Contrôle de maths L3 : convergence dominée et intégrales à paramètre

Exercice 1 : Question de cours, convergence dominée et continuité (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 2 heures.

Dans tout le sujet, \((X, \mathcal{A}, \mu)\) est un espace mesuré et \(\lambda\) désigne la mesure de Lebesgue. Chaque application d’un théorème doit être précédée de la vérification rédigée de toutes ses hypothèses.

1. Énoncez le théorème de convergence dominée. (1 point)
2. Énoncez le théorème de dérivation sous le signe intégrale pour \(F(x) = \int_X f(x, t) \,\mathrm{d}\mu(t)\), où \(x\) parcourt un intervalle ouvert \(I\) de \(\mathbb{R}\). (1 point)
3. Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f : I \times X \to \mathbb{R}\) telle que : pour tout \(x \in I\), \(t \mapsto f(x, t)\) est mesurable ; pour presque tout \(t\), \(x \mapsto f(x, t)\) est continue ; il existe \(g\) intégrable sur \(X\) telle que \(|f(x, t)| \leq\, g(t)\) pour tout \(x\) et presque tout \(t\). Démontrez que \(F(x) = \int_X f(x, t) \,\mathrm{d}\mu(t)\) est définie et continue sur \(I\). (2 points)

Exercice 2 : Trois limites d’intégrales (3 points)

Déterminez les limites suivantes quand \(n \to +\infty\), en précisant à chaque fois la fonction dominante.

1. \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{n \sin(x/n)}{x(1 + x^2)} \,\mathrm{d}x\) (1 point)
2. \(\displaystyle\int_{0}^{n} (1 – \frac{x}{n})^{n} \mathrm{d}x\), sans calcul de primitive (1 point)
3. \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1 + n x}{(1 + x)^{n}} \,\mathrm{d}x\) (1 point)

Exercice 3 : La fonction Gamma (4 points)

On pose, lorsque cela a un sens, \(\Gamma(x) = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \,\mathrm{d}t\).

1. Montrez que \(t \mapsto t^{x-1} e^{-t}\) est intégrable sur \(]0, +\infty[\) si et seulement si \(x > 0\). (1 point)
2. Soient \(0 < a < b\). Montrez que \(t^{x-1} e^{-t} \leq\, (t^{a-1} + t^{b-1}) e^{-t}\) pour \(x \in [a, b]\) et \(t > 0\). Déduisez-en que \(\Gamma\) est continue sur \(]0, +\infty[\). (1 point)
3. Montrez que \(\Gamma\) est de classe \(C^1\) sur \(]0, +\infty[\) et donnez \(\Gamma^{\prime}(x)\) sous forme d’intégrale. (1 point)
4. Montrez que \(\Gamma(x + 1) = x \Gamma(x)\) pour \(x > 0\), calculez \(\Gamma(n + 1)\) pour \(n \in \mathbb{N}\) et donnez un équivalent de \(\Gamma(x)\) quand \(x \to 0^{+}\). (1 point)

Exercice 4 : Une intégrale à paramètre calculée par équation différentielle (5 points)

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} \cos(x t) \,\mathrm{d}t\). On admet que \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} \,\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

1. Montrez que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
2. Montrez que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(F^{\prime}(x) = -\displaystyle\int_{0}^{+\infty} t e^{-t^2} \sin(x t) \,\mathrm{d}t\). (1,5 point)
3. À l’aide d’une intégration par parties, montrez que \(F^{\prime}(x) = -\dfrac{x}{2} F(x)\) pour tout réel \(x\). (1,5 point)
4. Déduisez-en une expression explicite de \(F(x)\). (1 point)

Exercice 5 : Problème, sinus cardinal et intégrale de Lebesgue (4 points)

On considère \(s(t) = \dfrac{\sin t}{t}\) pour \(t > 0\), représentée ci-dessous avec \(|s|\).

1. Montrez que \(s\) est intégrable sur \(]0, 1]\). (0,5 point)
2. Montrez que \(\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |s(t)| \,\mathrm{d}t \geq\, \frac{2}{(k+1)\pi}\) pour tout entier \(k \geq\, 1\). Déduisez-en que \(s\) n’est pas intégrable au sens de Lebesgue sur \(]0, +\infty[\). (1 point)
3. Montrez que \(\displaystyle\int_{0}^{A} s(t) \,\mathrm{d}t\) admet une limite finie quand \(A \to +\infty\) : l’intégrale impropre de Riemann converge. (1 point)
4. Pour \(x > 0\), on pose \(G(x) = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} s(t) \,\mathrm{d}t\). Montrez que \(G\) est définie et de classe \(C^1\) sur \(]0, +\infty[\), calculez \(G^{\prime}(x)\), puis la limite de \(G\) en \(+\infty\). Donnez enfin \(G(x)\) sous forme explicite. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : convergence dominée et intégrales à paramètre

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Intégrale de Lebesgue » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés intégrale de lebesgue.

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