Contrôle de maths L3 : réduction de Jordan et décomposition de Dunford

Exercice 1 : Question de cours : unicité de la décomposition de Dunford (3 points)

Calculatrice interdite.

Soit \(E\) un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u\) un endomorphisme de \(E\).

1. Énoncez le théorème de décomposition de Dunford : existence, unicité, et expression des deux termes comme polynômes en \(u\). (1 point)
2. Montrez qu’un endomorphisme à la fois diagonalisable et nilpotent est nul. En admettant l’existence et le fait que \(d\) et \(n\) sont des polynômes en \(u\), démontrez l’unicité de la décomposition. (2 points)

Exercice 2 : Décomposition de Dunford d’une matrice 3×3 (5 points)

On considère la matrice

\[A = \begin{pmatrix} 0 2 1 \\ -1 3 1 \\ -1 1 2 \end{pmatrix}.\]

1. Calculez le polynôme caractéristique \(\chi_A\). Vous devez trouver \(\chi_A = (X – 1)(X – 2)^2\). (1 point)
2. Déterminez \(\operatorname{Ker}(A – I_3)\), \(\operatorname{Ker}(A – 2I_3)\) et \(\operatorname{Ker}(A – 2I_3)^2\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? (1,5 point)
3. Vérifiez que \((X – 2)^2 – (X – 1)(X – 3) = 1\). Déduisez-en les projecteurs \(p_1\) et \(p_2\) sur les sous-espaces caractéristiques, sous forme de polynômes en \(A\). Calculez-les, puis donnez la décomposition de Dunford \(A = D + N\). (2 points)
4. Un étudiant écrit \(\begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\) et affirme avoir obtenu la décomposition de Dunford. Qu’en pensez-vous ? (0,5 point)

Exercice 3 : Base duale et transposée (3 points)

Soit \(E = \mathbb{R}_2[X]\) l’espace des polynômes réels de degré au plus 2. Pour \(a \in \{0, 1, 2\}\), on note \(\varphi_a\) la forme linéaire \(P \mapsto P(a)\). On note \(u\) l’endomorphisme de dérivation \(P \mapsto P^{\prime}\).

1. Montrez que \((\varphi_0, \varphi_1, \varphi_2)\) est une base de \(E^{*}\). Déterminez la base \((L_0, L_1, L_2)\) de \(E\) dont elle est la base duale. (1,5 point)
2. Exprimez \({^{t}u(\varphi_0)\) comme combinaison linéaire de \(\varphi_0\), \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\). Traduisez le résultat par une formule donnant \(P^{\prime}(0)\) pour tout \(P \in E\). (1,5 point)

Exercice 4 : Réduction de Jordan d’un nilpotent 4×4 (5 points)

On considère la matrice

\[N = \begin{pmatrix} 0 0 -1 -1 \\ -1 0 1 0 \\ 1 0 -1 0 \\ 0 0 1 1 \end{pmatrix}.\]

On note \((e_1, e_2, e_3, e_4)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^4\).

1. Calculez \(N^2\) et \(N^3\). Déterminez les dimensions de \(\operatorname{Ker} N\), \(\operatorname{Ker} N^2\) et \(\operatorname{Ker} N^3\). Quel est l’indice de nilpotence de \(N\) ? (1,5 point)
2. Dessinez le tableau de Young associé aux noyaux itérés. Déduisez-en la réduite de Jordan \(J\) de \(N\). (1 point)
3. Construisez une matrice inversible \(P\) telle que \(N = P\,J\,P^{-1}\). Vous partirez du vecteur \(e_1\). (1,5 point)
4. Combien existe-t-il de classes de similitude de matrices nilpotentes de taille 4 ? Justifiez. (1 point)

Exercice 5 : Problème : exponentielle de matrice et système différentiel (4 points)

On reprend la matrice \(A\) et sa décomposition \(A = D + N\) de l’exercice 2. On cherche les fonctions dérivables \(X : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3\) telles que \(X^{\prime}(t) = A\,X(t)\) et \(X(0) = (0, 0, 1)\).

1. Justifiez l’égalité \(\exp(tA) = \exp(tD)\,\exp(tN)\) pour tout réel \(t\). (1 point)
2. Calculez \(\exp(tN)\), puis exprimez \(\exp(tD)\) à l’aide de \(p_1\) et \(p_2\). (1 point)
3. Déduisez-en la matrice \(\exp(tA)\). (1 point)
4. Donnez la solution \(X\) du problème, puis vérifiez-la directement. (1 point)

Réviser avant le contrôle : réduction de Jordan et décomposition de Dunford

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Réduction de Jordan » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés réduction de jordan.

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