Ce contrôle de maths spé porte sur le thème suivant : ouverts, fermés, adhérence et continuité.
Ce contrôle de deux heures porte sur la topologie d’un espace normé, sans la compacité, réservée au chapitre suivant. La question de cours demande la caractérisation séquentielle des fermés et l’image réciproque d’un ouvert par une application continue. Vous montrez ensuite que le groupe linéaire est un ouvert dense des matrices carrées, et que les matrices de rang borné forment un fermé.
Un exercice sur figure vous fait déterminer l’intérieur et l’adhérence d’une partie du plan. Vous calculez aussi des normes subordonnées. Le problème final prolonge une égalité par densité pour obtenir un résultat classique sur les polynômes caractéristiques.
- Niveau : maths spé (MP)
- Chapitre : Topologie d’un espace normé et continuité
- Durée conseillée : 2 heures
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 3 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 3 points ; exercice 5 : 5 points)
- Compétences évaluées :
- Raisonner : utiliser les caractérisations séquentielles des fermés et de l’adhérence
- Calculer : déterminer une norme subordonnée et un vecteur qui l’atteint
- Représenter : décrire l’intérieur et l’adhérence d’une partie du plan sur une figure
- Modéliser : prolonger une égalité par continuité et densité
Exercice 1 : Question de cours : fermés et continuité (3 points)
Calculatrice interdite. Documents interdits.
Dans cet exercice, \(E\) et \(F\) sont deux espaces vectoriels normés. Une partie de \(E\) est dite fermée si son complémentaire est ouvert.
- Énoncez puis démontrez la caractérisation séquentielle des parties fermées de \(E\). (2 points)
- Soit \(f : E \to F\) continue et \(U\) un ouvert de \(F\). Démontrez que \(f^{-1}(U)\) est un ouvert de \(E\). Qu’en déduit-on pour l’image réciproque d’un fermé ? (1 point)
Exercice 2 : Parties remarquables de M_n(R) (5 points)
Soit \(n \geq\, 2\). On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de la norme \(\|M\| = \max_{i, j} |m_{ij}|\).
- Démontrez que l’application \(\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}\) est continue, puis que \(GL_n(\mathbb{R})\) est un ouvert de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). (1,5 point)
- Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Démontrez que \(A – \frac{1}{p} I_n\) est inversible pour tout entier \(p\) assez grand. Déduisez-en que \(GL_n(\mathbb{R})\) est dense dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). (1,5 point)
- On admet que le rang d’une matrice est la taille maximale d’une matrice carrée inversible extraite de celle-ci. Soit \(r \in \{0, \ldots, n-1\}\). Démontrez que \(\mathcal{R}_r = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : \operatorname{rg} M \leq\, r\}\) est une partie fermée de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). (2 points)
Exercice 3 : Intérieur et adhérence d’une partie du plan (4 points)
On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne. On considère le demi-disque ouvert \(D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1 \text{ et } y > 0\}\), le segment \(S = [0, 2] \times \{0\}\) et leur réunion \(A = D \cup S\).
- Démontrez que \(D\) est un ouvert de \(\mathbb{R}^2\) en l’écrivant à l’aide d’images réciproques. (1 point)
- Déterminez l’intérieur de \(A\). (1,5 point)
- Déterminez l’adhérence de \(A\). On pourra utiliser le point \(c = (0, \frac{1}{2})\). (1,5 point)
Exercice 4 : Applications linéaires continues et normes subordonnées (3 points)
- On munit \(\mathbb{R}^n\) de \(\|x\|_\infty = \max_i |x_i|\). Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(u : x \mapsto Ax\). Démontrez que \(u\) est continue et que sa norme subordonnée vaut \(\displaystyle ||| u ||| = \max_{1 \leq\, i \leq\, n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|\). (1,5 point)
- Application : calculez \(||| u |||\) pour \(A = \begin{pmatrix} 1 -2 \\ 3 1 \end{pmatrix}\) et donnez un vecteur \(x\) tel que \(\|x\|_\infty = 1\) et \(\|Ax\|_\infty = ||| u |||\). (0,5 point)
- Sur \(\mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), on pose \(\varphi(f) = f(1) – f(0)\). Démontrez que la forme linéaire \(\varphi\) est continue et calculez \(||| \varphi |||\). (1 point)
Exercice 5 : Problème : prolongement d’égalités par densité (5 points)
On conserve la norme de l’exercice 2 sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Pour \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on note \(\chi_M = \det(X I_n – M)\).
- Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés, \(f, g : E \to F\) continues, et \(\Delta\) une partie dense de \(E\). Démontrez que si \(f\) et \(g\) coïncident sur \(\Delta\), alors \(f = g\). (1 point)
- Soient \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) avec \(A\) inversible. Démontrez que \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\). (1 point)
- On fixe \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(x \in \mathbb{R}\). Démontrez que les applications \(A \mapsto \det(x I_n – AB)\) et \(A \mapsto \det(x I_n – BA)\) sont continues sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). (1 point)
- Déduisez-en que \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\) pour toutes matrices \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). (1 point)
- Démontrez que l’ensemble \(\mathcal{P} = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : M^2 = M\}\) des matrices de projecteurs est fermé. Est-il ouvert ? (1 point)
Réviser avant le contrôle : ouverts, fermés, adhérence et continuité
Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Topologie et continuité » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés topologie et continuité.
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