûre ?
Non : c’est une convergence en loi de \(\sqrt n\,\frac{\,\overline X_n – m}{\sigma}\) vers \(\mathcal{N}(0,1)\). Les variables renormalisées ne convergent même pas en probabilité.
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