Ce QCM vérifie la maîtrise des groupes en L3 : sous-groupes distingués, groupes quotients, théorèmes d’isomorphisme, actions de groupes, groupe symétrique et théorèmes de Sylow. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Groupes : quotients et actions de groupes du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Groupes et actions - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Un sous-groupe \(H\) d’un groupe \(G\) est distingué si et seulement si :
A\(gH = Hg\) pour au moins un \(g\in G\setminus H\)
B\(gHg^{-1} = H\) pour tout \(g\in G\)
C\(H\) est abélien
D\(H\) contient le centre de \(G\)
Question 2
Soit \(H\) un sous-groupe d’indice \(2\) d’un groupe \(G\). Que peut-on affirmer ?
A\(H\) n’est distingué que si \(G\) est abélien
B\(H\) est distingué dans \(G\)
C\(H\) est abélien
D\(H\) est cyclique
Question 3
À quel groupe le quotient \(GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R})\) est-il isomorphe ?
A\(\mathbb{R}^*\)
B\(\mathbb{R}_+^*\)
C\(\mathbb{R}\)
D\(\{-1,1\}\)
Question 4
Combien le groupe cyclique \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) possède-t-il de générateurs ?
A\(6\)
B\(4\)
C\(3\)
D\(11\)
Question 5
Le groupe des rotations du cube, d’ordre \(24\), agit transitivement sur les \(8\) sommets. Quel est l’ordre du stabilisateur d’un sommet ?
A\(8\)
B\(4\)
C\(6\)
D\(3\)
Question 6
Que peut-on dire du centre d’un groupe d’ordre \(p^n\), avec \(p\) premier et \(n\geqslant 1\) ?
AIl n’est pas réduit à l’élément neutre
BIl est toujours d’ordre \(p\) exactement
CIl est réduit à l’élément neutre
DIl est égal au groupe entier
Question 7
Quels sont l’ordre et la signature de \(\sigma = (1\,2\,3)(4\,5\,6\,7)\in S_7\) ?
AOrdre \(12\), signature \(1\)
BOrdre \(7\), signature \(1\)
COrdre \(12\), signature \(-1\)
DOrdre \(7\), signature \(-1\)
Question 8
Quel est le centre du groupe diédral \(D_4\) des isométries du carré (\(8\) éléments), en notant \(r\) la rotation d’angle \(\frac\pi2\) ?
A\(\{\mathrm{id}\}\)
B\(\{\mathrm{id}, r, r^2, r^3\}\)
C\(D_4\) tout entier
D\(\{\mathrm{id}, r^2\}\)
Question 9
Dans un groupe d’ordre \(20\), combien y a-t-il de \(5\)-sous-groupes de Sylow ?
A\(2\)
B\(4\)
C\(1\)
D\(6\)
Question 10
Que montre l’exemple du groupe alterné \(A_4\), d’ordre \(12\) ?
A\(A_4\) n’a pas de sous-groupe d’ordre \(4\)
B\(A_4\) est abélien car il est d’indice \(2\) dans \(S_4\)
CLa réciproque du théorème de Lagrange est fausse : \(A_4\) n’a pas de sous-groupe d’ordre \(6\)
D\(A_4\) est un groupe simple
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de groupes et actions en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les sous-groupes distingués et le passage au quotient ;
le premier théorème d’isomorphisme \(G/\ker f\simeq\operatorname{Im}f\) ;
les groupes cycliques \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) et leurs générateurs ;
la relation orbite-stabilisateur et la formule des classes ;
la signature, le groupe alterné et les groupes diédraux ;
les théorèmes de Sylow et le dénombrement des \(p\)-Sylow.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire à la réciproque du théorème de Lagrange. Un diviseur de \(|G|\) n’est pas forcément l’ordre d’un sous-groupe : \(A_4\), d’ordre \(12\), n’a aucun sous-groupe d’ordre \(6\). Seuls les ordres \(p^k\) sont garantis, par Sylow.
Comment réviser avant de refaire le test
Devant un groupe fini, cherchez une action naturelle (sur des sommets, des faces, des sous-groupes, par conjugaison) : la relation \(|G| = |\mathrm{Orb}(x)|\times |\mathrm{Stab}(x)|\) donne presque toujours l’ordre cherché. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
À quoi sert concrètement le premier théorème d’isomorphisme ?
À identifier un quotient sans le construire à la main : on cherche un morphisme surjectif dont le noyau est le sous-groupe voulu. Par exemple, \(\det\) donne \(GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R})\simeq\mathbb{R}^*\).
Pourquoi le centre d’un \(p\)-groupe est-il non trivial ?
Par la formule des classes : \(|G| = |Z(G)| + \sum|\mathrm{Orb}(x_i)|\), où chaque orbite non réduite à un point a un cardinal multiple de \(p\). Comme \(p\) divise \(|G|\), il divise \(|Z(G)|\geq\, 1\), donc \(|Z(G)|\geq\, p\).
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