Contrôle de maths L3 : fonctions holomorphes et formule de Cauchy

Exercice 1 : Question de cours : formule de Cauchy et théorème de Liouville (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans tout le sujet, les cercles \(C(a,r)\) sont parcourus une fois dans le sens direct.

1. Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{C}\), \(f\) holomorphe sur \(U\), et \(\overline{D}(a,r)\) un disque fermé inclus dans \(U\). Énoncez la formule intégrale de Cauchy donnant \(f(z)\) pour \(|z – a| < r\). (1 point)
2. On admet que, dans ces conditions, \(f^{(n)}(a) = \dfrac{n!}{2i\pi}\displaystyle\int_{C(a,r)} \dfrac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\,\mathrm{d}w\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). On note \(M(r) = \max_{|w-a| = r} |f(w)|\). Démontrez les inégalités de Cauchy : \(|f^{(n)}(a)| \leq\, \dfrac{n!\,M(r)}{r^n}\). (1,5 point)
3. Énoncez et démontrez le théorème de Liouville. (1,5 point)

Exercice 2 : Équations de Cauchy-Riemann (4 points)

On identifie \(\mathbb{C}\) à \(\mathbb{R}^2\) en écrivant \(z = x + iy\), et on écrit une fonction \(f\) sous la forme \(f = u + iv\), avec \(u\) et \(v\) à valeurs réelles.

1. Rappelez les équations de Cauchy-Riemann et la caractérisation des fonctions holomorphes qu’elles fournissent. Exprimez \(f^{\prime}(z)\) à l’aide des dérivées partielles de \(u\) et \(v\). (1 point)
2. Soit \(u(x,y) = x^3 – 3xy^2 + 2x\). Vérifiez que \(u\) est harmonique. Montrez ensuite que \((x,y) \mapsto x^2 + y^2\) n’est la partie réelle d’aucune fonction holomorphe sur \(\mathbb{C}\). (1 point)
3. Déterminez toutes les fonctions \(v\) telles que \(f = u + iv\) soit holomorphe sur \(\mathbb{C}\). (1 point)
4. Exprimez les fonctions \(f\) obtenues en fonction de la seule variable \(z\). (1 point)

Exercice 3 : Détermination principale du logarithme (3,5 points)

On note \(U = \mathbb{C} \setminus \,]-\infty, 0]\). Pour \(z \in U\), on note \(\operatorname{Arg} z\) l’unique argument de \(z\) dans \(]-\pi, \pi[\), et on pose \(\operatorname{Log} z = \ln|z| + i\operatorname{Arg} z\).

1. Vérifiez que \(\exp(\operatorname{Log} z) = z\) pour tout \(z \in U\). Calculez \(\operatorname{Log}(1+i)\) et \(\operatorname{Log}(-i)\). (1 point)
2. On admet que \(\operatorname{Arg}\) est continue sur \(U\). Montrez que \(\operatorname{Log}\) est holomorphe sur \(U\), de dérivée \(z \mapsto \dfrac{1}{z}\). (1,5 point)
3. Montrez qu’il n’existe aucune fonction \(L\) holomorphe sur \(\mathbb{C}^{*}\) telle que \(\exp(L(z)) = z\) pour tout \(z \in \mathbb{C}^{*}\). On pourra calculer \(\displaystyle\int_{C(0,1)} \dfrac{\mathrm{d}z}{z}\) de deux façons. (1 point)

Exercice 4 : Intégrales sur des cercles (3,5 points)

Représentez sur un même dessin les cercles \(C(0,2)\) et \(C(i,1)\), avec leur sens de parcours, ainsi que les points \(1\), \(i\) et \(-i\). Justifiez ensuite chaque calcul en précisant la fonction holomorphe et le disque utilisés.

1. Faites le dessin, puis calculez \(I_1 = \displaystyle\int_{C(0,2)} \dfrac{e^{z}}{z – 1}\,\mathrm{d}z\). (1 point)
2. Calculez \(I_2 = \displaystyle\int_{C(0,2)} \dfrac{e^{z}}{(z – 1)^3}\,\mathrm{d}z\). (1 point)
3. Calculez \(I_3 = \displaystyle\int_{C(0,2)} \dfrac{\mathrm{d}z}{z^2 + 1}\) et \(I_4 = \displaystyle\int_{C(i,1)} \dfrac{\mathrm{d}z}{z^2 + 1}\). (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : Liouville, zéros isolés et maximum (5 points)

Les trois parties sont indépendantes.

1. Théorème de d’Alembert-Gauss. Soit \(P\) un polynôme complexe de degré \(n \geq\, 1\). En supposant que \(P\) ne s’annule pas sur \(\mathbb{C}\), montrez que \(\dfrac{1}{P}\) est entière et bornée, puis concluez. (1,5 point)
2. Zéros isolés. Énoncez le principe des zéros isolés et sa conséquence, le principe du prolongement analytique. Déterminez toutes les fonctions entières \(f\) telles que \(f(\dfrac{1}{n}) = \dfrac{1}{n^2}\) pour tout \(n \geq\, 1\). Montrez enfin qu’aucune fonction \(g\) holomorphe sur \(D(0,2)\) ne vérifie \(g(\dfrac{1}{n}) = \dfrac{(-1)^n}{n}\) pour tout \(n \geq\, 1\). (2 points)
3. Principe du maximum. Énoncez le principe du maximum pour une fonction holomorphe sur un ouvert connexe. Déterminez ensuite le maximum et le minimum de \(|z^2 + 3|\) sur le disque fermé \(\overline{D}(0,1)\), ainsi que les points où ils sont atteints. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : fonctions holomorphes et formule de Cauchy

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Fonctions holomorphes » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés fonctions holomorphes.

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