Voici le corrigé complet du brevet de maths 2019 des centres étrangers, rédigé question par question pour s’entraîner en conditions réelles. L’épreuve compte sept exercices très variés. On commence par un QCM qui balaie la décomposition en facteurs premiers, les pourcentages, la trigonométrie, la médiane et l’homothétie. Suivent un programme de calcul traité avec le calcul littéral, un tableur et une équation produit nul, puis une comparaison de périmètres d’un rectangle et d’un triangle équilatéral avec deux scripts Scratch. Le sujet se poursuit avec un tableau à double entrée et des probabilités, un meuble de rangement étudié avec le théorème de Thalès et sa réciproque puis le théorème de Pythagore, la lecture d’un graphique de randonnée avec une vitesse moyenne, et enfin une tâche complexe sur le budget d’une piscine (volume d’un cylindre, coût de l’eau et de l’électricité).
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet de maths 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
QCM : décomposition, pourcentage, trigonométrie, médiane, homothétie
1) Décomposition de 28 en produit de facteurs premiers.
\[ 28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7. \]
Les facteurs 2 et 7 sont bien premiers : la bonne réponse est la réponse C.
2) Prix d’un article de 58 € après une baisse de 20 %.
Baisser une quantité de 20 % revient à la multiplier par le coefficient \( 1 – \dfrac{20}{100} = 0{,}8 \). Donc :
\[ 58 \times 0{,}8 = 46{,}40. \]
Le nouveau prix est 46,40 € : la bonne réponse est la réponse B.
3) Longueur AC dans le triangle ABC rectangle en A, avec AB = 25 m et \( \widehat{ABC} = 15^\circ \).
Dans le triangle ABC rectangle en A, le côté [AC] est opposé à l’angle \( \widehat{ABC} \) et [AB] lui est adjacent :
\[ \tan(\widehat{ABC}) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AC}{25}, \quad \text{donc} \quad AC = 25 \times \tan(15^\circ) \approx 6{,}7 \text{ m}. \]
La bonne réponse est la réponse B.
4) Médiane de la série 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 12 (rangée dans l’ordre croissant).
La série compte 6 valeurs, un nombre pair. Une médiane doit séparer la série en deux groupes de même effectif (ici 3 valeurs chacun) : tout nombre compris entre la 3e valeur (5) et la 4e valeur (6) convient. On prend habituellement la moyenne de ces deux valeurs :
\[ \text{Me} = \dfrac{5 + 6}{2} = 5{,}5. \]
La bonne réponse est la réponse A.
5) Homothétie qui transforme le carré A en carré B.
Les droites (GH), (CD) et (EF) passent toutes par O : le centre de l’homothétie est O. Le carré B est deux fois plus petit que le carré A (côté divisé par 2), et il est situé de l’autre côté du centre O (par exemple G a pour image H, et O est entre G et H) : le rapport est donc négatif, égal à
\[ k = -\dfrac{1}{2}. \]
La bonne réponse est la réponse A.
Exercice 2 :
Programme de calcul, calcul littéral, tableur
Le programme : choisir un nombre ; l’élever au carré ; ajouter le triple du nombre de départ ; ajouter 2.
1) Résultat avec 1 comme nombre de départ.
- Nombre choisi : \( 1 \)
- Carré : \( 1^2 = 1 \)
- On ajoute le triple du nombre de départ : \( 1 + 3 \times 1 = 4 \)
- On ajoute 2 : \( 4 + 2 = 6 \)
Avec 1 au départ, le programme donne 6.
2) Résultat avec \( -5 \) comme nombre de départ.
- Nombre choisi : \( -5 \)
- Carré : \( (-5)^2 = 25 \)
- On ajoute le triple : \( 25 + 3 \times (-5) = 25 – 15 = 10 \)
- On ajoute 2 : \( 10 + 2 = 12 \)
Avec \( -5 \) au départ, le programme donne 12.
3) Expression du résultat en fonction du nombre de départ \( x \).
On obtient successivement \( x \), puis \( x^2 \), puis \( x^2 + 3x \), et enfin \( x^2 + 3x + 2 \).
Le résultat du programme est \( x^2 + 3x + 2 \).
4) Montrer que \( (x+2)(x+1) \) est égal au résultat du programme.
On développe par double distributivité :
\[ (x+2)(x+1) = x \times x + x \times 1 + 2 \times x + 2 \times 1 = x^2 + x + 2x + 2 = x^2 + 3x + 2. \]
On retrouve bien le résultat du programme.
5) a) Formule saisie dans la cellule B2 du tableur (le nombre de départ est en B1).
D’après la question 4, on peut écrire : =(B1+2)*(B1+1) (ou, de façon équivalente, =B1*B1+3*B1+2).
b) Nombres de départ pour lesquels le programme donne 0.
On résout \( (x+2)(x+1) = 0 \). Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[ x + 2 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 1 = 0, \quad \text{soit} \quad x = -2 \quad \text{ou} \quad x = -1. \]
Le programme donne 0 pour les nombres de départ \( -2 \) et \( -1 \).
Vérification : \( (-2)^2 + 3 \times (-2) + 2 = 4 – 6 + 2 = 0 \) et \( (-1)^2 + 3 \times (-1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0 \).
Exercice 3 :
Périmètres, équation, Scratch
Le rectangle a pour dimensions \( 4x + 1{,}5 \) et \( 2x \) ; le triangle équilatéral a pour côté \( 4x + 1 \) (en cm).
Partie 1
1) Côté du triangle équilatéral pour \( x = 2 \).
\[ 4 \times 2 + 1 = 8 + 1 = 9. \]
Pour \( x = 2 \), on construit un triangle équilatéral de côté 9 cm.
2) a) Montrer que le périmètre du rectangle s’écrit \( 12x + 3 \).
Le périmètre d’un rectangle vaut deux fois la longueur plus deux fois la largeur :
\[ 2 \times (4x + 1{,}5) + 2 \times 2x = 8x + 3 + 4x = 12x + 3. \]
Le périmètre du rectangle est bien \( 12x + 3 \).
b) Valeur de \( x \) pour laquelle le périmètre du rectangle vaut 18 cm.
\[ 12x + 3 = 18 \iff 12x = 15 \iff x = \dfrac{15}{12} = 1{,}25. \]
Le périmètre du rectangle est égal à 18 cm lorsque \( x = 1{,}25 \).
3) Comparer les périmètres des deux figures.
Le périmètre du triangle équilatéral est :
\[ 3 \times (4x + 1) = 12x + 3. \]
C’est exactement le périmètre du rectangle : les deux figures ont le même périmètre, quelle que soit la valeur de \( x \).
Partie 2
1) Associer chaque script à sa figure.
Le script 1 construit le rectangle : il répète 2 fois « avancer de la longueur, tourner de 90°, avancer de la largeur, tourner de 90° ». Deux côtés différents et des angles droits : c’est bien un rectangle, de dimensions \( 4x + 1{,}5 \) et \( 2x \) :
définir Définir script 1
demander (Donner une valeur :) et attendre
stylo en position d'écriture
répéter 2 fois
avancer de ((4 * réponse) + 1.5)
tourner ↺ de 90 degrés
avancer de (2 * réponse)
tourner ↺ de 90 degrés
fin
relever le stylo
Le script 2 construit le triangle équilatéral : il répète 3 fois « avancer du côté \( 4x + 1 \), tourner de 120° ». Pour fermer un triangle équilatéral, il faut en effet tourner de l’angle extérieur \( 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ \) à chaque sommet :
définir Définir script 2
demander (Donner une valeur :) et attendre
stylo en position d'écriture
répéter 3 fois
avancer de ((4 * réponse) + 1)
tourner ↺ de 120 degrés
fin
relever le stylo
Exercice 4 :
Tableau à double entrée, probabilités
1) Compléter le tableau des 45 modèles du magasin A.
On complète à partir des données (20 noirs dont 5 pour le sport, 7 blancs pour la ville, 3 marron pour le sport, 27 modèles pour la ville, 45 au total) :
| Modèle | Pour la ville | Pour le sport | Total |
|---|---|---|---|
| Noir | \( 20 – 5 = \) 15 | 5 | 20 |
| Blanc | 7 | \( 18 – 5 – 3 = \) 10 | \( 7 + 10 = \) 17 |
| Marron | \( 27 – 15 – 7 = \) 5 | 3 | \( 45 – 20 – 17 = \) 8 |
| Total | 27 | \( 45 – 27 = \) 18 | 45 |
2) On choisit un modèle au hasard parmi les 45 : il y a équiprobabilité.
a) Probabilité de choisir un modèle noir. Il y a 20 modèles noirs :
\[ P(\text{noir}) = \dfrac{20}{45} = \dfrac{4}{9}. \]
b) Probabilité de choisir un modèle pour le sport. Il y a 18 modèles pour le sport :
\[ P(\text{sport}) = \dfrac{18}{45} = \dfrac{2}{5}. \]
c) Probabilité de choisir un modèle pour la ville et de couleur marron. Il y en a 5 :
\[ P(\text{ville et marron}) = \dfrac{5}{45} = \dfrac{1}{9}. \]
3) Dans quel magasin a-t-on le plus de chances d’obtenir un modèle noir ?
Dans le magasin B, 30 modèles sur 54 sont noirs :
\[ P_B(\text{noir}) = \dfrac{30}{54} = \dfrac{5}{9}. \]
Comme \( \dfrac{5}{9} \gt \dfrac{4}{9} \), on a plus de chances d’obtenir un modèle noir dans le magasin B.
Exercice 5 :
Thalès, réciproque de Thalès, Pythagore
Les segments [AD] et [BC] se coupent en O, avec OA = 36 cm, OD = 64 cm, OB = 27 cm, OC = 48 cm et CD = 80 cm.
1) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les points A, O, D d’une part et B, O, C d’autre part sont alignés dans le même ordre. On calcule séparément :
\[ \dfrac{OA}{OD} = \dfrac{36}{64} = \dfrac{9 \times 4}{16 \times 4} = \dfrac{9}{16} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{OB}{OC} = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9 \times 3}{16 \times 3} = \dfrac{9}{16}. \]
Les deux rapports sont égaux : \( \dfrac{OA}{OD} = \dfrac{OB}{OC} \). D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2) Calculer la longueur AB.
Les droites (AD) et (BC) sont sécantes en O et (AB) est parallèle à (CD). D’après le théorème de Thalès :
\[ \dfrac{OA}{OD} = \dfrac{OB}{OC} = \dfrac{AB}{CD}, \quad \text{donc} \quad \dfrac{AB}{80} = \dfrac{9}{16}. \]
\[ AB = \dfrac{9 \times 80}{16} = \dfrac{720}{16} = 45. \]
AB = 45 cm.
3) Hauteur totale du meuble de rangement.
On a \( AD = OA + OD = 36 + 64 = 100 \) cm. Le triangle ACD est rectangle en C (le montant vertical [AC] est perpendiculaire à la planche [CD]) : son hypoténuse est [AD]. D’après le théorème de Pythagore :
\[ AD^2 = AC^2 + CD^2, \quad \text{donc} \quad AC^2 = AD^2 – CD^2 = 100^2 – 80^2 = 10\,000 – 6\,400 = 3\,600. \]
Comme AC est une longueur positive, \( AC = \sqrt{3\,600} = 60 \) cm.
Le meuble est formé de 4 casiers de 60 cm de haut séparés et encadrés par 5 planches de 2 cm d’épaisseur :
\[ 5 \times 2 + 4 \times 60 = 10 + 240 = 250. \]
La hauteur totale du meuble est de 250 cm, soit 2,50 m.
Exercice 6 :
Lecture graphique, proportionnalité, vitesse moyenne
Le graphique donne la distance parcourue (en km) par une famille en fonction de la durée de marche (en heures).
1) Ce graphique traduit-il une situation de proportionnalité ?
Une situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l’origine. Ici la courbe n’est pas une droite (elle comporte notamment un palier) : la distance parcourue n’est pas proportionnelle à la durée de marche.
2) Lectures graphiques.
- a) La courbe s’arrête à l’abscisse 7 : la randonnée a duré 7 heures.
- b) L’ordonnée du dernier point est 20 : la famille a parcouru 20 km au total.
- c) Pour l’abscisse 6, on lit l’ordonnée 18 : au bout de 6 heures, la famille a parcouru 18 km.
- d) Pour l’ordonnée 8, on lit l’abscisse 3 : les 8 premiers kilomètres ont été parcourus en 3 heures.
- e) Entre la 4e et la 5e heure, la courbe est horizontale : la distance ne change pas, la famille a fait une pause.
3) La famille est-elle expérimentée (c’est-à-dire marche-t-elle à une vitesse moyenne d’au moins 4 km/h) ?
\[ v_{\text{moy}} = \dfrac{\text{distance}}{\text{durée}} = \dfrac{20}{7} \approx 2{,}86 \text{ km/h}. \]
Comme \( 2{,}86 \lt 4 \), cette famille n’est pas expérimentée.
Exercice 7 :
Tâche complexe : budget d’une piscine (volume d’un cylindre, coûts)
Il s’agit de savoir si un budget de 200 € suffit pour acheter une piscine cylindrique (diamètre 2,60 m, hauteur d’eau 0,65 m) avec sa pompe, la remplir et faire fonctionner la pompe de juin à septembre.
- Achat de la piscine et de la pompe : 80 €.
- Coût de l’eau : le rayon vaut \( 2{,}60 : 2 = 1{,}30 \) m, donc le volume d’eau est
\[ V = \pi \times 1{,}30^2 \times 0{,}65 \approx 3{,}45 \text{ m}^3. \]
Le mètre cube coûtant 2,03 €, on paie \( 3{,}45 \times 2{,}03 \approx 7{,}00 \) : l’eau coûte environ 7 €.
- Coût de l’électricité : de juin à septembre inclus, il y a \( 30 + 31 + 31 + 30 = 122 \) jours. La pompe consomme 3,42 kWh par jour et le kWh coûte 0,15 € :
\[ 122 \times 3{,}42 \times 0{,}15 = 62{,}586. \]
L’électricité coûte environ 62,59 €.
- Coût total : \( 80 + 7 + 62{,}59 = 149{,}59 \) €.
Comme \( 149{,}59 \lt 200 \), le budget de 200 € est suffisant pour acheter la piscine et assurer son fonctionnement tout l’été.
