Corrigé du brevet de maths 2017 à Pondichéry

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet Pondichéry 2017 : Sujet de Maths – Brevet des Collèges : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Calcul littéral et équation produit nul, 5 points

On considère l’expression \( E=(x-2)(2x+3)-3(x-2) \).

1. Développer \( E \).

On développe chaque produit puis on réduit :

\[ E=2x^2+3x-4x-6-3x+6 \]
\[ E=2x^2-4x \]

Donc \( E=2x^2-4x \).

2. Factoriser \( E \) et vérifier que \( E=2F \) avec \( F=x(x-2) \).

Le facteur commun \( (x-2) \) apparaît dans les deux termes de l’expression de départ :

\[ E=(x-2)\big[(2x+3)-3\big]=(x-2)\times 2x=2x(x-2) \]

Or \( F=x(x-2) \), donc \( E=2\times x(x-2) \) : on a bien \( E=2F \). On retrouve aussi ce résultat à partir de la forme développée : \( 2x^2-4x=2x(x-2) \).

3. Résoudre \( (x-2)(2x+3)-3(x-2)=0 \).

Le membre de gauche est exactement \( E \), et \( E=2x(x-2) \). L’équation équivaut donc à \( 2x(x-2)=0 \).

Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

• \( 2x=0 \), c’est-à-dire \( x=0 \) ;
• \( x-2=0 \), c’est-à-dire \( x=2 \).

Les nombres cherchés sont 0 et 2.

Exercice 2 :

Probabilités, 6 points

Un sac contient 20 boules numérotées de 1 à 20, toutes ayant la même probabilité d’être tirées. On tire une boule au hasard : c’est une situation d’équiprobabilité, donc la probabilité d’un événement vaut \( \dfrac{\text{nombre de boules favorables}}{20} \). Les résultats sont demandés sous forme de fractions irréductibles.

1. Probabilité de tirer la boule numéro 13.

Une seule boule porte le numéro 13 : \( p=\dfrac{1}{20} \).

2. Probabilité de tirer un numéro pair.

Les numéros pairs sont 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 et 20, soit 10 boules :

\[ p=\frac{10}{20}=\frac{1}{2} \]

La probabilité est \( \dfrac{1}{2} \).

3. A-t-on plus de chances d’obtenir un multiple de 4 qu’un diviseur de 4 ?

• Multiples de 4 entre 1 et 20 : 4, 8, 12, 16, 20, soit 5 boules, d’où une probabilité de \( \dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4} \).
• Diviseurs de 4 : 1, 2 et 4, soit 3 boules, d’où une probabilité de \( \dfrac{3}{20} \).

Comme \( \dfrac{5}{20}\gt\dfrac{3}{20} \), on a plus de chances d’obtenir un multiple de 4 qu’un diviseur de 4.

4. Probabilité de tirer un nombre premier.

Un nombre premier admet exactement deux diviseurs, 1 et lui-même (1 n’est donc pas premier). Entre 1 et 20, les nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19, soit 8 nombres (attention à ne pas oublier 19).

\[ p=\frac{8}{20}=\frac{2}{5} \]

La probabilité de tirer un nombre premier est \( \dfrac{2}{5} \).

Exercice 3 :

Programme de calcul Scratch, 7 points

Le programme de Julie demande un nombre \( x \), calcule Etape 1 \( =6\times x \), puis Etape 2 \( = \) Etape 1 \( +10 \), puis Résultat \( = \) Etape 2 \( : 2 \), et affiche « J’obtiens finalement » suivi du résultat.

1. a. Vérifier qu’avec 5, le programme dit « J’obtiens finalement 20 ».

Etape 1 : \( 6\times 5=30 \) ; Etape 2 : \( 30+10=40 \) ; Résultat : \( 40: 2=20 \).

Le programme affiche bien « J’obtiens finalement 20 ».

b. Que dit le programme avec 7 ?

Etape 1 : \( 6\times 7=42 \) ; Etape 2 : \( 42+10=52 \) ; Résultat : \( 52: 2=26 \).

Le programme dit « J’obtiens finalement 26 ».

2. Le programme affiche 8 : quel nombre Julie a-t-elle choisi ?

On remonte le programme en appliquant les opérations inverses dans l’ordre inverse :

• Résultat \( =8 \), donc Etape 2 \( =8\times 2=16 \) ;
• Etape 2 \( =16 \), donc Etape 1 \( =16-10=6 \) ;
• Etape 1 \( =6 \), donc \( x=6: 6=1 \).

Julie avait choisi le nombre 1. (Vérification : \( 6\times 1+10=16 \) et \( 16: 2=8 \).)

3. Expression obtenue en fonction de \( x \), puis réduite.

\[ \frac{6x+10}{2}=\frac{6x}{2}+\frac{10}{2}=3x+5 \]

Le programme de Julie renvoie \( 3x+5 \).

4. Maxime choisit un nombre, lui ajoute 2 puis multiplie par 5. Existe-t-il un nombre donnant le même résultat que le programme de Julie ?

Avec le nombre de départ \( x \), Maxime obtient \( 5(x+2)=5x+10 \). On cherche \( x \) tel que :

\[ 5x+10=3x+5 \]
\[ 5x-3x=5-10 \]
\[ 2x=-5 \]
\[ x=-2{,}5 \]

Vérification : Julie obtient \( 3\times (-2{,}5)+5=-7{,}5+5=-2{,}5 \) et Maxime obtient \( 5\times (-2{,}5+2)=5\times (-0{,}5)=-2{,}5 \).

Oui : en choisissant \( -2{,}5 \), Julie et Maxime obtiennent tous deux \( -2{,}5 \).

Exercice 4 :

Fréquence cardiaque, fonctions et tableur, 7 points

Denis, 32 ans, s’entraîne sur un vélo d’appartement. La fréquence cardiaque (FC) est le nombre de pulsations du cœur par minute.

1. 18 pulsations en quinze secondes : quelle fréquence cardiaque ?

Une minute dure 60 secondes, soit \( 4\times 15 \) secondes. En une minute, le cœur bat donc \( 18\times 4=72 \) fois.

Cela correspond à une fréquence cardiaque de 72 pulsations par minute.

2. Intervalle de 0,8 seconde entre deux pulsations : quelle fréquence affichée ?

Une pulsation toutes les 0,8 s correspond, en 60 secondes, à :

\[ \frac{60}{0{,}8}=75 \]

Durée (s)	0,8	60
Nombre de pulsations	1	75

Le cardiofréquencemètre affiche 75 pulsations par minute.

3. Le bilan de la séance indique : 3 640 pulsations enregistrées, fréquence minimale 65 pulsations/min, fréquence moyenne 130 pulsations/min, fréquence maximale 182 pulsations/min.

a. Étendue des fréquences cardiaques enregistrées.

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \( 182-65=117 \).

L’étendue est de 117 pulsations par minute.

b. Durée de l’entraînement.

En moyenne, le cœur de Denis a battu 130 fois par minute, pour un total de 3 640 pulsations. La durée est donc :

\[ \frac{3\,640}{130}=28 \]

L’entraînement a duré 28 minutes.

4. La formule d’Astrand et Ryhming donne la fréquence cardiaque maximale conseillée (FCMC) : \( f(a)=220-a \), où \( a \) est l’âge en années.

a. Vérifier que la FCMC de Denis vaut 188 pulsations/minute.

Denis a 32 ans : \( f(32)=220-32=188 \). Sa FCMC est bien de 188 pulsations par minute.

b. Comparer avec la FCMC d’une personne de 15 ans.

\( f(15)=220-15=205 \). Comme \( 205\gt 188 \), la FCMC d’une personne de 15 ans est supérieure de 17 pulsations/minute à celle de Denis : plus on est jeune, plus la FCMC est élevée.

5. Formule de Gellish \( g(a)=191{,}5-0{,}007\times a^2 \) : quelle formule saisir en C2 ?

Dans le tableur, l’âge est en colonne A (A2 contient 30) et la cellule B2 contient =220-A2. En C2, on traduit la formule de Gellish en remplaçant l’âge par A2 :

=191,5-0,007*A2*A2

(on peut aussi écrire =191,5-0,007*A2^2). Vérification : pour 30 ans, \( 191{,}5-0{,}007\times 900=191{,}5-6{,}3=185{,}2 \), valeur qui figure bien dans le tableau. En recopiant cette formule vers le bas, A2 devient A3, A4…, ce qui complète toute la colonne.

Exercice 5 :

Production d’électricité et volume d’un tronc de cône, 8 points

Un graphique donne la production d’électricité en France en 2014 selon la source : thermique à flamme 25,8 TWh, hydraulique 67,5 TWh, autres énergies (dont la géothermie) 31 TWh, nucléaire 415,9 TWh.

1. a. Production totale d’électricité en 2014.

\[ 25{,}8+67{,}5+31+415{,}9=540{,}2 \]

La production totale a été de 540,2 TWh.

b. Montrer que la part des « Autres énergies » vaut environ 5,7 %.

\[ \frac{31}{540{,}2}\approx 0{,}0574 \]

Les « Autres énergies » représentent environ 5,7 % de la production d’électricité.

2. Tom pense que la source qui a « le plus augmenté » est « Autres énergies », Alice pense que c’est le nucléaire. Quel est le raisonnement de chacun ?

	Thermique à flamme	Hydraulique	Autres énergies	Nucléaire
2013 (TWh)	43,5	75,1	28,1	403,8
2014 (TWh)	25,8	67,5	31	415,9
Variation	−40,7 %	−10,1 %	+10,3 %	+3 %

• Tom raisonne en pourcentage (augmentation relative) : la production des « Autres énergies » a augmenté de 10,3 %, le plus fort pourcentage d’évolution du tableau (le nucléaire n’a augmenté que de 3 %).
• Alice raisonne en valeur absolue (augmentation en TWh) : le nucléaire est passé de 403,8 à 415,9 TWh, soit \( 415{,}9-403{,}8=12{,}1 \) TWh de plus, alors que les « Autres énergies » n’ont gagné que \( 31-28{,}1=2{,}9 \) TWh.

Les deux ont raison, chacun selon son point de vue : la plus forte hausse relative est celle des « Autres énergies », la plus forte hausse en quantité est celle du nucléaire.

3. a. Vérifier que le volume du puits est environ égal à 225 m³.

Le puits est un tronc de cône de hauteur \( h=2\,500 \) m, dont la grande base mesure 46 cm de diamètre et la petite base 20 cm de diamètre. Le volume est donné par \( V=\dfrac{\pi}{3}\times h\times (R^2+R\times r+r^2) \).

Il faut travailler dans la même unité et utiliser les rayons (moitié des diamètres) : \( R=23 \) cm \( =0{,}23 \) m et \( r=10 \) cm \( =0{,}1 \) m.

\[ V=\frac{\pi}{3}\times 2\,500\times (0{,}23^2+0{,}23\times 0{,}1+0{,}1^2) \]
\[ V=\frac{\pi}{3}\times 2\,500\times (0{,}0529+0{,}023+0{,}01)=\frac{\pi}{3}\times 2\,500\times 0{,}0859\approx 224{,}9 \]

Le volume du puits est bien d’environ 225 m³.

b. Une fois extraite, la terre voit son volume augmenter de 30 %. Volume de terre à stocker ?

Augmenter de 30 % revient à multiplier par \( 1+\dfrac{30}{100}=1{,}3 \) :

\[ 225\times 1{,}3=292{,}5 \]

Il faudra stocker environ 292,5 m³ de terre (292,4 m³ si l’on part de la valeur non arrondie 224,9 m³).

Exercice 6 :

Pentes de routes, Pythagore et trigonométrie, 7 points

La pente d’une route est le quotient \( \dfrac{\text{dénivelé}}{\text{déplacement horizontal}} \), exprimé en pourcentage. On doit classer trois pentes de la plus forte à la moins forte.

Route du château des Adhémar (Montélimar)

Le panneau routier indique directement une pente de 24 %.

Route du col du Grand Colombier (Ain)

On connaît le dénivelé (280 m) et la longueur de la route, 1,5 km soit 1 500 m, qui est l’hypoténuse du triangle rectangle. Il manque le déplacement horizontal \( d \).

Le triangle est rectangle, donc d’après le théorème de Pythagore :

\[ 280^2+d^2=1\,500^2 \]
\[ d^2=2\,250\,000-78\,400=2\,171\,600 \]
\[ d=\sqrt{2\,171\,600}\approx 1\,473{,}6 \text{ m} \]

La pente vaut donc :

\[ \frac{280}{\sqrt{2\,171\,600}}\approx 0{,}190 \]

La pente est d’environ 19,0 %.

Route de l’Alto de l’Angliru (Asturies)

On connaît le déplacement horizontal (146 m) et l’angle entre la route et l’horizontale (12,4°). Dans le triangle rectangle, le dénivelé est le côté opposé à cet angle et le déplacement horizontal le côté adjacent, donc :

\[ \tan(12{,}4^\circ)=\frac{\text{dénivelé}}{\text{déplacement horizontal}} \]

La pente est donc directement égale à \( \tan(12{,}4^\circ)\approx 0{,}220 \), soit environ 22,0 % (le dénivelé vaut \( 146\times \tan(12{,}4^\circ)\approx 32{,}1 \) m).

Classement

Comme \( 24\ \%\gt 22{,}0\ \%\gt 19{,}0\ \% \), l’ordre décroissant est : route du château des Adhémar, puis route de l’Alto de l’Angliru, puis route du col du Grand Colombier.

Exercice 7 :

Proportionnalité et tarif postal, 5 points

Alban envoie dans une seule enveloppe 2 lettres de motivation et 2 CV, chacun sur une feuille A4, soit 4 feuilles. Les tarifs de la lettre prioritaire sont :

Masse jusqu’à	20 g	100 g	250 g	500 g	3 kg
Tarif	0,80 €	1,60 €	3,20 €	4,80 €	6,40 €

1. Le tarif est-il proportionnel à la masse ?

Si c’était le cas, le quotient tarif / masse serait constant. Or une lettre de 100 g est 5 fois plus lourde qu’une lettre de 20 g (\( 100: 20=5 \)), mais elle ne coûte que 2 fois plus cher (\( 1{,}60: 0{,}80=2 \)). Autrement dit \( \dfrac{0{,}80}{20}=0{,}04 \) alors que \( \dfrac{1{,}60}{100}=0{,}016 \).

Le tarif d’affranchissement n’est donc pas proportionnel à la masse.

2. Quel tarif choisir ?

Masse d’une enveloppe : le paquet de 50 enveloppes pèse 175 g, donc une enveloppe pèse \( 175: 50=3{,}5 \) g.

Masse d’une feuille A4 : son aire est \( 21\times 29{,}7=623{,}7 \) cm². Le grammage de 80 g/m² signifie que 1 m², c’est-à-dire \( 10^4 \) cm², pèse 80 g. Par proportionnalité :

Aire (cm²)	10 000	623,7
Masse (g)	80	?

\[ \frac{623{,}7\times 80}{10\,000}=4{,}9896\approx 5 \text{ g} \]

Masse totale du courrier : 4 feuilles et une enveloppe :

\[ 4\times 4{,}9896+3{,}5=19{,}9584+3{,}5\approx 23{,}5 \text{ g} \]

Le courrier dépasse 20 g mais pas 100 g. Alban doit choisir le tarif « jusqu’à 100 g », soit un timbre à 1,60 €.