Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. On observe la position et l’orientation de chaque image.
a. quad1 se trouve de l’autre côté de la droite (DE) et il est « retourné » : l’ordre des sommets est inversé, comme dans un miroir. C’est la seule transformation du tableau qui retourne la figure : quad1 est l’image de TRAP par la transformation numéro 6 (symétrie axiale d’axe (DE)).
b. quad2 a exactement la même orientation que TRAP ; il a simplement glissé vers le haut et la droite, parallèlement à la droite (DE), dans le sens qui va de D vers E. quad2 est l’image de TRAP par la transformation numéro 1 (translation qui transforme D en E).
c. quad3 a gardé le point A et a tourné d’un quart de tour : le côté [PA], horizontal, devient vertical et descend sous A. Le point P passe de la gauche de A au-dessous de A, ce qui correspond au sens contraire des aiguilles d’une montre. quad3 est l’image de TRAP par la transformation numéro 2 (rotation de centre A et d’angle 90°).
2. On développe le produit par double distributivité, puis on regroupe les termes de même nature :
\[(2x – 3)(-5 + 2x) – 4 + 6x = -10x + 4x^2 + 15 – 6x – 4 + 6x\]
\[= 4x^2 + (-10x – 6x + 6x) + (15 – 4) = 4x^2 – 10x + 11\]
L’expression développée et réduite est \(4x^2 – 10x + 11\).
3. C’est une équation produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
Soit \(x – 6 = 0\), c’est-à-dire \(x = 6\) ; soit \(5x – 2 = 0\), c’est-à-dire \(5x = 2\) donc \(x = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
L’équation a deux solutions : \(0{,}4\) et \(6\).
4. a. \(1\,386 = 2 \times 693 = 2 \times 3 \times 231 = 2 \times 3 \times 3 \times 77\), donc \(1\,386 = 2 \times 3^2 \times 7 \times 11\).
\(1\,716 = 2 \times 858 = 2 \times 2 \times 429 = 2 \times 2 \times 3 \times 143\), donc \(1\,716 = 2^2 \times 3 \times 11 \times 13\).
b. On écrit les deux décompositions et on simplifie par les facteurs communs \(2\), \(3\) et \(11\) (c’est-à-dire par leur PGCD, 66) :
\[\dfrac{1\,386}{1\,716} = \dfrac{2 \times 3 \times 11 \times 3 \times 7}{2 \times 3 \times 11 \times 2 \times 13} = \dfrac{3 \times 7}{2 \times 13} = \dfrac{21}{26}\]
21 et 26 n’ont plus de facteur premier commun, donc la forme irréductible est \(\dfrac{21}{26}\).
5. Sur le planisphère, les parallèles (en rouge) sont tracés tous les 10° et les méridiens (en bleu) tous les 15°. La latitude 67° Nord se situe entre les parallèles 60° et 70° Nord, nettement plus près du 70°. La longitude 19° Est se situe un peu à droite du méridien 15° Est (le premier méridien à droite du méridien 0), entre celui-ci et le méridien 30° Est. On place la croix dans le nord de la Scandinavie, en Laponie suédoise, un peu au-dessus du cercle polaire.
Exercice 2 :
1. La boîte C contient \(350 + 50 = 400\) jetons, dont 50 noirs. Les tirages étant équiprobables :
\[p = \dfrac{50}{400} = \dfrac{50 \times 1}{50 \times 8} = \dfrac{1}{8}\]
La probabilité de tirer un jeton noir dans la boîte C est bien \(\dfrac{1}{8}\).
2. On compare les trois probabilités de gagner, écrites sous forme décimale :
- boîte A : \(\dfrac{1}{10} = 0{,}1\) ;
- boîte B : \(15\ \% = 0{,}15\) ;
- boîte C : \(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\).
Comme \(0{,}1 \lt 0{,}125 \lt 0{,}15\), Maxime a intérêt à choisir la boîte B, celle où la probabilité de tirer un jeton noir est la plus grande.
3. Notons \(n\) le nombre total de jetons de la boîte B. Les 18 jetons noirs représentent 15 % du total, donc \(0{,}15 \times n = 18\), d’où \(n = \dfrac{18}{0{,}15} = 120\). La boîte B contient 120 jetons. (Vérification : 15 % de 120, c’est \(0{,}15 \times 120 = 18\).)
4. Après l’ajout, la boîte C contient \(50 + 10 = 60\) jetons noirs. Pour que la probabilité reste égale à \(\dfrac{1}{8}\), le nombre total de jetons doit être 8 fois le nombre de jetons noirs : \(8 \times 60 = 480\) jetons. Il doit donc y avoir \(480 – 60 = 420\) jetons blancs, alors qu’il y en a 350. Il faut ajouter \(420 – 350 = 70\) jetons blancs.
Exercice 3 :
1. Dans le triangle ABC, le plus long côté est [AB]. On calcule séparément :
\(\text{AB}^2 = 17^2 = 289\) et \(\text{AC}^2 + \text{BC}^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\).
On a donc \(\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
2. Le triangle étant rectangle en C, on peut prendre [AC] comme base et [BC] comme hauteur :
\[\mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC} \times \text{BC}}{2} = \dfrac{8 \times 15}{2} = 60\]
L’aire du triangle ABC est 60 cm².
3. Dans le triangle ABC rectangle en C, pour l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\), [BC] est le côté opposé et [AC] le côté adjacent :
\[\tan\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} = \dfrac{15}{8} = 1{,}875\]
La calculatrice donne \(\arctan(1{,}875) \approx 61{,}9°\). \(\widehat{\text{BAC}} \approx 62°\) au degré près. (On obtient la même valeur avec \(\cos\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{8}{17}\) ou \(\sin\widehat{\text{BAC}} = \dfrac{15}{17}\).)
4. Les droites (AD) et (BE) se coupent en C. Les angles \(\widehat{\text{ACB}}\) et \(\widehat{\text{DCE}}\) sont opposés par le sommet, donc de même mesure : \(\widehat{\text{DCE}} = 90°\). Le triangle CDE est rectangle en C, d’hypoténuse [DE]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{CD}^2 = \text{DE}^2 – \text{CE}^2 = 13^2 – 12^2 = 169 – 144 = 25\]
donc \(\text{CD} = \sqrt{25} = 5\) cm. Le périmètre vaut \(\text{CD} + \text{CE} + \text{DE} = 5 + 12 + 13 = 30\). Le périmètre du triangle CDE est 30 cm.
5. Les points A, C, D sont alignés, ainsi que B, C, E, dans le même ordre. Si les droites (AB) et (DE) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait \(\dfrac{\text{CA}}{\text{CD}} = \dfrac{\text{CB}}{\text{CE}}\). Or :
\(\dfrac{\text{CA}}{\text{CD}} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6\) et \(\dfrac{\text{CB}}{\text{CE}} = \dfrac{15}{12} = 1{,}25\).
Ces deux rapports sont différents. Les droites (AB) et (DE) ne sont donc pas parallèles (contraposée du théorème de Thalès).
Exercice 4 :
1. Le bloc Motif répète 6 fois « avancer de Longueur, tourner de 60° vers la droite ». Le lutin trace donc 6 côtés de 30 pixels, et tourne au total de \(6 \times 60° = 360°\) : il revient à son point de départ. La figure est un hexagone régulier de 30 mm (3 cm) de côté.
Construction sur la copie : on trace un segment horizontal de 3 cm (le lutin part vers la droite), puis, en tournant chaque fois de 60° dans le sens des aiguilles d’une montre, cinq autres segments de 3 cm ; les angles intérieurs mesurent \(180° – 60° = 120°\). Autre méthode : tracer un cercle de rayon 3 cm et reporter six fois cette longueur sur le cercle au compas. L’hexagone obtenu a son côté supérieur horizontal et se trouve sous le point de départ.
2. La variable s’appelle « Longueur ». Dans le bloc Motif, le lutin avance de Longueur à chaque répétition : c’est la longueur (en pixels) d’un côté de l’hexagone.
3. Déroulons le programme. Le lutin part du point \((-190\ ;\ 0)\), à gauche de la scène (le signe « moins » de l’abscisse n’apparaît pas sur l’image du script, mais c’est bien \(-190\) dans le sujet officiel), orienté vers la droite, avec Longueur = 30.
À chaque tour de la boucle, il trace un hexagone de côté Longueur (ligne 6), relève le stylo (ligne 7), se déplace vers la droite de \(2 \times \text{Longueur} + 10\) pixels sans tracer (ligne 8), puis augmente Longueur de 10 (ligne 9).
On obtient donc quatre hexagones de côtés 30, 40, 50 et 60 pixels : ils sont de plus en plus grands et se succèdent vers la droite. Un hexagone de côté \(L\) tracé ainsi a une largeur de \(2L\) ; comme le lutin avance de \(2L + 10\) avant de tracer le suivant, les hexagones ne se chevauchent pas. Cela élimine la figure 1 (hexagones emboîtés) et la figure 3 (hexagones de plus en plus petits). C’est la figure 2.
4. La figure demandée comporte 6 hexagones identiques, régulièrement espacés.
- Ligne 5 : remplacer « répéter 4 fois » par « répéter 6 fois », pour obtenir six hexagones ;
- Ligne 9 : la supprimer (« ajouter à Longueur 10 »), pour que Longueur reste égale à 30 et que tous les hexagones aient la même taille.
La ligne 8 peut rester telle quelle : Longueur ne changeant plus, le déplacement vaut toujours \(30 \times 2 + 10 = 70\) pixels, ce qui laisse un écart constant de 10 pixels entre deux hexagones. Le dernier hexagone commence à \(x = -190 + 5 \times 70 = 160\) et s’arrête à \(x = 205\) : il tient dans la scène.
5. Un carré a 4 côtés et 4 angles droits ; le lutin doit donc tourner de 90° après chaque côté.
- Instruction C : remplacer « répéter 6 fois » par « répéter 4 fois » ;
- Instruction E : remplacer « tourner de 60 degrés » par « tourner de 90 degrés ».
Les instructions A, B et D ne changent pas (le côté du carré vaut Longueur).
Exercice 5 :
1. a. Sur le graphique du fournisseur A, le point de la droite d’abscisse 200 a pour ordonnée 500. 200 tours Eiffel coûtent 500 € chez le fournisseur A.
b. Sur le graphique du fournisseur B, on part de 1 300 sur l’axe des prix, on rejoint la courbe puis on descend sur l’axe horizontal : on lit 600. Nora a acheté environ 600 tours Eiffel chez le fournisseur B.
2. Une situation de proportionnalité se représente par une droite passant par l’origine.
- Fournisseur A : la représentation est une droite qui passe par l’origine, les prix sont proportionnels au nombre de tours achetées.
- Fournisseur B : la représentation passe par l’origine mais ce n’est pas une droite (la courbe s’infléchit), les prix ne sont pas proportionnels. Par exemple, 200 tours coûtent environ 500 € mais 600 tours coûtent 1 300 €, et non \(3 \times 500 = 1\,500\) €.
3. a. Une fonction linéaire s’écrit \(f(x) = ax\). Comme \(f(100) = 250\), on a \(a \times 100 = 250\), donc \(a = \dfrac{250}{100} = 2{,}5\). \(f(x) = 2{,}5x\) : chaque tour Eiffel coûte 2,50 € chez le fournisseur A.
b. \(f(1\,000) = 2{,}5 \times 1\,000 = 2\,500\). \(f(1\,000) = 2\,500\).
c. Chez le fournisseur A, 1 000 tours coûtent 2 500 € d’après la question précédente. Chez le fournisseur B, on lit sur le graphique qu’elles coûtent environ 1 800 €. Comme \(1\,800 \lt 2\,500\), le fournisseur B est le moins cher pour 1 000 tours Eiffel.
4. a. Chez le fournisseur C, le prix à payer pour \(x\) tours est \(150 + 2x\) euros (150 € d’accès plus 2 € par tour). Pour 200 tours : \(150 + 2 \times 200 = 550\) ; pour 1 000 tours : \(150 + 2 \times 1\,000 = 2\,150\).
| Nombre de tours Eiffel | 1 | 100 | 200 | 1000 | \(x\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix payé en euros avec le fournisseur C | 152 | 350 | 550 | 2 150 | \(150 + 2x\) |
b. On cherche \(x\) tel que \(150 + 2x = 580\). On obtient \(2x = 580 – 150 = 430\), donc \(x = \dfrac{430}{2} = 215\). Avec 580 €, Nora peut acheter 215 tours Eiffel chez le fournisseur C.
c. On regroupe les termes en \(x\) dans le membre de gauche :
\[2{,}5x – 2x = 150 \quad \text{donc} \quad 0{,}5x = 150 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{150}{0{,}5} = 300\]
La solution de l’équation est 300. Le membre de gauche, \(2{,}5x\), est le prix de \(x\) tours chez le fournisseur A ; le membre de droite, \(150 + 2x\), est leur prix chez le fournisseur C. La solution signifie donc que pour 300 tours Eiffel, les fournisseurs A et C demandent le même prix : \(2{,}5 \times 300 = 750\) € et \(150 + 2 \times 300 = 750\) €.
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