Corrigé du brevet de maths 2017 à Pondichéry

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet Pondichéry 2017 : Sujet de Maths – Brevet des Collèges : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet (corrigé Pondichéry 2017)

Exercice 1 :

Calcul littéral et équation produit nul, 5 points

De même, on considère l’expression \( E=(x-2)(2x+3)-3(x-2) \).

1. Développer \( E \).

On développe chaque produit puis on réduit :

\[ E=2x^2+3x-4x-6-3x+6 \]
\[ E=2x^2-4x \]

Donc \( E=2x^2-4x \).

2. Factoriser \( E \) et vérifier que \( E=2F \) avec \( F=x(x-2) \).

Également, le facteur commun \( (x-2) \) apparaît dans les deux termes de l’expression de départ :

\[ E=(x-2)\big[(2x+3)-3\big]=(x-2)\times 2x=2x(x-2) \]

Or \( F=x(x-2) \), donc \( E=2\times x(x-2) \) : on a bien \( E=2F \). Ensuite, on retrouve aussi ce résultat à partir de la forme développée : \( 2x^2-4x=2x(x-2) \).

3. Résoudre \( (x-2)(2x+3)-3(x-2)=0 \).

Par ailleurs, le membre de gauche est exactement \( E \), et \( E=2x(x-2) \). L’équation équivaut donc à \( 2x(x-2)=0 \).

Enfin, un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

• \( 2x=0 \), c’est-à-dire \( x=0 \) ;
• \( x-2=0 \), c’est-à-dire \( x=2 \).

Les nombres cherchés sont 0 et 2.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 2 (corrigé Pondichéry 2017)

Probabilités, 6 points

De plus, un sac contient 20 boules numérotées de 1 à 20, toutes ayant la même probabilité d’être tirées. Par ailleurs, on tire une boule au hasard : c’est une situation d’équiprobabilité, donc la probabilité d’un événement vaut \( \dfrac{\text{nombre de boules favorables}}{20} \). Puis les résultats sont demandés sous forme de fractions irréductibles.

1. Probabilité de tirer la boule numéro 13.

Ainsi, une seule boule porte le numéro 13 : \( p=\dfrac{1}{20} \).

2. Probabilité de tirer un numéro pair.

De même, les numéros pairs sont 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 et 20, soit 10 boules :

\[ p=\frac{10}{20}=\frac{1}{2} \]

La probabilité est \( \dfrac{1}{2} \).

Exercice 2 (corrigé Pondichéry 2017) (suite)

3. A-t-on plus de chances d’obtenir un multiple de 4 qu’un diviseur de 4 ?

• Multiples de 4 entre 1 et 20 : 4, 8, 12, 16, 20, soit 5 boules, d’où une probabilité de \( \dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4} \).
• Diviseurs de 4 : 1, 2 et 4, soit 3 boules, d’où une probabilité de \( \dfrac{3}{20} \).

Également, comme \( \dfrac{5}{20}\gt\dfrac{3}{20} \), on a plus de chances d’obtenir un multiple de 4 qu’un diviseur de 4.

4. Probabilité de tirer un nombre premier.

Un nombre premier admet exactement deux diviseurs, 1 et lui-même (1 n’est donc pas premier). Entre 1 et 20, les nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19, soit 8 nombres (attention à ne pas oublier 19).

\[ p=\frac{8}{20}=\frac{2}{5} \]

La probabilité de tirer un nombre premier est \( \dfrac{2}{5} \).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 3 :

Programme de calcul Scratch, 7 points

Le programme de Julie demande un nombre \( x \), calcule Etape 1 \( =6\times x \), puis Etape 2 \( = \) Etape 1 \( +10 \), puis Résultat \( = \) Etape 2 \( : 2 \), et affiche « J’obtiens finalement » suivi du résultat.

1. a. Vérifier qu’avec 5, le programme dit « J’obtiens finalement 20 ».

Par ailleurs, etape 1 : \( 6\times 5=30 \) ; Etape 2 : \( 30+10=40 \) ; Résultat : \( 40: 2=20 \).

Le programme affiche bien « J’obtiens finalement 20 ».

b. Que dit le programme avec 7 ?

Enfin, etape 1 : \( 6\times 7=42 \) ; Etape 2 : \( 42+10=52 \) ; Résultat : \( 52: 2=26 \).

Le programme dit « J’obtiens finalement 26 ».

2. Le programme affiche 8 : quel nombre Julie a-t-elle choisi ?

De plus, on remonte le programme en appliquant les opérations inverses dans l’ordre inverse :

• Résultat \( =8 \), donc Etape 2 \( =8\times 2=16 \) ;
• Etape 2 \( =16 \), donc Etape 1 \( =16-10=6 \) ;
• Etape 1 \( =6 \), donc \( x=6: 6=1 \).

Julie avait choisi le nombre 1. (Vérification : \( 6\times 1+10=16 \) et \( 16: 2=8 \).)

3. Expression obtenue en fonction de \( x \), puis réduite.

\[ \frac{6x+10}{2}=\frac{6x}{2}+\frac{10}{2}=3x+5 \]

Le programme de Julie renvoie \( 3x+5 \).

4. Maxime choisit un nombre, lui ajoute 2 puis multiplie par 5. Existe-t-il un nombre donnant le même résultat que le programme de Julie ?

Ainsi, Avec le nombre de départ \( x \), Maxime obtient \( 5(x+2)=5x+10 \). Ensuite, on cherche \( x \) tel que :

\[ 5x+10=3x+5 \]
\[ 5x-3x=5-10 \]
\[ 2x=-5 \]
\[ x=-2{,}5 \]

De même, Vérification : Julie obtient \( 3\times (-2{,}5)+5=-7{,}5+5=-2{,}5 \) et Maxime obtient \( 5\times (-2{,}5+2)=5\times (-0{,}5)=-2{,}5 \).

Oui : en choisissant \( -2{,}5 \), Julie et Maxime obtiennent tous deux \( -2{,}5 \).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 4 (corrigé Pondichéry 2017)

Fréquence cardiaque, fonctions et tableur, 7 points

Également, denis, 32 ans, s’entraîne sur un vélo d’appartement. Puis la fréquence cardiaque (FC) est le nombre de pulsations du cœur par minute.

1. 18 pulsations en quinze secondes : quelle fréquence cardiaque ?

Par ailleurs, une minute dure 60 secondes, soit \( 4\times 15 \) secondes. De plus, en une minute, le cœur bat donc \( 18\times 4=72 \) fois.

Cela correspond à une fréquence cardiaque de 72 pulsations par minute.

2. Intervalle de 0,8 seconde entre deux pulsations : quelle fréquence affichée ?

Enfin, une pulsation toutes les 0,8 s correspond, en 60 secondes, à :

\[ \frac{60}{0{,}8}=75 \]

Durée (s)	0,8	60
Nombre de pulsations	1	75

Le cardiofréquencemètre affiche 75 pulsations par minute.

3. De plus, le bilan de la séance indique : 3 640 pulsations enregistrées, fréquence minimale 65 pulsations/min, fréquence moyenne 130 pulsations/min, fréquence maximale 182 pulsations/min.

Exercice 4 (corrigé Pondichéry 2017) (suite)

a. Étendue des fréquences cardiaques enregistrées.

Ainsi, l’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \( 182-65=117 \).

L’étendue est de 117 pulsations par minute.

b. Durée de l’entraînement.

De même, en moyenne, le cœur de Denis a battu 130 fois par minute, pour un total de 3 640 pulsations. Ensuite, la durée est donc :

\[ \frac{3\,640}{130}=28 \]

L’entraînement a duré 28 minutes.

4. Également, la formule d’Astrand et Ryhming donne la fréquence cardiaque maximale conseillée (FCMC) : \( f(a)=220-a \), où \( a \) est l’âge en années.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Également, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 4 (corrigé Pondichéry 2017) (suite)

a. Vérifier que la FCMC de Denis vaut 188 pulsations/minute.

Par ailleurs, denis a 32 ans : \( f(32)=220-32=188 \). Sa FCMC est bien de 188 pulsations par minute.

b. Comparer avec la FCMC d’une personne de 15 ans.

\( f(15)=220-15=205 \). Comme \( 205\gt 188 \), la FCMC d’une personne de 15 ans est supérieure de 17 pulsations/minute à celle de Denis : plus on est jeune, plus la FCMC est élevée.

5. Formule de Gellish \( g(a)=191{,}5-0{,}007\times a^2 \) : quelle formule saisir en C2 ?

Enfin, dans le tableur, l’âge est en colonne A (A2 contient 30) et la cellule B2 contient =220-A2. Par ailleurs, en C2, on traduit la formule de Gellish en remplaçant l’âge par A2 :

=191,5-0,007*A2*A2

(on peut aussi écrire =191,5-0,007*A2^2). Vérification : pour 30 ans, \( 191{,}5-0{,}007\times 900=191{,}5-6{,}3=185{,}2 \), valeur qui figure bien dans le tableau. En recopiant cette formule vers le bas, A2 devient A3, A4…, ce qui complète toute la colonne.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 5 :

Production d’électricité et volume d’un tronc de cône, 8 points

Un graphique donne la production d’électricité en France en 2014 selon la source : thermique à flamme 25,8 TWh, hydraulique 67,5 TWh, autres énergies (dont la géothermie) 31 TWh, nucléaire 415,9 TWh.

1. a. Production totale d’électricité en 2014.

\[ 25{,}8+67{,}5+31+415{,}9=540{,}2 \]

La production totale a été de 540,2 TWh.

b. Montrer que la part des « Autres énergies » vaut environ 5,7 %.

\[ \frac{31}{540{,}2}\approx 0{,}0574 \]

Les « Autres énergies » représentent environ 5,7 % de la production d’électricité.

Exercice 5 (suite)

2. Tom pense que la source qui a « le plus augmenté » est « Autres énergies », Alice pense que c’est le nucléaire. Quel est le raisonnement de chacun ?

	Thermique à flamme	Hydraulique	Autres énergies	Nucléaire
2013 (TWh)	43,5	75,1	28,1	403,8
2014 (TWh)	25,8	67,5	31	415,9
Variation	−40,7 %	−10,1 %	+10,3 %	+3 %

• Tom raisonne en pourcentage (augmentation relative) : la production des « Autres énergies » a augmenté de 10,3 %, le plus fort pourcentage d’évolution du tableau (le nucléaire n’a augmenté que de 3 %).
• Alice raisonne en valeur absolue (augmentation en TWh) : le nucléaire est passé de 403,8 à 415,9 TWh, soit \( 415{,}9-403{,}8=12{,}1 \) TWh de plus, alors que les « Autres énergies » n’ont gagné que \( 31-28{,}1=2{,}9 \) TWh.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 5 : (suite)

Les deux ont raison, chacun selon son point de vue : la plus forte hausse relative est celle des « Autres énergies », la plus forte hausse en quantité est celle du nucléaire.

3. a. Vérifier que le volume du puits est environ égal à 225 m³.

De plus, le puits est un tronc de cône de hauteur \( h=2\,500 \) m, dont la grande base mesure 46 cm de diamètre et la petite base 20 cm de diamètre. Puis le volume est donné par \( V=\dfrac{\pi}{3}\times h\times (R^2+R\times r+r^2) \).

Ainsi, il faut travailler dans la même unité et utiliser les rayons (moitié des diamètres) : \( R=23 \) cm \( =0{,}23 \) m et \( r=10 \) cm \( =0{,}1 \) m.

\[ V=\frac{\pi}{3}\times 2\,500\times (0{,}23^2+0{,}23\times 0{,}1+0{,}1^2) \]
\[ V=\frac{\pi}{3}\times 2\,500\times (0{,}0529+0{,}023+0{,}01)=\frac{\pi}{3}\times 2\,500\times 0{,}0859\approx 224{,}9 \]

Le volume du puits est bien d’environ 225 m³.

b. Une fois extraite, la terre voit son volume augmenter de 30 %. Volume de terre à stocker ?

De même, augmenter de 30 % revient à multiplier par \( 1+\dfrac{30}{100}=1{,}3 \) :

\[ 225\times 1{,}3=292{,}5 \]

Il faudra stocker environ 292,5 m³ de terre (292,4 m³ si l’on part de la valeur non arrondie 224,9 m³).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 6 (corrigé Pondichéry 2017)

Pentes de routes, Pythagore et trigonométrie, 7 points

Également, la pente d’une route est le quotient \( \dfrac{\text{dénivelé}}{\text{déplacement horizontal}} \), exprimé en pourcentage. Ensuite, on doit classer trois pentes de la plus forte à la moins forte.

Route du château des Adhémar (Montélimar)

Par ailleurs, le panneau routier indique directement une pente de 24 %.

Route du col du Grand Colombier (Ain)

Enfin, on connaît le dénivelé (280 m) et la longueur de la route, 1,5 km soit 1 500 m, qui est l’hypoténuse du triangle rectangle. Puis il manque le déplacement horizontal \( d \).

Le triangle est rectangle, donc d’après le théorème de Pythagore :

\[ 280^2+d^2=1\,500^2 \]
\[ d^2=2\,250\,000-78\,400=2\,171\,600 \]
\[ d=\sqrt{2\,171\,600}\approx 1\,473{,}6 \text{ m} \]

La pente vaut donc :

\[ \frac{280}{\sqrt{2\,171\,600}}\approx 0{,}190 \]

La pente est d’environ 19,0 %.

Route de l’Alto de l’Angliru (Asturies)

De plus, on connaît le déplacement horizontal (146 m) et l’angle entre la route et l’horizontale (12,4°). De plus, dans le triangle rectangle, le dénivelé est le côté opposé à cet angle et le déplacement horizontal le côté adjacent, donc :

\[ \tan(12{,}4^\circ)=\frac{\text{dénivelé}}{\text{déplacement horizontal}} \]

La pente est donc directement égale à \( \tan(12{,}4^\circ)\approx 0{,}220 \), soit environ 22,0 % (le dénivelé vaut \( 146\times \tan(12{,}4^\circ)\approx 32{,}1 \) m).

Classement

Comme \( 24\ \%\gt 22{,}0\ \%\gt 19{,}0\ \% \), l’ordre décroissant est : route du château des Adhémar, puis route de l’Alto de l’Angliru, puis route du col du Grand Colombier.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 7 :

Proportionnalité et tarif postal, 5 points

Ainsi, Alban envoie dans une seule enveloppe 2 lettres de motivation et 2 CV, chacun sur une feuille A4, soit 4 feuilles. Ensuite, les tarifs de la lettre prioritaire sont :

Masse jusqu’à	20 g	100 g	250 g	500 g	3 kg
Tarif	0,80 €	1,60 €	3,20 €	4,80 €	6,40 €

1. Le tarif est-il proportionnel à la masse ?

De même, Si c’était le cas, le quotient tarif / masse serait constant. Or une lettre de 100 g est 5 fois plus lourde qu’une lettre de 20 g (\( 100: 20=5 \)), mais elle ne coûte que 2 fois plus cher (\( 1{,}60: 0{,}80=2 \)). Autrement dit \( \dfrac{0{,}80}{20}=0{,}04 \) alors que \( \dfrac{1{,}60}{100}=0{,}016 \).

Le tarif d’affranchissement n’est donc pas proportionnel à la masse.

2. Quel tarif choisir ?

Masse d’une enveloppe : le paquet de 50 enveloppes pèse 175 g, donc une enveloppe pèse \( 175: 50=3{,}5 \) g.

Masse d’une feuille A4 : son aire est \( 21\times 29{,}7=623{,}7 \) cm². Par ailleurs, le grammage de 80 g/m² signifie que 1 m², c’est-à-dire \( 10^4 \) cm², pèse 80 g. Par ailleurs, par proportionnalité :

Aire (cm²)	10 000	623,7
Masse (g)	80	?

\[ \frac{623{,}7\times 80}{10\,000}=4{,}9896\approx 5 \text{ g} \]

Masse totale du courrier : 4 feuilles et une enveloppe :

\[ 4\times 4{,}9896+3{,}5=19{,}9584+3{,}5\approx 23{,}5 \text{ g} \]

Le courrier dépasse 20 g mais pas 100 g. Alban doit choisir le tarif « jusqu’à 100 g », soit un timbre à 1,60 €.

Corrigé Pondichéry 2017 : nos conseils pour progresser

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Puis en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet de maths 2019 en Nouvelle-Calédonie (mars 2019).