Corrigé du contrôle de maths spé : ouverts, fermés, adhérence et continuité

Exercice 1 : Question de cours : fermés et continuité (3 points)

1. Énoncé. Une partie \(A\) de \(E\) est fermée si et seulement si, pour toute suite \((a_k)\) d’éléments de \(A\) qui converge vers un vecteur \(\ell \in E\), on a \(\ell \in A\).

   Supposons \(A\) fermée, et soit \((a_k)\) une suite de \(A\) de limite \(\ell\). Supposons par l’absurde \(\ell \notin A\). Comme \(E \setminus A\) est ouvert, il existe \(r > 0\) tel que \(B(\ell, r) \subset E \setminus A\). Or \(\|a_k – \ell\| < r\) pour \(k\) assez grand, donc \(a_k \notin A\) : c’est absurde. Ainsi \(\ell \in A\).

   Réciproquement, supposons la propriété vérifiée et montrons que \(E \setminus A\) est ouvert. Soit \(x \notin A\). Supposons qu’aucune boule \(B(x, \frac{1}{k})\) ne soit incluse dans \(E \setminus A\) : on choisit alors \(a_k \in A\) avec \(\|a_k – x\| < \frac{1}{k}\). La suite \((a_k)\) de \(A\) converge vers \(x\), donc \(x \in A\) : contradiction. Une boule centrée en \(x\) est donc incluse dans \(E \setminus A\), qui est ouvert : \(A\) est fermée.

2. Soit \(x \in f^{-1}(U)\). Comme \(f(x) \in U\) et \(U\) est ouvert, il existe \(\varepsilon > 0\) tel que \(B(f(x), \varepsilon) \subset U\). Par continuité de \(f\) en \(x\), il existe \(\eta > 0\) tel que \(\|y – x\| < \eta \Rightarrow \|f(y) – f(x)\| < \varepsilon\). Pour \(y \in B(x, \eta)\), on a donc \(f(y) \in U\), soit \(y \in f^{-1}(U)\). Ainsi \(B(x, \eta) \subset f^{-1}(U)\), et \(f^{-1}(U)\) est ouvert.

   Si \(G\) est un fermé de \(F\), alors \(f^{-1}(G) = E \setminus f^{-1}(F \setminus G)\) est le complémentaire d’un ouvert. L’image réciproque d’un fermé par une application continue est un fermé.

Barème : a) 0,5 point pour l’énoncé, 0,75 point par implication ; b) 0,75 point pour les ouverts, 0,25 point pour les fermés.

Exercice 2 : Parties remarquables de M_n(R) (5 points)

1. Chaque application coordonnée \(M \mapsto m_{ij}\) est linéaire et vérifie \(|m_{ij}| \leq\, \|M\|\) : elle est 1-lipschitzienne, donc continue. D’après la formule :

   \[\det M = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^{n} m_{\sigma(j) j},\]

   le déterminant est une somme de produits d’applications coordonnées. Les sommes et produits de fonctions continues à valeurs réelles sont continus : \(\det\) est continue. Enfin, \(GL_n(\mathbb{R}) = \det^{-1}(\mathbb{R}^*)\), où \(\mathbb{R}^*\) est un ouvert de \(\mathbb{R}\). Par image réciproque d’un ouvert, \(GL_n(\mathbb{R})\) est ouvert.

2. La matrice \(A – \frac{1}{p} I_n\) est non inversible si et seulement si \(\frac{1}{p}\) est valeur propre de \(A\). Or \(A\) possède au plus \(n\) valeurs propres réelles, racines de \(\chi_A\). Il existe donc \(p_0\) tel que, pour \(p \geq\, p_0\), \(\frac{1}{p}\) n’est pas valeur propre (on prend \(p_0\) plus grand que les inverses des valeurs propres strictement positives). Pour \(p \geq\, p_0\), \(A_p = A – \frac{1}{p} I_n\) est inversible.

   De plus, \(\|A_p – A\| = \frac{1}{p} \to 0\). Toute matrice est donc limite d’une suite de matrices inversibles. Par caractérisation séquentielle de l’adhérence, \(GL_n(\mathbb{R})\) est dense dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

3. Pour \(I, J\) parties de \(\{1, \ldots, n\}\) à \(r + 1\) éléments (possible car \(r + 1 \leq\, n\)), on note \(\delta_{I, J}(M)\) le déterminant de la matrice extraite de \(M\) sur les lignes \(I\) et les colonnes \(J\). Comme en a), \(\delta_{I, J}\) est une somme de produits de coordonnées, donc continue.

   D’après le résultat admis, \(\operatorname{rg} M \leq\, r\) si et seulement si aucune matrice carrée extraite de taille \(r + 1\) n’est inversible, c’est-à-dire si et seulement si tous les \(\delta_{I, J}(M)\) sont nuls. Donc :

   \[\mathcal{R}_r = \bigcap_{I, J} \delta_{I, J}^{-1}(\{0\}).\]

   Chaque \(\delta_{I, J}^{-1}(\{0\})\) est fermé, comme image réciproque du fermé \(\{0\}\) par une application continue. Une intersection de fermés est fermée : \(\mathcal{R}_r\) est fermé.

Barème : a) 1 point pour la continuité du déterminant, 0,5 point pour l’ouvert ; b) 1 point pour l’inversibilité (spectre fini), 0,5 point pour la densité ; c) 0,5 point pour la continuité des mineurs, 1 point pour la traduction du rang, 0,5 point pour la conclusion.

Erreur fréquente : écrire que \(\mathcal{R}_r\) est fermé « car c’est le complémentaire de \(GL_n(\mathbb{R})\) » : ce n’est vrai que pour \(r = n – 1\).

Exercice 3 : Intérieur et adhérence d’une partie du plan (4 points)

1. Les applications \(f : (x, y) \mapsto x^2 + y^2\) et \(g : (x, y) \mapsto y\) sont continues sur \(\mathbb{R}^2\) (polynomiales en les coordonnées). On a :

   \[D = f^{-1}(]-\infty, 1[) \cap g^{-1}(]0, +\infty[).\]

   Chaque ensemble est l’image réciproque d’un ouvert de \(\mathbb{R}\) par une application continue. L’intersection de deux ouverts étant ouverte, \(D\) est ouvert.

2. D’abord, \(D\) est un ouvert inclus dans \(A\), donc \(D \subset \mathring{A}\). Ensuite, soit \(s = (x, 0) \in S\) et \(r > 0\). Le point \((x, -\frac{r}{2})\) appartient à \(B(s, r)\) mais pas à \(A\), car son ordonnée est strictement négative. Aucune boule centrée en \(s\) n’est donc incluse dans \(A\), et \(s \notin \mathring{A}\).

   Ainsi \(\mathring{A} = D\).

3. Posons \(H = \{(x, y) : x^2 + y^2 \leq\, 1,\ y \geq\, 0\}\) et \(F = H \cup ([1, 2] \times \{0\})\). L’ensemble \(H\) est fermé, comme intersection des images réciproques \(f^{-1}(]-\infty, 1])\) et \(g^{-1}([0, +\infty[)\). Le segment \([1, 2] \times \{0\}\) est fermé : c’est l’intersection de l’image réciproque de \([1, 2]\) par \((x, y) \mapsto x\) et de \(g^{-1}(\{0\})\). Donc \(F\) est fermé. De plus, \(A \subset F\), car \([0, 1] \times \{0\} \subset H\). L’adhérence étant le plus petit fermé contenant \(A\), on obtient \(\overline{A} \subset F\).

   Réciproquement, les points de \([1, 2] \times \{0\}\) sont dans \(A\). Soit \(q \in H\) ; pour \(k \geq\, 1\), on pose \(p_k = (1 – \frac{1}{k}) q + \frac{1}{k} c\), avec \(c = (0, \frac{1}{2})\). Son ordonnée vaut \((1 – \frac{1}{k}) y_q + \frac{1}{2k} > 0\), et l’inégalité triangulaire donne :

   \[\|p_k\| \leq\, (1 – \frac{1}{k}) \|q\| + \frac{1}{k} \|c\| \leq\, 1 – \frac{1}{k} + \frac{1}{2k} = 1 – \frac{1}{2k} < 1.\]

   Donc \(p_k \in D \subset A\), et \(p_k \to q\) : ainsi \(q \in \overline{A}\).

   Conclusion : \(\overline{A} = \{(x, y) : x^2 + y^2 \leq\, 1,\ y \geq\, 0\} \cup ([1, 2] \times \{0\})\).

   

Barème : a) 1 point ; b) 0,5 point pour l’inclusion de \(D\), 1 point pour les points de \(S\) ; c) 0,75 point pour l’inclusion dans \(F\) fermé, 0,75 point pour l’inclusion réciproque par les suites.

Exercice 4 : Applications linéaires continues et normes subordonnées (3 points)

1. Notons \(S = \max_i \sum_j |a_{ij}|\). Pour tout \(x\) et tout \(i\) :

   \[|(Ax)_i| = |\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j| \leq\, \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|\, \|x\|_\infty \leq\, S \|x\|_\infty.\]

   Donc \(\|u(x)\|_\infty \leq\, S \|x\|_\infty\). D’après le critère de continuité des applications linéaires, \(u\) est continue et \(||| u ||| \leq\, S\).

   Soit \(i_0\) un indice réalisant le maximum, et \(x_j = 1\) si \(a_{i_0 j} \geq\, 0\), \(x_j = -1\) sinon. Alors \(\|x\|_\infty = 1\) et \((Ax)_{i_0} = \sum_j |a_{i_0 j}| = S\), donc \(\|u(x)\|_\infty \geq\, S\). Ainsi \(||| u ||| = S\).

2. Les sommes des lignes valent \(1 + 2 = 3\) et \(3 + 1 = 4\), donc \(||| u ||| = 4\). La deuxième ligne n’a que des coefficients positifs : on prend \(x = (1, 1)\), et \(Ax = (-1, 4)\) vérifie bien \(\|Ax\|_\infty = 4\).

3. La forme \(\varphi\) est linéaire, et \(|\varphi(f)| \leq\, |f(1)| + |f(0)| \leq\, 2 \|f\|_\infty\) : elle est continue, avec \(||| \varphi ||| \leq\, 2\). Pour \(f_0 : t \mapsto 2t – 1\), on a \(\|f_0\|_\infty = 1\) et \(\varphi(f_0) = 1 – (-1) = 2\). Donc \(||| \varphi ||| = 2\).

Barème : a) 0,75 point pour la majoration et la continuité, 0,75 point pour le vecteur qui réalise l’égalité ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour la continuité, 0,5 point pour la valeur exacte.

Exercice 5 : Problème : prolongement d’égalités par densité (5 points)

1. Soit \(x \in E\). Comme \(\Delta\) est dense, \(x\) est adhérent à \(\Delta\) : par caractérisation séquentielle, il existe une suite \((d_k)\) de \(\Delta\) qui converge vers \(x\). Par continuité de \(f\) et \(g\) en \(x\), \(f(d_k) \to f(x)\) et \(g(d_k) \to g(x)\). Or \(f(d_k) = g(d_k)\) pour tout \(k\). Par unicité de la limite, \(f(x) = g(x)\), donc \(f = g\).

2. Si \(A\) est inversible, \(AB = A (BA) A^{-1}\) : les matrices \(AB\) et \(BA\) sont semblables. Pour tout \(x\), \(x I_n – AB = A (x I_n – BA) A^{-1}\), donc \(\det(x I_n – AB) = \det(x I_n – BA)\). Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique : \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\).

3. Le coefficient d’indice \((i, j)\) de \(AB\) vaut \(\sum_k a_{ik} b_{kj}\) : c’est une fonction linéaire des coefficients de \(A\). Les coefficients de \(x I_n – AB\) sont donc des fonctions affines, donc continues, de \(A\). En les reportant dans la formule du déterminant, on voit que \(A \mapsto \det(x I_n – AB)\) est une somme de produits de fonctions continues. Elle est continue, et de même pour \(A \mapsto \det(x I_n – BA)\).

4. Fixons \(B\) et \(x\). Les deux applications de c) sont continues sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et coïncident sur \(GL_n(\mathbb{R})\) d’après b). Or \(GL_n(\mathbb{R})\) est dense (exercice 2). D’après a), elles sont égales : \(\chi_{AB}(x) = \chi_{BA}(x)\) pour tout réel \(x\) et toute matrice \(A\).

   Le polynôme \(\chi_{AB} – \chi_{BA}\) a alors une infinité de racines. Il est nul : \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\) pour toutes matrices \(A\) et \(B\).

5. L’application \(h : M \mapsto M^2 – M\) est continue, car chaque coefficient de \(h(M)\) est polynomial en les coefficients de \(M\). Comme \(\mathcal{P} = h^{-1}(\{0\})\), \(\mathcal{P}\) est fermé.

   La matrice nulle appartient à \(\mathcal{P}\). En revanche, pour \(k \geq\, 2\), \((\frac{1}{k} I_n)^2 = \frac{1}{k^2} I_n \neq \frac{1}{k} I_n\) : la suite \((\frac{1}{k} I_n)\) converge vers \(0\) sans être dans \(\mathcal{P}\). Aucune boule centrée en \(0\) n’est donc incluse dans \(\mathcal{P}\). \(\mathcal{P}\) n’est pas ouvert.

Barème : 1 point par question ; en d), 0,5 point pour l’égalité des fonctions polynomiales et 0,5 point pour l’égalité des polynômes ; en e), 0,5 point pour chaque réponse.

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Après le corrigé du contrôle : ouverts, fermés, adhérence et continuité

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