Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. Affirmation 1
Toutes les boules ont la même chance d’être tirées : on est dans une situation d’équiprobabilité, et la probabilité d’obtenir une boule bleue est le quotient du nombre de boules bleues par le nombre total de boules.
Urne A : \(P_A = \dfrac{8}{20} = 0{,}4\).
Urne B : elle contient \(11 + 14 = 25\) boules, donc \(P_B = \dfrac{11}{25} = 0{,}44\).
Comme \(0{,}44 \gt 0{,}4\), on a davantage de chances de tirer une boule bleue dans l’urne B : l’affirmation 1 est vraie.
2. Affirmation 2
On range les 9 valeurs dans l’ordre croissant : 3 ; 7 ; 7 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 14.
L’effectif est impair (9 valeurs), donc la médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 5e : elle laisse 4 valeurs avant elle et 4 après. La 5e valeur est 12.
La médiane vaut 12 et non 11 : l’affirmation 2 est fausse.
3. Affirmation 3
Attention au piège : 3 h 20 ne vaut pas 3,20 h. Comme 20 minutes représentent un tiers d’heure, \(3\ \text{h}\ 20 = 3 + \dfrac{20}{60} = \dfrac{10}{3}\) h.
La vitesse moyenne est donc \(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{36}{\frac{10}{3}} = 36 \times \dfrac{3}{10} = 10{,}8\) km/h.
La valeur \(11{,}25\) km/h s’obtient en divisant par erreur 36 par 3,2. La vitesse moyenne est de \(10{,}8\) km/h : l’affirmation 3 est fausse.
4. Affirmation 4
Image de \(-1\) par \(f\) : \(f(-1) = -4 \times (-1) – 5 = 4 – 5 = -1\).
Image de \(-1\) par \(g\) : on part de l’abscisse \(-1\) sur l’axe horizontal, on se déplace verticalement jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée du point obtenu : la courbe passe par le point de coordonnées \((-1\ ;\ -1)\), donc \(g(-1) = -1\).
Les deux images sont égales : \(f(-1) = g(-1) = -1\). L’image par \(f\) n’est donc pas inférieure à celle par \(g\) : l’affirmation 4 est fausse.
5. Affirmation 5
On développe chaque membre avec les identités remarquables et la double distributivité.
Membre de gauche : \((x+5)^2 – 4 = x^2 + 10x + 25 – 4 = x^2 + 10x + 21\).
Membre de droite : \((x+1)(x+9) = x^2 + 9x + x + 9 = x^2 + 10x + 9\).
Les deux expressions diffèrent par leur terme constant (21 d’un côté, 9 de l’autre). Par exemple pour \(x = 0\) : le membre de gauche vaut \(25 – 4 = 21\) et celui de droite vaut \(1 \times 9 = 9\). L’égalité est fausse pour \(x = 0\), elle n’est donc pas vraie pour tout nombre \(x\) : l’affirmation 5 est fausse.
Remarque : la bonne factorisation est \((x+5)^2 – 2^2 = (x+5-2)(x+5+2) = (x+3)(x+7)\).
6. Affirmation 6
Une diagonale partage le carré en deux triangles rectangles isocèles dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 m et dont l’hypoténuse est la diagonale \(d\).
D’après le théorème de Pythagore : \(d^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72\), donc \(d = \sqrt{72}\) m (soit \(6\sqrt{2} \approx 8{,}49\) m).
L’affirmation 6 est vraie.
Exercice 2 :
1. Production du pays E
Le haut de la barre du pays E se situe un peu en dessous de la ligne des 10 TWh, à peu près au milieu entre 5 et 15 mais légèrement sous 10. On peut lire environ 9,5 TWh (toute valeur entre 9 et 10 TWh est acceptable avec la précision du graphique).
2. a. Part des pays A et B
D’après les étiquettes du diagramme, les pays A et B produisent ensemble \(47{,}5 + 23{,}7 = 71{,}2\) TWh.
Leur part dans la production européenne est : \(\dfrac{71{,}2}{131{,}8} \times 100 \approx 54{,}0\ \%\).
Les pays A et B totalisent donc à eux seuls environ 54 % de la production photovoltaïque de l’Union européenne.
2. b. Pourcentage d’augmentation
Le taux d’évolution se calcule par \(\dfrac{\text{valeur d^{\prime}arrivée} – \text{valeur de départ}}{\text{valeur de départ}} \times 100\).
Ici : \(\dfrac{131{,}8 – 122{,}3}{122{,}3} \times 100 = \dfrac{9{,}5}{122{,}3} \times 100 \approx 7{,}77\).
La production photovoltaïque totale a augmenté d’environ 7,8 % entre 2018 et 2019.
3. a. Énergies en hausse chaque année
On compare, ligne par ligne, 2017 puis 2018 puis 2019 :
- Nucléaire : 379,1 puis 393,2 puis 379,5 : baisse en 2019.
- Thermique : 53,9 puis 39,4 puis 42,6 : baisse en 2018.
- Hydraulique : 53,5 puis 68,3 puis 60 : baisse en 2019.
- Éolien : \(24{,}1 \lt 27{,}8 \lt 34{,}1\) : hausse chaque année.
- Solaire : \(9{,}2 \lt 10{,}2 \lt 11{,}6\) : hausse chaque année.
- Bioénergies : \(9{,}5 \lt 9{,}7 \lt 9{,}9\) : hausse chaque année.
Les énergies dont la production a augmenté chaque année sont l’éolien, le solaire et les bioénergies.
3. b. Formule de la cellule B9
La cellule B9 contient le total de la colonne 2017, c’est-à-dire la somme des cellules B3 à B8. On peut saisir =SOMME(B3:B8) (ou encore =B3+B4+B5+B6+B7+B8). En étirant vers la droite, le tableur adapte la lettre de colonne et calcule =SOMME(C3:C8) puis =SOMME(D3:D8).
Exercice 3 :
1. Mesure de l’angle \(\widehat{DBC}\)
Comme DB = CB, le triangle DBC est isocèle en B. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux, donc \(\widehat{BDC} = \widehat{BCD} = 30^\circ\) (l’angle \(\widehat{BCD}\) est le même que \(\widehat{DCA}\) car B est sur [AC]).
La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), d’où : \(\widehat{DBC} = 180^\circ – 30^\circ – 30^\circ = 120^\circ\).
L’angle \(\widehat{DBC}\) mesure \(120^\circ\).
2. Longueur AD
Dans le triangle ADC rectangle en D, [AC] est l’hypoténuse et [AD] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{DCA}\). On utilise le sinus :
\[ \sin \widehat{DCA} = \dfrac{AD}{AC} \quad \text{donc} \quad AD = AC \times \sin 30^\circ = 10 \times 0{,}5 = 5 \]
Le segment [AD] mesure bien 5 cm.
3. Longueur DC
Toujours dans le triangle ADC rectangle en D, le théorème de Pythagore donne : \(AC^2 = AD^2 + DC^2\), soit \(10^2 = 5^2 + DC^2\).
Donc \(DC^2 = 100 – 25 = 75\) et \(DC = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}660\) cm.
On peut vérifier avec le cosinus : \(DC = AC \times \cos 30^\circ = 10 \times \cos 30^\circ \approx 8{,}660\) cm.
Au millimètre près, DC ≈ 8,7 cm.
4. Nature du triangle ABD
Angle en A : dans le triangle ADC, la somme des angles donne \(\widehat{DAC} = 180^\circ – 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ\). Or \(\widehat{DAB} = \widehat{DAC}\) puisque B est sur [AC], donc \(\widehat{DAB} = 60^\circ\).
Angle en B : les points A, B et C sont alignés, donc les angles \(\widehat{ABD}\) et \(\widehat{DBC}\) sont supplémentaires : \(\widehat{ABD} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\).
Angle en D : \(\widehat{ADB} = 180^\circ – 60^\circ – 60^\circ = 60^\circ\) (on retrouve aussi \(90^\circ – 30^\circ\)).
Un triangle dont les trois angles mesurent \(60^\circ\) est équilatéral : le triangle ABD est équilatéral. On peut le confirmer par les longueurs : AB = AD = DB = 5 cm, puisque B est alors le milieu de [AC].
Exercice 4 :
1. Transformation
Les cinq motifs tournent autour du même point (l’origine du repère), en gardant leur forme et leur taille : on passe d’un motif au suivant par une rotation de centre le point de départ commun et d’angle \(\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ\).
2. Choix du bloc Motif
Le motif commence par une tige horizontale, puis un parallélogramme placé en dessous de la ligne de départ.
- La proposition 1 ne trace pas la tige : elle attaque directement le parallélogramme au point de départ. Elle ne convient pas.
- La proposition 3 trace bien la tige, mais elle tourne vers la gauche : le parallélogramme se retrouve au-dessus de la tige. Elle ne convient pas.
- La proposition 2 trace la tige de 50 pas, puis tourne vers la droite (sens des aiguilles d’une montre) : le parallélogramme est dessiné sous la tige, comme sur le modèle.
C’est donc la proposition 2 qui convient. On remarque au passage que ses rotations valent \(2 \times (40^\circ + 140^\circ) = 360^\circ\) : à la fin du motif, le lutin a retrouvé son orientation de départ.
3. Boucle du script principal
Il y a 5 motifs, donc 5 répétitions. Après chaque motif, le lutin n’est plus au centre (il s’est arrêté au bout de la tige) : il faut le ramener en \((0\ ;\ 0)\). Enfin, on le fait tourner de \(360^\circ : 5 = 72^\circ\) pour préparer le motif suivant.
4 répéter 5 fois 5 Motif 6 aller à x: 0 y: 0 7 tourner ↻ de 72 degrés
Réponse : répéter 5 fois ; aller à x: 0 y: 0 ; tourner de 72 degrés.
4. Changement de couleur
Pour que la couleur change à chaque motif, l’instruction doit être exécutée une fois par tour de boucle, donc placée à l’intérieur de la boucle « répéter ». On peut la placer par exemple après l’instruction 5 (juste après le tracé d’un motif). Les emplacements après l’instruction 4, 6 ou 7 (toujours dans la boucle) conviennent aussi.
Exercice 5 :
1. a. Nombre de planches
La hauteur du potager est de 30 cm et une planche fait 15 cm de large : il faut donc \(30 : 15 = 2\) planches superposées sur chaque côté. Avec 4 côtés, on a besoin de \(4 \times 2 = 8\) morceaux de 1,20 m.
Une planche de 2,50 m permet de découper deux morceaux de 1,20 m, car \(2 \times 1{,}20 = 2{,}40\) m et \(2{,}40 \leq\, 2{,}50\) (il reste une chute de 10 cm). Il faut donc \(8 : 2 = 4\) planches.
On devra acheter 4 planches.
1. b. Budget hors terre
- Équerres : une par angle, soit 4 équerres : \(4 \times 2{,}90 = 11{,}60\) €.
- Planches : \(4 \times 5{,}60 = 22{,}40\) €.
- Vis : 8 vis par équerre, soit \(4 \times 8 = 32\) vis ; un seul lot de 100 suffit : 5,70 €.
Total : \(11{,}60 + 22{,}40 + 5{,}70 = 39{,}70\) €.
Le budget nécessaire, hors terre, est de 39,70 €.
2. Les sept sacs suffisent-ils ?
Hauteur minimale de terre : les deux tiers de 30 cm, soit \(\dfrac{2}{3} \times 30 = 20\) cm.
La terre forme un pavé droit à base carrée de côté 118 cm et de hauteur 20 cm. Pour obtenir directement des litres, on convertit en décimètres : 118 cm = 11,8 dm et 20 cm = 2 dm.
\[ V = 11{,}8 \times 11{,}8 \times 2 = 278{,}48\ \text{dm}^3 = 278{,}48\ \text{L} \]
Sept sacs de 40 L apportent \(7 \times 40 = 280\) L.
Comme \(280 \gt 278{,}48\), sept sacs suffisent pour remplir le potager au minimum jusqu’aux deux tiers de sa hauteur (il reste à peine 1,52 L de marge).
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