Symétrie axiale : corrigé des exercices de maths en 6ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (corrigé symétrie axiale)

a. Faire cette figure sur papier blanc avec :

A,B,E alignés;

A,C,D alignés;

AB= 2 cm et AD= 4 cm.

b. Cette figure admet-elle un axe de symétrie ?

Si oui, tracer-le.

Cette figure admet un axe de symétrie passant par les milieux de [EB] et de [GF] et passant par le point D. Tracez-le pour vous en convaincre !

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 2 :

1.a. Construire un triangle ABC rectangle en A tel que :

AB= 4 cm et AC = 2 cm.

On trace [AB] de 4 cm, puis, avec l’équerre, la perpendiculaire à (AB) en A, sur laquelle on place C à 2 cm de A.

b. Ce triangle admet-il un axe de symétrie ? Si oui, tracer-le.

Non : ses trois côtés ont des longueurs différentes (AB = 4 cm, AC = 2 cm et BC mesure environ 4,5 cm). Un triangle qui a un axe de symétrie a au moins deux côtés de même longueur.

2.a. Construire un triangle MNP rectangle et isocèle en N tel que NM = 5 cm.

On trace [NM] de 5 cm, puis la perpendiculaire à (NM) en N, sur laquelle on place P à 5 cm de N.

b. Ce triangle admet-il un axe de symétrie ?

Si oui, tracer-le.

Oui : NM = NP, donc le triangle est isocèle en N. Son axe de symétrie est la droite qui passe par N et par le milieu de [MP] : c’est la médiatrice de [MP].

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 3 (corrigé symétrie axiale)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 4 :

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 5 (corrigé symétrie axiale)

On complète chaque dessin point par point, en utilisant les carreaux au lieu de l’équerre et du compas.

• Un point et son symétrique sont sur une même perpendiculaire à l’axe, à la même distance de l’axe, de part et d’autre : on compte donc le nombre de carreaux qui séparent chaque sommet de l’axe et on reporte ce nombre de l’autre côté.
• Avec un axe vertical (1er et 3e quadrillages) ou horizontal (4e quadrillage), on compte les carreaux horizontalement ou verticalement.
• Avec l’axe oblique (2e quadrillage), qui suit les diagonales des carreaux, on échange les déplacements : un point situé 3 carreaux à droite d’un point de l’axe a pour symétrique le point situé 3 carreaux sous ce même point de l’axe.
• Les points situés sur l’axe sont leur propre symétrique. Les arcs de cercle se reportent au compas : même rayon, et un centre qui est le symétrique du centre de départ.

Les figures complétées sont données ci-dessous : les parties ajoutées sont en rouge.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 6 :

Pour chaque figure, on construit le symétrique de chaque sommet par rapport à la droite (perpendiculaire à l’axe passant par le sommet, puis même distance de l’autre côté), puis on relie les points images dans le même ordre. L’image du polygone est un polygone de même forme et de mêmes dimensions, retourné ; l’image du pavé droit est un pavé de mêmes dimensions, lui aussi retourné.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 7 (corrigé symétrie axiale)

La  symétrie axiale en 6ème est un chapitre très important avec des notions instructives qui vous permettront de progresser en Maths.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 8 :

Méthode avec la règle et l’équerre :

1. On place l’équerre le long de (d) et on trace la droite perpendiculaire à (d) qui passe par A. Elle coupe (d) en un point H.
2. On prend l’écartement HA au compas (pointe en H) et on reporte cette longueur sur la perpendiculaire, de l’autre côté de (d) : on obtient le point A’.

Méthode avec le compas seulement : on choisit deux points E et F sur (d). On trace un arc de cercle de centre E passant par A, puis un arc de cercle de centre F passant par A. Ces deux arcs se recoupent de l’autre côté de (d) : ce second point d’intersection est A’.

Dans les deux cas, (d) est perpendiculaire à [AA’] et la coupe en son milieu : (d) est la médiatrice de [AA’], donc A’ est le symétrique de A par rapport à (d).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 9 (corrigé symétrie axiale)

On applique la même construction à chacun des cinq points : pour chaque point, on trace à l’équerre la perpendiculaire à (d) passant par ce point, puis on reporte au compas, de l’autre côté de (d), la distance entre le point et la droite.

• A, C et E sont à gauche de (d) : leurs symétriques A’, C’ et E’ sont à droite de (d).
• B et D sont à droite de (d) : leurs symétriques B’ et D’ sont à gauche de (d).
• A est très proche de (d), donc A’ est lui aussi très proche de (d). Pour C et pour D, la perpendiculaire tombe en dehors du morceau de droite dessiné : il faut d’abord prolonger (d) à la règle, vers le haut pour C et vers le bas pour D.

Chaque point et son image sont à la même distance de (d), sur une même perpendiculaire à (d).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 10 :

On reproduit le rectangle ABCD (AB = 3 cm, AD = 1,5 cm) et la droite (d), puis on construit les symétriques A’, B’, C’ et D’ des quatre sommets comme à l’exercice 8 : perpendiculaire à (d) à l’équerre, puis report de la distance au compas. Par ailleurs, on relie ensuite A’, B’, C’ et D’ dans cet ordre.

Réponse à la question du professeur : la symétrie axiale conserve les longueurs, donc A’B’ = AB = 3 cm, B’C’ = BC = 1,5 cm, C’D’ = CD = 3 cm et D’A’ = DA = 1,5 cm. Elle conserve aussi les angles, donc les quatre angles de A’B’C’D’ sont droits comme ceux de ABCD.

A’B’C’D’ est donc bien un rectangle de 3 cm sur 1,5 cm. Si ce n’est pas le cas sur ta figure, un des points a été mal placé : vérifie qu’il est sur la perpendiculaire à (d) et à la bonne distance de (d).

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 11 (corrigé symétrie axiale)

On connaît déjà A’ et B’. Après cela, on utilise les propriétés de la symétrie axiale : elle conserve les longueurs et les angles.

• Construction de D’ : l’angle \(\widehat{BAD}\) mesure 60°, donc l’angle \(\widehat{B^{\prime}A^{\prime}D^{\prime}}\) mesure aussi 60°. Avec le rapporteur centré en A’, on trace une demi-droite qui fait un angle de 60° avec [A’B’], puis, avec la règle graduée, on place D’ sur cette demi-droite tel que A’D’ = AD = 2,5 cm. Attention au côté : la symétrie retourne la figure. Sur la figure de départ, en allant de A vers B, le point D est à gauche ; en allant de A’ vers B’, le point D’ doit donc être à droite, c’est-à-dire au-dessus de [A’B’] sur le dessin.
• Construction de C’ : les angles \(\widehat{ADC}\) et \(\widehat{ABC}\) sont droits, donc les angles \(\widehat{A^{\prime}D^{\prime}C^{\prime}}\) et \(\widehat{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}\) sont droits aussi. Avec le rapporteur, on trace en D’ la demi-droite perpendiculaire à [D’A’] et en B’ la demi-droite perpendiculaire à [B’A’] (angles de 90°), du côté de la figure. Leur point d’intersection est C’.

On obtient le quadrilatère A’B’C’D’, symétrique de ABCD : A’D’ = 2,5 cm, \(\widehat{B^{\prime}A^{\prime}D^{\prime}} = 60^{\circ}\), et des angles droits en B’ et en D’.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 12 :

Deux dessins symétriques par rapport à une droite doivent se superposer exactement quand on plie la feuille le long de cette droite : ils ont la même taille et l’un est « retourné » par rapport à l’autre, comme dans un miroir.

• a. Non. Les deux sapins ont la même taille, mais ils sont tournés dans le même sens (dans les deux dessins, l’étoile est tenue par la main située à gauche). Le second est obtenu en faisant glisser le premier, pas en le retournant : en pliant le long de la droite rouge, ils ne se superposent pas.
• b. Oui. La tente du haut est l’image de la tente du bas « à l’envers », comme son reflet dans l’eau : les deux dessins ont la même taille et se superposent par pliage le long de la droite rouge.
• c. Non. Les deux parapluies n’ont pas la même taille. Or une symétrie axiale conserve les longueurs : deux figures symétriques ont exactement les mêmes dimensions.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 13 (corrigé symétrie axiale)

Si le triangle MEB était le symétrique du triangle NAC, les côtés de même longueur se correspondraient : [EB] (3 cm) serait l’image de [AC] (3 cm) et [EM] (4,5 cm) serait l’image de [AN] (4,5 cm). Par ailleurs, le point E, commun aux deux côtés de 3 cm et 4,5 cm, serait donc l’image du point A.

Une symétrie axiale conserve les angles : l’angle \(\widehat{MEB}\) devrait être égal à l’angle \(\widehat{NAC}\). Or \(\widehat{MEB} = 90^{\circ}\) (angle droit codé) et \(\widehat{NAC} = 85^{\circ}\).

Les deux angles sont différents, donc l’affirmation de Jade est fausse : aucune droite ne peut rendre ces deux triangles symétriques.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 14 :

1. Puis on reproduit la « cocotte » en comptant les carreaux pour placer chaque sommet.

2. On construit le symétrique de chaque sommet en comptant les carreaux, puis on relie les points images dans le même ordre.

• a. Axe (d) : (d) suit une ligne du quadrillage. Chaque sommet situé à n carreaux sous (d) a pour image le point situé à n carreaux au-dessus de (d), sur la même verticale. Le côté du haut de la cocotte est posé sur (d) : il est sa propre image. La cocotte image est donc « la tête en bas », au-dessus de (d).
• b. Axe (d’) : (d’) suit les diagonales des carreaux. On échange les déplacements : un sommet situé à n carreaux à droite d’un point de (d’) a pour image le point situé à n carreaux sous ce point de (d’), et un sommet situé à n carreaux au-dessus d’un point de (d’) a pour image le point situé à n carreaux à gauche de ce point. La cocotte image sort en partie du quadrillage dessiné : il faut prolonger le quadrillage vers la gauche et vers le bas.

Les deux cocottes images (en bleu) ont exactement la même forme et les mêmes dimensions que la cocotte de départ.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 15 (corrigé symétrie axiale)

a. La figure \((F)\) est formée d’un rectangle de 3 carreaux sur 2 carreaux et d’un carreau supplémentaire en bas à droite.

Périmètre : on fait le tour de la figure en comptant les côtés de carreaux : \(3 + 3 + 1 + 1 + 2 + 2 = 12\). Le périmètre de \((F)\) est 12 cm.

Aire : la figure contient \(3 \times 2 + 1 = 7\) carreaux de 1 cm². L’aire de \((F)\) est 7 cm².

b. Oui, on peut prévoir ces valeurs sans construire \((F^{\prime})\) : la symétrie axiale conserve les longueurs, donc les périmètres, et elle conserve les aires. \((F^{\prime})\) a pour périmètre 12 cm et pour aire 7 cm².

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 16 :

La droite (d) est perpendiculaire à [AB] et passe par son milieu (codage) : c’est la médiatrice de [AB], donc B est bien le symétrique de A par rapport à (d).

Si (d) était un axe de symétrie de la figure, le côté [AD] aurait pour image le côté [BC]. Comme la symétrie axiale conserve les longueurs, on aurait AD = BC. Or AD = 5 cm et BC = 4 cm.

L’affirmation de Gabriel est fausse : (d) n’est pas un axe de symétrie de cette figure. (Les deux segments de 3 cm, eux, se correspondent bien : c’est le côté de 5 cm et celui de 4 cm qui posent problème.)

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 17 (corrigé symétrie axiale)

a. On construit d’abord la figure : un segment de 4 cm faisant un angle de 20° avec (d), à partir d’un point de (d) ; au bout de ce segment, un angle droit et un second côté de 4 cm ; on ferme le triangle (il est rectangle et isocèle) et on trace le segment bleu qui joint le sommet de l’angle droit au milieu du grand côté.

Pour que (d) soit un axe de symétrie, on ajoute le symétrique de cette figure par rapport à (d) :

• le sommet posé sur (d) est son propre symétrique ;
• on trace, de l’autre côté de (d), un segment de 4 cm faisant lui aussi un angle de 20° avec (d) (les angles sont conservés) ;
• on construit l’angle droit et le second côté de 4 cm, puis le segment qui joint le sommet de l’angle droit au milieu du grand côté.

La figure complète est formée de deux triangles rectangles isocèles identiques, placés de part et d’autre de (d) et reliés par un sommet sur (d).

b. Le segment de 3 cm est posé sur (d) : il est sa propre image, ainsi que ses deux extrémités.

• Le segment de 2 cm perpendiculaire à (d) a pour image un segment de 2 cm perpendiculaire à (d), de l’autre côté : on le prolonge donc de 2 cm, ce qui donne un segment de 4 cm coupé en son milieu par (d).
• De même, le côté du triangle perpendiculaire à (d) (2 cm, voir le codage) est prolongé de 2 cm de l’autre côté de (d).
• On trace enfin le symétrique du dernier côté du triangle, en joignant le point de (d) à la nouvelle extrémité.

Exercice 17 (corrigé symétrie axiale) (suite)

La figure complète contient un triangle isocèle dont (d) est la médiatrice de la base de 4 cm.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 18 :

En te servant du quadrillage :
a. Trace la figure F2 symétrique de la figure F1 par rapport à la droite (d1).
b. Trace la figure F4 symétrique de la figure F3 par rapport à la droite (d2).

b. La figure F4 se construit de la même façon, par rapport à (d2). Comme (d2) suit les diagonales des carreaux, on échange les déplacements : un sommet de F3 situé à n carreaux à droite d’un point de (d2) a pour image le point situé à n carreaux sous ce point de (d2) (et inversement). On relie ensuite les points images dans le même ordre : F4 a la même forme et les mêmes dimensions que F3.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice  19 (corrigé symétrie axiale)

Pour chaque couple de figures ci-dessous, dis sans justifier si les deux figures sont symétriques.

• Couple 1 : pas de symétrie axiale.
• Couple 2 : pas de symétrie axiale.
• Couple 3 : pas de symétrie axiale.
• Couple 4 : symétrie axiale.
• Couple 5 : pas de symétrie axiale.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice  20 :

a. En laissant les traits de construction, trace au compas le symétrique F6 de la figure F5 par rapport à la droite (d3).
b. En laissant les traits de construction, trace à l’équerre le symétrique F8 de F7 par rapport à la droite (d4).

b. Ensuite, pour F8, on utilise l’équerre : pour chaque sommet de F7, on trace la perpendiculaire à (d4) passant par ce sommet, puis on reporte de l’autre côté de (d4) la distance entre le sommet et la droite. Puis le sommet de F7 situé sur (d4) est son propre symétrique. On relie les points obtenus pour tracer F8, superposable à F7 par pliage le long de (d4).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 21 (corrigé symétrie axiale)

Samira a commencé à tracer le symétrique de la figure de gauche par rapport à la droite (d7) mais sa feuille s’est déchirée.

Elle a déjà placé le point \(C_1\), symétrique de C par rapport à (d7) et le point \(A_1\),symétrique de A. On ne demande pas de finir la figure mais d’expliquer comment, sans recoller la feuille, Samira peut finir sa construction. A chaque fois, tu devras citer toutes les propriétés du cours qui rendent la construction possible.
a. Explique, en citant deux propriétés, comment Samira va placer \(B_1\), le symétrique du point B par rapport à (d7).

La symétrie axiale conserve les angles droits et les longueurs.
b. Samira n’a pas de rapporteur et a décidé de ne pas mesurer la distance entre A et M.

Explique, en citant deux propriétés, comment elle va tout de même pouvoir placer \(M_1\), le symétrique du point M par rapport à (d7).

La symétrie axiale conserve l’alignement et les longueurs.
Le professeur vient de dire à Samira que l’aire du triangle AMB de l’exercice 4 est 24 cm².

Quelle est l’aire du triangle symétrique \(A_1B_1M_1\) ? Justifie en citant une propriété du cours.

la symétrie conserve les aires donc l’aire de \(A_1B_1M_1\) est de 24 cm².

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 22 :

a. On reproduit le triangle ABC : l’angle en A est obtus, le côté [AB] est horizontal et C est au-dessus, à gauche de A.

b. Pour chaque point, on trace à l’équerre la perpendiculaire à la droite indiquée passant par ce point, puis on reporte au compas, de l’autre côté de la droite, la distance entre le point et la droite.

• A’ : la perpendiculaire à (BC) passant par A coupe le segment [BC] ; A’ est de l’autre côté de (BC), au-dessus du triangle.
• B’ : la perpendiculaire à (AC) passant par B coupe la droite (AC) en dehors du segment [AC], au-delà de A. Il faut donc d’abord prolonger le côté [AC] au-delà de A ; B’ se trouve alors sous le triangle.
• C’ : de même, la perpendiculaire à (AB) passant par C coupe la droite (AB) au-delà de A : on prolonge [AB] vers la gauche, puis on place C’ sous cette droite, à la même distance que C.

Dans les trois cas, la droite utilisée est la médiatrice du segment qui joint le point à son symétrique.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 23 (corrigé symétrie axiale)

On repère les points grâce au quadrillage : la droite (d) est horizontale et la droite (d’) est verticale ; elles se coupent en B. Un point et son symétrique sont sur une perpendiculaire à l’axe, à la même distance de l’axe (on compte les carreaux).

1. Par rapport à la droite (d) (on se déplace verticalement) :

• a. C est 2 carreaux sous (d) ; le point situé 2 carreaux au-dessus de (d), sur la même verticale, est F : le symétrique de C est F.
• b. A est sur (d) : le symétrique de A est A lui-même.
• c. H est 1 carreau au-dessus de (d) ; le point situé 1 carreau en dessous est D : le symétrique de H est D.
• d. B est sur (d) : le symétrique de B est B.

2. Par rapport à la droite (d’) (on se déplace horizontalement) :

• a. C est 1 carreau à droite de (d’) ; le point situé 1 carreau à gauche, sur la même ligne, est E : le symétrique de C est E.
• b. A est 2 carreaux à gauche de (d’) ; le point situé 2 carreaux à droite sur (d) est I : le symétrique de A est I.
• c. H est sur (d’) : le symétrique de H est H.
• d. B est sur (d’) : le symétrique de B est B.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 23 (corrigé symétrie axiale) (suite)

3. A et B sont sur la même ligne horizontale, à 2 carreaux l’un de l’autre. Ils sont symétriques par rapport à la médiatrice de [AB], c’est-à-dire la droite verticale qui passe par le milieu de [AB], à 1 carreau de chacun. Puis cette droite passe par les points G et E : A et B sont symétriques par rapport à la droite (GE).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 24 :

La figure \((F_1)\) est un rectangle de longueur 6 cm et de largeur 1,5 cm.

Périmètre de \((F_1)\) : \(2 \times (6 + 1{,}5) = 2 \times 7{,}5 = 15\) cm. Aire de \((F_1)\) : \(6 \times 1{,}5 = 9\) cm².

La symétrie axiale conserve les longueurs et les aires, donc \((F_2)\) a les mêmes mesures que \((F_1)\) : le périmètre de \((F_2)\) est 15 cm et son aire est 9 cm².

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 25 (corrigé symétrie axiale)

La symétrie axiale conserve les longueurs, donc E’F’ = EF. Le codage montre que les points B, C et D partagent le segment [EF] en 4 segments de même longueur : EB = BC = CD = DF.

• a. BC = 1,3 cm, donc \(EF = 4 \times 1{,}3 = 5{,}2\) cm. E’F’ = 5,2 cm.
• b. E’F’ = 13,5 cm, donc EF = 13,5 cm. C est le milieu de [EF] (2 parts sur 4), donc \(EC = 13{,}5 : 2 = 6{,}75\) cm. EC = 6,75 cm.
• c. E’F’ = 8 cm, donc EF = 8 cm et chaque part mesure \(8 : 4 = 2\) cm. ED correspond à 3 parts : \(ED = 3 \times 2 = 6\) cm. ED = 6 cm.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 26 :

On reproduit la droite (d) et les points A et B, puis on construit chaque symétrique :

1. avec l’équerre, on trace la perpendiculaire à (d) passant par A ; elle coupe (d) en un point H ;
2. au compas, on reporte la longueur HA sur cette perpendiculaire, de l’autre côté de (d) : on obtient A’ ;
3. on recommence avec B : la perpendiculaire à (d) passant par B coupe (d) en K, et on place B’ tel que KB’ = KB, de l’autre côté de (d).

A est au-dessus de (d), donc A’ est en dessous ; B est en dessous de (d), donc B’ est au-dessus. (d) est la médiatrice de [AA’] et de [BB’].

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 27 (corrigé symétrie axiale)

Le point M est loin du morceau de droite (d) qui est dessiné : la perpendiculaire à (d) passant par M ne rencontre pas ce morceau. Ensuite, on commence donc par prolonger la droite (d) avec la règle.

1. Avec l’équerre, on trace la perpendiculaire à (d) passant par M ; elle coupe la droite prolongée en H.
2. Au compas, on reporte la longueur HM de l’autre côté de (d), sur cette perpendiculaire : on obtient M’.

M’ est le symétrique de M : HM’ = HM et (MM’) est perpendiculaire à (d).

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 28 :

C’est la même figure qu’à l’exercice 10. On construit les symétriques A’, B’, C’ et D’ des quatre sommets du rectangle : pour chacun, perpendiculaire à (d) tracée à l’équerre, puis report au compas de la distance à (d) de l’autre côté. De plus, on relie A’, B’, C’ et D’.

La symétrie axiale conserve les longueurs : A’B’ = C’D’ = 3 cm et B’C’ = D’A’ = 1,5 cm. Elle conserve les angles : les quatre angles de A’B’C’D’ sont droits. A’B’C’D’ est bien un rectangle, superposable à ABCD (voir la figure de l’exercice 10). Si ta figure ne donne pas un rectangle, reprends la construction du sommet mal placé.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 29 :

C’est la même figure qu’à l’exercice 11. On utilise la conservation des longueurs et des angles par la symétrie axiale :

• D’ : au rapporteur, on trace en A’ un angle de 60° avec [A’B’] (car \(\widehat{BAD} = 60^{\circ}\)), du côté opposé à celui qu’aurait donné un simple glissement de la figure (au-dessus de [A’B’] sur le dessin), puis on place D’ à 2,5 cm de A’ avec la règle graduée (car AD = 2,5 cm).
• C’ : les angles en D et en B sont droits, donc on trace au rapporteur la perpendiculaire à [A’D’] en D’ et la perpendiculaire à [A’B’] en B’. Elles se coupent en C’.

Le quadrilatère A’B’C’D’ ainsi obtenu est le symétrique de ABCD par rapport à (d) (voir la figure de l’exercice 11).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 30 :

Ce sont les mêmes dessins qu’à l’exercice 12. Deux dessins symétriques par rapport à la droite rouge doivent se superposer par pliage le long de cette droite.

• a. Non : les deux sapins sont tournés dans le même sens ; le second est obtenu par glissement du premier, pas par retournement.
• b. Oui : la tente du haut est le reflet « à l’envers » de la tente du bas, de même taille.
• c. Non : les deux parapluies n’ont pas la même taille, alors qu’une symétrie axiale conserve les longueurs.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 31 :

(d) est perpendiculaire à [AB] en son milieu : c’est la médiatrice de [AB], donc A et B sont symétriques par rapport à (d). Si (d) était un axe de symétrie de la figure, le côté [AD] aurait pour image le côté [BC] et, comme la symétrie conserve les longueurs, on aurait AD = BC.

Or AD = 5 cm et BC = 4 cm. L’affirmation de Gabriel est fausse : (d) n’est pas un axe de symétrie de la figure.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 32 :

Si MEB était le symétrique de NAC, le côté de 3 cm [EB] correspondrait à [AC] et le côté de 4,5 cm [EM] correspondrait à [AN] : le point E serait l’image du point A, et l’angle \(\widehat{MEB}\) serait l’image de l’angle \(\widehat{NAC}\).

La symétrie axiale conserve les angles, il faudrait donc \(\widehat{MEB} = \widehat{NAC}\). Mais \(\widehat{MEB} = 90^{\circ}\) et \(\widehat{NAC} = 85^{\circ}\). L’affirmation de Jade est fausse.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 33 :

Ce sont les mêmes figures qu’à l’exercice 17. Pour que (d) soit un axe de symétrie, on ajoute à chaque figure son symétrique par rapport à (d) :

• a. Le sommet placé sur (d) ne bouge pas. De l’autre côté de (d), on trace un segment de 4 cm faisant un angle de 20° avec (d), puis l’angle droit, le second côté de 4 cm et le segment qui joint le sommet de l’angle droit au milieu du grand côté. On obtient deux triangles rectangles isocèles symétriques, reliés par leur sommet situé sur (d).
• b. Le segment de 3 cm posé sur (d) ne bouge pas. Le segment de 2 cm perpendiculaire à (d) est prolongé de 2 cm de l’autre côté ; le côté du triangle perpendiculaire à (d) (2 cm) est lui aussi prolongé de 2 cm, et on trace le symétrique du troisième côté. On obtient un triangle isocèle dont (d) est la médiatrice de la base de 4 cm.

La figure complétée est celle de l’exercice 17.

Corrigé symétrie axiale : nos conseils pour progresser

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, corrigé symétrie axiale en sixième demande surtout de la régularité.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Symétrie (transformation géométrique) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec la division et la multiplication : corrigé des exercices de maths en 6ème en PDF.