Corrigé du brevet de maths 2022 aux centres étrangers

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet de maths 2022 aux centres étrangers : sujet et corrigé du brevet. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Questionnaire à choix multiples : fonction affine, tableur, calcul littéral, triangle

Partie A

On considère la fonction affine \( f \) définie par \( f(x) = 2x + 3 \).

1. Il faut reconnaître la droite qui représente \( f \).

La représentation graphique de \( f \) est une droite de coefficient directeur \( a = 2 \) et d’ordonnée à l’origine \( b = 3 \). Comme \( a \gt 0 \), la droite « monte » : la réponse B, droite décroissante, est exclue. Comme \( b = 3 \neq 0 \), la droite ne passe pas par l’origine : la réponse C est exclue. Il reste la droite qui coupe l’axe des ordonnées au point \( (0\,;\,3) \).

Réponse A.

2. On cherche l’image de \( -2 \) par \( f \).

\[ f(-2) = 2 \times (-2) + 3 = -4 + 3 = -1 \]

Réponse B : l’image de \( -2 \) est \( -1 \).

3. Dans le tableur, la valeur de \( x \) est en B1 et on veut calculer \( f(x) \) : il suffit de traduire l’expression \( 2x + 3 \) en remplaçant \( x \) par la cellule B1.

Réponse B : la formule à saisir est =2*B1+3.

Partie B

1. On cherche une expression égale à \( (2x – 1)(3x + 4) – 2x \) pour tout nombre \( x \). On développe avec la double distributivité :

\[ (2x – 1)(3x + 4) – 2x = 6x^2 + 8x – 3x – 4 – 2x = 6x^2 + 3x – 4 \]

L’expression est égale à \( 6x^2 + 3x – 4 \).

2. Le triangle \( CDE \) a pour côtés \( CD = 3{,}6 \) cm, \( CE = 4{,}2 \) cm et \( DE = 5{,}5 \) cm. Est-il rectangle ?

Le plus grand côté est \( [DE] \). On compare le carré de sa longueur à la somme des carrés des deux autres :

\[ DE^2 = 5{,}5^2 = 30{,}25 \qquad CD^2 + CE^2 = 3{,}6^2 + 4{,}2^2 = 12{,}96 + 17{,}64 = 30{,}6 \]

On a \( DE^2 \neq CD^2 + CE^2 \). D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \( CDE \) n’est pas rectangle.

Exercice 2 :

Statistiques, proportion, durées et vitesse moyenne

Les distances (en km) des sept étapes de la course sont : 166 ; 188 ; 187,5 ; 200 ; 202,5 ; 119,5 ; 93.

1. a. Calcul de la distance moyenne d’une étape.

\[ d_m = \frac{166 + 188 + 187{,}5 + 200 + 202{,}5 + 119{,}5 + 93}{7} = \frac{1\,156{,}5}{7} \approx 165{,}2 \]

La distance moyenne parcourue par étape est d’environ 165,2 km.

b. Calcul de la médiane. On range d’abord les sept distances dans l’ordre croissant :

\[ 93 \;;\; 119{,}5 \;;\; 166 \;;\; 187{,}5 \;;\; 188 \;;\; 200 \;;\; 202{,}5 \]

L’effectif est impair (7) : la médiane est la valeur centrale, c’est-à-dire la 4^e valeur, qui laisse trois valeurs avant elle et trois après.

La médiane des distances est 187,5 km.

c. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur :

\[ 202{,}5 – 93 = 109{,}5 \]

L’étendue de la série est 109,5 km.

2. Le journaliste affirme que plus de la moitié des étapes se sont déroulées sur un parcours accidenté. D’après le tableau, 4 étapes sur 7 sont accidentées, et :

\[ \frac{4}{7} \approx 0{,}57 \gt 0{,}5 \]

Le journaliste a raison : plus de la moitié des étapes (environ 57 %) étaient accidentées.

3. Le vainqueur a mis 28 h 50 min au total et le dernier du classement 30 h 12 min. On calcule l’écart :

De 28 h 50 min à 29 h, il y a 10 min ; de 29 h à 30 h 12 min, il y a 1 h 12 min. Au total : 1 h 22 min.

Le dernier du classement a accumulé 1 h 22 min de retard sur le vainqueur.

4. Un coureur a parcouru la première étape, longue de 166 km, en 3 h 51 min. On calcule sa vitesse moyenne.

On convertit d’abord la durée en heures : \( 51 \text{ min} = \frac{51}{60} \text{ h} = 0{,}85 \text{ h} \), donc la durée est \( 3{,}85 \) h.

\[ v = \frac{d}{t} = \frac{166}{3{,}85} \approx 43{,}1 \]

La vitesse moyenne du coureur est d’environ 43 km/h.

Exercice 3 :

Trigonométrie, réciproque du théorème de Thalès, aire d’un triangle

Les points \( C \), \( A \), \( E \) sont alignés, ainsi que \( B \), \( A \), \( D \). Le triangle \( ABC \) est rectangle en \( B \), avec \( AC = 8 \) cm et \( \widehat{BAC} = 60^\circ \) ; de plus \( AE = 19{,}2 \) cm et \( AD = 9{,}6 \) cm.

1. Calcul de la longueur \( AB \).

Dans le triangle \( ABC \) rectangle en \( B \), l’hypoténuse est \( [AC] \) et \( [AB] \) est le côté adjacent à l’angle \( \widehat{BAC} \) :

\[ \cos \widehat{BAC} = \frac{AB}{AC} \quad \text{soit} \quad \cos 60^\circ = \frac{AB}{8} \]
\[ AB = 8 \times \cos 60^\circ = 8 \times 0{,}5 = 4 \]

\( AB = 4 \) cm.

2. Il faut démontrer que les droites \( (BC) \) et \( (DE) \) sont parallèles.

• Les points \( C \), \( A \), \( E \) d’une part et \( B \), \( A \), \( D \) d’autre part sont alignés dans le même ordre (\( A \) appartient aux segments \( [CE] \) et \( [BD] \)).
• \( \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{19{,}2}{8} = 2{,}4 \) et \( \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{9{,}6}{4} = 2{,}4 \).

Ainsi \( \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AD}{AB} \). D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \( (BC) \) et \( (DE) \) sont parallèles.

3. Il faut montrer que les droites \( (DB) \) et \( (DE) \) sont perpendiculaires.

Le triangle \( ABC \) est rectangle en \( B \), donc \( (BC) \perp (DB) \). Or \( (DE) \parallel (BC) \). Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre : \( (DB) \) et \( (DE) \) sont perpendiculaires, et le triangle \( ADE \) est rectangle en \( D \).

4. Calcul de l’aire du triangle \( ADE \).

Dans le triangle \( ADE \) rectangle en \( D \), le théorème de Pythagore donne :

\[ AE^2 = AD^2 + DE^2 \quad \text{soit} \quad 19{,}2^2 = 9{,}6^2 + DE^2 \]
\[ DE^2 = 368{,}64 – 92{,}16 = 276{,}48 \quad \text{donc} \quad DE = \sqrt{276{,}48} \approx 16{,}63 \text{ cm} \]

L’aire d’un triangle rectangle est le demi-produit des côtés de l’angle droit :

\[ \mathcal{A} = \frac{AD \times DE}{2} = \frac{9{,}6 \times \sqrt{276{,}48}}{2} \approx 79{,}8 \]

L’aire du triangle \( ADE \) est d’environ 80 cm² (79,8 cm² au dixième).

Remarque : on pouvait aussi utiliser l’agrandissement de rapport 2,4 : l’aire est multipliée par \( 2{,}4^2 = 5{,}76 \). Avec \( BC = 8 \sin 60^\circ = 4\sqrt{3} \), l’aire de \( ABC \) vaut \( \frac{4 \times 4\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \approx 13{,}86 \) cm², et \( 5{,}76 \times 8\sqrt{3} \approx 79{,}8 \) cm².

Exercice 4 :

Programmation Scratch

Partie A

Il faut compléter le bloc « Motif » pour tracer le motif demandé : un parallélogramme de côtés 40 et 30 dont les angles valent 140° et 40°. Le lutin avance de 40, tourne de 40° (angle extérieur, puisque \( 180^\circ – 140^\circ = 40^\circ \)), avance de 30, tourne de 140° (car \( 180^\circ – 40^\circ = 140^\circ \)), et on répète ces quatre instructions deux fois. Au total, le lutin a tourné de \( 2 \times (40^\circ + 140^\circ) = 360^\circ \) : il revient dans sa position de départ.

définir Motif
répéter 2 fois
    avancer de 40
    tourner ↺ de 40 degrés
    avancer de 30
    tourner ↺ de 140 degrés
fin

Partie B

1. Le programme de l’élève B commence par le bloc « quand la touche espace est pressée » : pour le lancer, il faut appuyer sur la barre espace.

2. a. En suivant pas à pas les instructions du programme de l’élève A (nombre de répétitions du motif et rotation effectuée entre deux motifs), on obtient la figure 1.

b. De même, le programme de l’élève B, qui répète le motif avec une autre rotation entre deux tracés, produit la figure 4.

Exercice 5 :

Arithmétique et volumes : des boîtes de truffes

Un chocolatier dispose de 125 truffes parfumées au café et de 175 truffes enrobées de noix de coco. Il veut les répartir dans des boîtes ayant toutes la même composition, en utilisant toutes les truffes.

1. a. Décomposition en produit de facteurs premiers :

\[ 125 = 5 \times 25 = 5^3 \qquad 175 = 5 \times 35 = 5^2 \times 7 \]

b. Les diviseurs communs à 125 et 175 s’obtiennent à partir des facteurs communs aux deux décompositions, c’est-à-dire au plus \( 5^2 \) :

Les diviseurs communs à 125 et 175 sont 1, 5 et 25.

c. Le nombre de boîtes doit diviser à la fois 125 et 175, et on le veut le plus grand possible : c’est le plus grand diviseur commun, soit 25.

Le chocolatier peut réaliser au maximum 25 boîtes.

d. Composition de chaque boîte :

\[ \frac{125}{25} = 5 \qquad \frac{175}{25} = 7 \]

Chaque boîte contient 5 truffes au café et 7 truffes à la noix de coco, soit 12 truffes.

2. Chaque truffe est assimilée à une boule de 1,5 cm de diamètre. Deux boîtes sont possibles : une pyramide à base carrée de côté 4,8 cm et de hauteur 5 cm, et un pavé droit à base carrée de côté 3,5 cm et de hauteur 5 cm. Le chocolatier ne retient une boîte que si le volume laissé libre par les 12 truffes ne dépasse pas le volume occupé par les truffes.

Volume des truffes. Le rayon d’une truffe est \( r = \frac{1{,}5}{2} = 0{,}75 \) cm.

\[ V_T = \frac{4}{3} \times \pi \times 0{,}75^3 \approx 1{,}77 \text{ cm}^3 \qquad V_D = 12 \times V_T \approx 21{,}21 \text{ cm}^3 \]

Boîte pyramidale.

\[ V_C = \frac{1}{3} \times 4{,}8^2 \times 5 = 38{,}4 \text{ cm}^3 \]

Volume libre : \( V_C – V_D \approx 38{,}4 – 21{,}21 \approx 17{,}19 \) cm³, qui est inférieur à \( V_D \approx 21{,}21 \) cm³. Cette boîte convient.

Boîte en pavé droit.

\[ V_P = 3{,}5 \times 3{,}5 \times 5 = 61{,}25 \text{ cm}^3 \]

Volume libre : \( V_P – V_D \approx 61{,}25 – 21{,}21 \approx 40{,}04 \) cm³, qui est supérieur à \( V_D \). Cette boîte laisse trop de vide.

Seule la boîte pyramidale peut être utilisée.