Contrôle de maths spé : différentielle et règle de la chaîne

Exercice 1 : Question de cours (4 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout le sujet, \(E\) et \(F\) sont des espaces vectoriels normés de dimension finie, et \(U\) est un ouvert non vide de \(E\).

1. Donnez la définition de la différentiabilité en \(a \in U\) d’une application \(f : U \to F\). Démontrez que si \(f\) est différentiable en \(a\), alors \(f\) admet en \(a\) une dérivée selon tout vecteur \(v\), égale à \(df(a)(v)\). Déduisez-en, lorsque \(E = \mathbb{R}^n\), l’expression de \(df(a)(h)\) à l’aide des dérivées partielles. (2 points)
2. Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}\) si \((x, y) \neq (0, 0)\) et \(f(0, 0) = 0\). Montrez que \(f\) est continue en \((0, 0)\) et admet en ce point une dérivée selon tout vecteur, mais qu’elle n’y est pas différentiable. (2 points)

Exercice 2 : Différentielles d’applications matricielles (5 points)

On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) d’une norme sous-multiplicative \(\|\cdot\|\) (telle que \(\|AB\| \leq\, \|A\|\, \|B\|\)).

1. Montrez que \(f : M \mapsto M^2\) est différentiable sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et donnez \(df(M)(H)\). (1 point)
2. Justifiez que \(\det\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). En développant \(\det M\) selon la \(i\)-ème ligne, calculez \(\dfrac{\partial \det}{\partial m_{ij}}(M)\) et montrez que \(d\det(M)(H) = \operatorname{tr}({^t\operatorname{Com}(M)\, H)\). Précisez \(d\det(I_n)(H)\) et, pour \(M\) inversible, \(d\det(M)(H)\) à l’aide de \(M^{-1}\). (2 points)
3. Justifiez que \(GL_n(\mathbb{R})\) est ouvert. Pour \(M \in GL_n(\mathbb{R})\) et \(H\) assez petite, établissez l’égalité \((M + H)^{-1} = M^{-1} – M^{-1} H M^{-1} + M^{-1} H M^{-1} H (M + H)^{-1}\), puis montrez que \(\operatorname{inv} : M \mapsto M^{-1}\) est différentiable en \(M\) avec \(d\operatorname{inv}(M)(H) = -M^{-1} H M^{-1}\). (2 points)

Exercice 3 : Gradients (3 points)

On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}({^t A B)\), et \(\mathbb{R}^n\) de son produit scalaire canonique.

1. Déterminez le gradient en \(M\) de \(\varphi : M \mapsto \operatorname{tr}(M^2)\). (1 point)
2. Déterminez le gradient en \(M\) de \(\det\), à l’aide de l’exercice 2. (1 point)
3. Déterminez le gradient en \(x \neq 0\) de \(N : x \mapsto \|x\|\) sur \(\mathbb{R}^n \setminus \{0\}\). (1 point)

Exercice 4 : Règle de la chaîne en coordonnées polaires (3 points)

Soit \(U = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x > 0\}\), \(V = ]0, +\infty[ \times ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\) et \(\Phi : (r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)\). On admet que \(\Phi\) est une bijection de \(V\) sur \(U\), de réciproque \((x, y) \mapsto (\sqrt{x^2 + y^2}, \arctan\dfrac{y}{x})\), et que \(\Phi\) et sa réciproque sont de classe \(\mathcal{C}^1\). Pour \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(U\), on pose \(g = f \circ \Phi\).

1. Exprimez \(\dfrac{\partial g}{\partial r}\) et \(\dfrac{\partial g}{\partial \theta}\) à l’aide des dérivées partielles de \(f\). (1 point)
2. Montrez que \(x \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) + y \dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y) = r \dfrac{\partial g}{\partial r}(r, \theta)\) lorsque \((x, y) = \Phi(r, \theta)\). (0,5 point)
3. Déterminez toutes les fonctions \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(U\) telles que \(x \dfrac{\partial f}{\partial x} + y \dfrac{\partial f}{\partial y} = 0\) sur \(U\). (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : fonctions constantes et espace tangent (5 points)

Soit \(f : U \to F\) différentiable sur l’ouvert \(U\).

1. Soit \(a, b \in U\) tels que le segment \([a, b]\) soit inclus dans \(U\). Montrez que \(\varphi : t \mapsto f(a + t(b – a))\) est dérivable sur \([0, 1]\) et calculez \(\varphi^{\prime}(t)\). Déduisez-en que si \(df = 0\) sur une boule ouverte incluse dans \(U\), alors \(f\) est constante sur cette boule. (1 point)
2. On suppose \(U\) connexe par arcs et \(df(x) = 0\) pour tout \(x \in U\). Soit \(a, x \in U\) et \(\gamma : [0, 1] \to U\) continue avec \(\gamma(0) = a\), \(\gamma(1) = x\). En considérant \(s = \sup\{t \in [0, 1] : f(\gamma(t)) = f(a)\}\), montrez que \(f(x) = f(a)\). (1,5 point)
3. Montrez par un exemple que le résultat de b tombe en défaut si \(U\) n’est pas connexe par arcs. (0,5 point)
4. Soit \(\mathcal{C} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + xy + y^2 = 3\}\). Vérifiez que \((1, 1)\) et \((2, -1)\) appartiennent à \(\mathcal{C}\), puis déterminez la tangente à \(\mathcal{C}\) en chacun de ces points comme noyau d’une différentielle. (1 point)
5. Déterminez une équation du plan tangent en \((1, 1, 1)\) à la surface \(\Sigma\) d’équation \(x^2 + y^2 – z^2 = 1\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : différentielle et règle de la chaîne

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Calcul différentiel » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés calcul différentiel.

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