Contrôle de maths spé : compacité, connexité par arcs, dimension finie

Exercice 1 : Question de cours : bornes atteintes et dimension finie (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Une partie \(K\) d’un espace normé est dite compacte si toute suite d’éléments de \(K\) admet une suite extraite qui converge dans \(K\).

1. Énoncez et démontrez le théorème des bornes atteintes pour une fonction \(f\) continue sur une partie compacte non vide \(K\), à valeurs réelles. (2 points)
2. Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n \geq\, 1\), de base \((e_1, \ldots, e_n)\), et \(N_\infty(\sum x_i e_i) = \max_i |x_i|\). On admet que la sphère \(S = \{x \in E : N_\infty(x) = 1\}\) est compacte dans \((E, N_\infty)\). Soit \(N\) une norme sur \(E\).
   
   Démontrez qu’il existe \(C > 0\) tel que \(N \leq\, C N_\infty\), que \(N\) est continue sur \((E, N_\infty)\), puis qu’il existe \(m > 0\) tel que \(N \geq\, m N_\infty\). Énoncez le théorème obtenu. (2 points)

Exercice 2 : Compacité de O_n(R) et distance à un fermé (4 points)

Soit \(n \geq\, 2\). On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de la norme \(\|M\| = \max_{i, j} |m_{ij}|\), et l’on note \(O_n(\mathbb{R}) = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : M^{T} M = I_n\}\).

1. Démontrez que \(O_n(\mathbb{R})\) est une partie compacte de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). (1,5 point)
2. Soit \(E\) un espace normé de dimension finie, \(F\) un fermé non vide de \(E\) et \(a \in E\). On note \(d(a, F) = \inf_{x \in F} \|a – x\|\). Démontrez qu’il existe \(b \in F\) tel que \(\|a – b\| = d(a, F)\). (1,5 point)

   

3. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Démontrez qu’il existe \(\Omega_0 \in O_n(\mathbb{R})\) tel que \(\operatorname{tr}(A \Omega_0) = \max_{\Omega \in O_n(\mathbb{R})} \operatorname{tr}(A \Omega)\). (1 point)

Exercice 3 : Connexité par arcs des groupes linéaires (5 points)

Dans cet exercice, \(n \geq\, 1\) est un entier et les espaces de matrices sont munis d’une norme quelconque (elles sont toutes équivalentes).

1. Soient \(A, B \in GL_n(\mathbb{C})\). On pose \(P(z) = \det((1 – z) A + z B)\) pour \(z \in \mathbb{C}\).
   
   Justifiez que \(P\) est une fonction polynomiale non nulle, qui ne s’annule ni en \(0\) ni en \(1\). Construisez ensuite un chemin continu \(\gamma : [0, 1] \to \mathbb{C}\), avec \(\gamma(0) = 0\) et \(\gamma(1) = 1\), qui évite les racines de \(P\). On pourra chercher \(\gamma(t) = t + i \alpha t (1 – t)\) avec \(\alpha\) réel bien choisi. Concluez que \(GL_n(\mathbb{C})\) est connexe par arcs. (2,5 points)
2. Démontrez que \(GL_n(\mathbb{R})\) n’est pas connexe par arcs. (1,5 point)
3. Soit \(X\) une partie connexe par arcs d’un espace normé et \(f : X \to \mathbb{R}\) continue, à valeurs dans \(\mathbb{Z}\). Démontrez que \(f\) est constante. (1 point)

Exercice 4 : Théorème de Heine sur des exemples (3 points)

1. Énoncez le théorème de Heine. Déduisez-en que la fonction racine carrée est uniformément continue sur \([0, 1]\). (1 point)
2. Démontrez que \(|\sqrt{x} – \sqrt{y}| \leq\, \sqrt{|x – y|}\) pour tous \(x, y \geq\, 0\). Qu’en déduisez-vous sur \([0, +\infty[\), qui n’est pas compact ? (1 point)
3. Démontrez que \(x \mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\). (1 point)

Exercice 5 : Problème : composantes connexes par arcs des projecteurs (4 points)

Soit \(n \geq\, 2\). On note \(\mathcal{P} = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) : M^2 = M\}\) et, pour \(r \in \{0, \ldots, n\}\), \(\mathcal{P}_r\) l’ensemble des éléments de \(\mathcal{P}\) de rang \(r\). On note \(J_r\) la matrice diagonale dont les \(r\) premiers coefficients diagonaux valent \(1\) et les autres \(0\).

1. Démontrez que \(\mathcal{P}\) est fermé. Démontrez que tout \(M \in \mathcal{P}\) est semblable à \(J_r\) avec \(r = \operatorname{rg} M\), et que \(\operatorname{tr} M = \operatorname{rg} M\). (1 point)
2. Démontrez que \(\mathcal{P}_r = \{Q J_r Q^{-1} : Q \in GL_n(\mathbb{C})\}\), puis que \(\mathcal{P}_r\) est connexe par arcs. (1,5 point)
3. Démontrez que \(\mathcal{P}_r\) est fermé. Pour quelles valeurs de \(r\) est-il compact ? On pourra étudier \(J_r + t E_{1n}\) pour \(t\) réel. (1 point)
4. Démontrez que les composantes connexes par arcs de \(\mathcal{P}\) sont exactement \(\mathcal{P}_0, \ldots, \mathcal{P}_n\). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : compacité, connexité par arcs, dimension finie

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Compacité et connexité par arcs » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés compacité et connexité par arcs.

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