Symétrie centrale : corrigé des exercices de maths en 5ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (corrigé symétrie centrale)

La figure ci-dessus montre le symétrique du serpent. Les autres figures se construisent de la même façon :

• sur le quadrillage et sur le réseau triangulaire, pour chaque sommet, on compte le déplacement (carreaux ou côtés de triangles) qui mène au point O, puis on refait le même déplacement au-delà de O ; on relie ensuite les points dans le même ordre ;
• pour la symétrie par rapport à la droite d, chaque sommet et son image sont à la même distance de d, sur une perpendiculaire à d : on compte les carreaux jusqu’à d et on les reporte de l’autre côté de d.

Le symétrique par rapport à O est la figure retournée d’un demi-tour, alors que le symétrique par rapport à d est son image dans un miroir : les deux dessins obtenus sont différents.

Exercice 2 :

Exercice 3 (corrigé symétrie centrale)

Exercice 4 :

Voici le symétrique du bonhomme de neige

par rapport au point I, créé avec le logiciel Geogebra.

Exercice 5 (corrigé symétrie centrale)

1. Tracer un triangle IJK et placer un point R sur le côté [IK].

Le point O est le milieu du segment [JR].

Construire les points S et T qui sont les symétriques respectifs des points I et K par rapport au point O.

2. Prouver que les droites (TI) et (KS) sont parallèles et que les longueurs TI et KS sont égales.

On sait que : la droite (TI) est la symétrique de la droite (KS) par rapport à O.

Propriété :   La symétrie centrale transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.

Conclusion : (TI) est parallèle à (KS) .

De même la symétrie conserve les longueurs des segments donc TI=KS.

3. Prouver que les mesures des angles \(\widehat{OIR}\) et \(\widehat{OSJ}\) sont égales.

On sait que : S, O et J sont les symétriques respectifs de I, O et R par rapport à O (O est le milieu de [JR]). L’angle \(\widehat{OSJ}\) est donc le symétrique de l’angle \(\widehat{OIR}\).

Propriété : la symétrie centrale conserve les mesures des angles.

Conclusion : les angles \(\widehat{OIR}\) et \(\widehat{OSJ}\) ont la même mesure.

4. Prouver que les points S,J et T sont alignés.

On sait que :Les points I,R,K sont alignés et pour symétriques respectifs les points S,J,T.

Propriété : la symétrie centrale conserve l’alignement.

Conclusion:Les points S,J et T sont alignés.

Exercice 6 :

Exercice 7 (corrigé symétrie centrale)

1.

a. Placer quatre points A,B,I et J non alignés.

b. Construire les points C et D qui sont les symétriques des points A et B par rapport au point I.

c. Construire les point F et E qui sont les symétriques des points C et D par rapport au point J.

2. Quelle est la symétrique de la demi-droite [AB) par rapport au point I ?

C’est la demi-droite [CD)

Quelle est la symétrique de la demi-droite [CD) par rapport au point J?

C’est la demi-droite [FE)

3. Les demi-droites [AB) et [FE) sont-elles parallèles ?Sont-elles de même sens ?

Oui ces deux droites sont parallèles car la symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle.

De plus on a construit les images par deux symétrie centrale consécutives.

Une symétrie centrale équivaut à un demi-tour de 180 °.

On a donc effectuer un tour de 360°, voilà pourquoi elles ont le même sens.

Exercice 8 :

Exercice 9 (corrigé symétrie centrale)

Exercice 10 :

La symétrie centrale est un chapitre important en classe de 5ème. Les élèves vont développer des compétences nouvelles avec ce cours et progresser tout au long de l’année scolaire. Ainsi, la symétrie centrale conserve : les alignements ( les symétriques de trois points alignés s’alignent) mais aussi le parallélisme (les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles). En géométrie, une symétrie centrale est une transformation d’un espace affine. En  outre, elle se réalise à partir d’un point fixe noté Ω appelé le centre de symétrie. De plus, elle transforme tout point M en un point image M’ tel que le point Ω soit le milieu du segment [MM’].

Exercice 11 (corrigé symétrie centrale)

Les zones violette et verte sont symétriques par rapport au point O. Or la symétrie centrale conserve les aires : les deux zones ont donc la même aire.

De plus, les deux zones se partagent le rectangle sans se chevaucher. Chacune occupe donc la moitié du rectangle.

Aire du rectangle : \(5 \times 3 = 15\) cm².

Aire de la zone violette : \(15 : 2 = 7{,}5\) cm².

C’est Tom qui a raison : la zone violette mesure 7,5 cm², sans avoir besoin de connaître la forme exacte de la frontière.

Exercice 12 :

On ne dispose que d’une règle non graduée : on ne peut pas reporter de longueur, il faut donc utiliser le cercle.

1. Symétrique de A : on trace la droite (AO). Elle recoupe le cercle en un point A’. Comme OA’ = OA (ce sont deux rayons) et que A, O, A’ sont alignés, O est le milieu de [AA’] : A’ est le symétrique de A par rapport à O.
2. Symétrique de B : de même, la droite (BO) recoupe le cercle en B’, symétrique de B.
3. Symétrique de C : C est sur la droite (AB). Le symétrique de la droite (AB) est la droite (A’B’), donc C’ est sur (A’B’). Par ailleurs, C’ est aussi sur la droite (CO). C’ est le point d’intersection des droites (CO) et (A’B’).

Exercice 13 (corrigé symétrie centrale)

a. On trace deux demi-droites perpendiculaires d’origine O (équerre), puis on place M à 4 cm de O sur l’une et N à 6 cm de O sur l’autre. On trace enfin la droite (MN).

b. Pour construire le symétrique d’une droite, il suffit de construire les symétriques de deux de ses points :

• M’ est sur la demi-droite opposée à [OM), avec OM’ = OM = 4 cm ;
• N’ est sur la demi-droite opposée à [ON), avec ON’ = ON = 6 cm.

La symétrique de la droite (MN) par rapport à O est la droite (M’N’). Elle est parallèle à (MN), car une symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle.

Exercice 14 :

a. On trace le segment [AB] de 6 cm et on place son milieu K (AK = KB = 3 cm). On trace le demi-cercle de diamètre [AB] (centre K, rayon 3 cm). Avec l’équerre, on trace la perpendiculaire à (AB) en A et on place C tel que AC = 3 cm. On trace enfin le quart de cercle de centre A et de rayon 3 cm qui va de K à C.

b. On construit les symétriques des points par rapport à C :

• A’ est sur la demi-droite [AC), au-delà de C, avec CA’ = CA = 3 cm ;
• B’ est sur la demi-droite opposée à [CB), avec CB’ = CB ;
• on trace le demi-cercle de diamètre [A’B’] (de l’autre côté) et le quart de cercle de centre A’ et de rayon 3 cm qui va de C au milieu de [A’B’].

c. Aire de la figure de départ (rayon 3 cm) :

• demi-disque : \(\pi \times 3 \times 3 : 2 = 4{,}5\pi\) cm² ;
• quart de disque : \(\pi \times 3 \times 3 : 4 = 2{,}25\pi\) cm² ;
• total : \(4{,}5\pi + 2{,}25\pi = 6{,}75\pi\) cm².

La symétrie centrale conserve les aires et la partie ajoutée ne chevauche pas la figure de départ (elles se touchent seulement en C). L’aire de la figure obtenue est donc :

\(2 \times 6{,}75\pi = 13{,}5\pi \approx 42{,}41\) cm².

L’aire de la figure obtenue vaut environ 42,4 cm² (au dixième près).

Exercice 15 (corrigé symétrie centrale)

Construction de la figure : on trace le rectangle ABCD avec AB = 4 cm et AD = 6 cm, puis le demi-cercle de diamètre [CD] à l’extérieur du rectangle (centre au milieu de [CD], rayon 2 cm). On place G sur [BC] avec BG = 4 cm et on construit le triangle équilatéral BGF au compas (arcs de rayon 4 cm de centres B et G). O est le milieu de [BG].

Complément de la figure : O est le milieu de [BG], donc B et G sont symétriques par rapport à O. On construit ensuite :

• F’, symétrique de F : le triangle BGF’ est équilatéral, de l’autre côté de (BC) ;
• C’, symétrique de C : sur la droite (BC), avec OC’ = OC = 4 cm, donc 2 cm à gauche de B ;
• A’ et D’, symétriques de A et D, à 4 cm en dessous de (BC) : A’GC’D’ est un rectangle de 6 cm sur 4 cm ;
• le demi-cercle de diamètre [C’D’], tourné vers la gauche.

La figure complète admet bien O comme centre de symétrie : chaque élément a son symétrique dans la figure.

Exercice 16 :

Pour chaque figure, on construit le symétrique de chaque sommet M : on trace la demi-droite [MO) et on reporte au compas la longueur MO au-delà de O. Le point M’ obtenu vérifie que O est le milieu de [MM’]. On relie ensuite les points dans le même ordre.

Pour le visage, le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon dont le centre est le symétrique du centre. Chaque figure obtenue est la figure de départ retournée d’un demi-tour autour de O (en rouge ci-dessous).

Exercice 17 (corrigé symétrie centrale)

Construire le symétrique de chacune des figures suivantes par rapport au point O.

Exercice 18 :

Indiquer dans quelle zone est situé chacun des points suivants :

1. Le symétrique du point A par rapport au point O: zone bleue.
2. Le symétrique du point A par rapport au point B : zone blanche.
3. Le symétrique du point O par rapport au point B: zone blanche.
4. Le symétrique du point B par rapport au point O : zone orange.
5. Le symétrique du point C par rapport au point O : zone verte.
6. Le symétrique du point C par rapport au point B  : zone blanche.

Exercice 19 (corrigé symétrie centrale)

a. On trace [AB] de 3 cm, puis deux arcs de cercle de rayon 3 cm, de centres A et B : ils se coupent en C.

b. Pour construire A’ : on trace la demi-droite [AO) et on reporte au compas la longueur AO au-delà de O. On fait de même pour B’ et C’.

La symétrie centrale conserve les longueurs : A’B’ = B’C’ = C’A’ = 3 cm. Le triangle A’B’C’ est lui aussi équilatéral de côté 3 cm ; il est « retourné » par rapport à ABC.

Exercice 20 :

a. On trace [EF] de 6 cm, puis, avec l’équerre, les perpendiculaires en E et en F sur lesquelles on place H et G à 4 cm. On vérifie que HG = 6 cm.

b. On construit E’, F’, G’ et H’ en reportant au compas, pour chaque sommet, sa distance à O de l’autre côté de O.

La symétrie centrale conserve les longueurs et les angles : E’F’G’H’ est un rectangle avec E’F’ = 6 cm et E’H’ = 4 cm, et ses côtés sont parallèles à ceux de EFGH.

Exercice 21 (corrigé symétrie centrale)

Attention, il s’agit ici d’une symétrie axiale : deux points sont symétriques par rapport à (d) lorsque (d) est la médiatrice du segment qui les joint. Le codage de la figure (angles droits et longueurs égales) permet de lire les paires de points.

• a. A et G sont symétriques par rapport à la droite (d).
• b. E est le symétrique de C par rapport à la droite (d).
• c. Les segments [DC] et [DE] sont symétriques par rapport à la droite (d) : D est sur (d), il est donc son propre symétrique.

Exercice 22 :

Une symétrie centrale correspond à un demi-tour autour du point O : le personnage symétrique doit avoir la tête en bas et ses côtés droit et gauche échangés. Le bras levé du personnage de droite, tourné vers le haut à gauche, doit donc devenir un bras dirigé vers le bas à droite.

• Figure a : le personnage a toujours la tête en haut ; c’est l’image dans un miroir (symétrie axiale). Erreur certaine.
• Figure b : le personnage a bien la tête en bas, mais son bras levé part vers la gauche au lieu de la droite ; c’est encore une symétrie axiale. Erreur certaine.
• Figure c : tête en bas et bras dirigé vers le bas à droite : le dessin correspond à un demi-tour, on ne peut pas y voir d’erreur.

On est certain qu’il y a une erreur sur les figures a et b.

Exercice 23 (corrigé symétrie centrale)

Deux segments symétriques par rapport à un point ont la même longueur, sont parallèles et sont « tournés en sens contraire » (si B est en haut de [AB], B’ est en bas de [A’B’]).

• a. Non : les segments sont parallèles, mais [A’B’] est nettement plus long que [AB]. Or la symétrie centrale conserve les longueurs.
• b. Non : les segments ont la même longueur (codage), mais ils ne sont pas parallèles. Or le symétrique d’un segment est un segment parallèle.
• c. Oui : les segments sont parallèles, de même longueur, et A’, B’ sont placés en sens inverse de A, B. Le centre O serait le milieu commun de [AA’] et de [BB’].

Exercice 24 :

a. La symétrie centrale conserve les longueurs, donc E’G’ = EG. E’G’ = 1,5 cm.

b. La symétrie centrale conserve les mesures des angles :

• \(\widehat{F^{\prime}E^{\prime}G^{\prime}} = \widehat{FEG} = 35^\circ\) ;
• \(\widehat{E^{\prime}G^{\prime}F^{\prime}} = \widehat{EGF} = 90^\circ\) ;
• dans un triangle, la somme des angles vaut 180°, donc \(\widehat{E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}} = 180^\circ – 35^\circ – 90^\circ = 55^\circ\).

Le triangle E’F’G’ a des angles de 35°, 90° et 55° (rectangle en G’).

Exercice 25 (corrigé symétrie centrale)

Une symétrie centrale est un demi-tour : le sommet B, en haut de ABC, devient le sommet du bas R ; le sommet A, à droite, devient le sommet de gauche S ; et C, en bas à gauche, devient T, en haut à droite. Donc R, S et T sont les symétriques respectifs de B, A et C.

La symétrie centrale conserve les longueurs et les angles, d’où trois renseignements :

• RS = BA = 1,5 cm ;
• RT = BC = 2 cm ;
• \(\widehat{SRT} = \widehat{ABC}\), donc l’angle \(\widehat{SRT}\) mesure 110°.

Exercice 26 :

On appelle B le sommet du haut de la figure (AB = 7 cm, BC = 5 cm). A est le centre de symétrie : c’est le milieu de [BB’], de [CC’] et de [DD’].

1. La symétrie centrale conserve les longueurs :

• a. B’C’ = BC = 5 cm ;
• b. C’D’ = CD = 3 cm (le codage indique CD = DA = 3 cm) ;
• c. D’A = DA = 3 cm (A est son propre symétrique) ;
• d. A est le milieu de [BB’], donc BB’ = 2 × AB = 2 × 7 = 14 cm.

2.

• (B’C’) est la symétrique de la droite (BC) ; une symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle : (BC) et (B’C’) sont parallèles.
• A est le milieu de [BB’], donc B’ est sur la droite (AB) : (AB’) = (AB). De même, D’ est sur (AD) : (D’A) = (AD). Or l’angle \(\widehat{DAB}\) est droit, donc (AB’) et (D’A) sont perpendiculaires.

Exercice 27 :

a. Deux triangles sont symétriques par rapport à O lorsque l’un est l’image de l’autre par un demi-tour : ils sont « à l’opposé » l’un de l’autre, de part et d’autre de O. On obtient trois paires, coloriées ci-dessous.

b. La rosace compte 6 triangles, formant 3 paires de triangles symétriques. Il suffit de dessiner un triangle de chaque paire puis de construire son symétrique : 3 triangles au minimum ont été utilisés.

Exercice 28 :

Sur un quadrillage, on n’a besoin ni du compas ni de la règle graduée : pour chaque sommet, on compte les carreaux pour aller jusqu’à O (par exemple 3 carreaux à droite et 1 vers le haut), puis on compte le même déplacement au-delà de O. On relie ensuite les points obtenus dans le même ordre ; les yeux et la bouche se placent de la même façon.

a.

b.

Exercice 29 :

Chaque sommet du poisson se trouve sur l’un des cercles de centre O. Pour un sommet M, on trace la droite (MO) : elle recoupe le même cercle en un point M’. Comme OM’ = OM (deux rayons du même cercle) et que M, O, M’ sont alignés, O est le milieu de [MM’] : M’ est le symétrique de M. La règle seule suffit donc.

On relie ensuite les points obtenus dans le même ordre, sans oublier l’œil.

Exercice 30 :

Sur le réseau triangulaire, on suit les lignes du réseau : pour chaque sommet, on compte le chemin qui mène à P, puis on refait le même chemin au-delà de P dans la même direction. On relie ensuite les points dans le même ordre.

Dans le second cas, P est à l’intérieur de la figure : la figure et son symétrique se chevauchent.

Exercice 31 :

1. On construit I’, G’ et D’, symétriques de I, G et D par rapport à A : pour chaque point, on trace la demi-droite qui part du point et passe par A, puis on reporte au compas la distance au point A au-delà de A.
2. On trace le triangle I’G’D’. La symétrie centrale conserve les longueurs et les angles : I’G’D’ est rectangle en I’ et I’G’ = I’D’ = IG.
3. Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon : on trace l’arc de cercle de centre I’ et de rayon I’G’ qui va de G’ à D’ en passant du côté opposé au triangle.

Exercice 32 :

On construit le symétrique de chaque sommet du chien par rapport à L : demi-droite [ML), puis report de la longueur ML au-delà de L. On fait de même pour l’œil. Comme L est à l’intérieur du chien, la figure et son symétrique se chevauchent : on obtient un chien retourné, tête en bas et tourné vers la gauche (en bleu ci-dessous).

Corrigé symétrie centrale : nos conseils pour progresser

Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur corrigé symétrie centrale vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, pour aller plus loin, l’article Symétrie centrale de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec statistiques : corrigé des exercices de maths en 5ème en PDF.