Intégrale de Lebesgue : cours de maths en L3 en PDF.

Une fonction étagée positive est une fonction mesurable \(\varphi : X \to [0, +\infty[\) qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs. Si \(a_1, \ldots, a_n\) sont ses valeurs distinctes et \(A_i = \varphi^{-1}(\{a_i\})\), on a l’écriture canonique \(\varphi = \sum_{i=1}^{n} a_i \mathbf{1}_{A_i}\). On pose alors
\[\int_X \varphi \, d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \, \mu(A_i) \in [0, +\infty].\]

Sur \(\mathbb{R}\), soit \(\varphi = 2 \cdot \mathbf{1}_{[0,1]} + 5 \cdot \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\). Les rationnels forment un ensemble dénombrable, donc \(\lambda(\mathbb{Q}) = 0\). Par conséquent, \(\int \varphi \, d\lambda = 2 \times 1 + 5 \times 0 = 2\). Pourtant, \(\varphi\) n’est intégrable au sens de Riemann sur aucun segment : elle est discontinue en tout point.

Soit \(f : X \to [0, +\infty]\) mesurable. On définit l’intégrale de \(f\) par
\[\int_X f \, d\mu = \sup \{ \int_X \varphi \, d\mu \ : \ \varphi \text{ étagée positive}, \ \varphi \leq\, f \} \in [0, +\infty].\]

Toute fonction mesurable \(f : X \to [0, +\infty]\) est limite simple d’une suite croissante de fonctions étagées positives. Par exemple, la suite
\[\varphi_n = \min(n, \ \frac{\lfloor 2^n f \rfloor}{2^n})\]
convient. Si \(f\) est bornée, la convergence est même uniforme.

D’abord, \(\varphi_n\) est mesurable et ne prend que les valeurs \(k / 2^n\), avec \(0 \leq\, k \leq\, n 2^n\). Ensuite, \(\lfloor 2^{n+1} y \rfloor \geq\, 2 \lfloor 2^n y \rfloor\), donc la suite est croissante. Enfin, si \(f(x) < +\infty\) et \(n \geq\, f(x)\), on a \(0 \leq\, f(x) – \varphi_n(x) \leq\, 2^{-n}\). Si \(f(x) = +\infty\), alors \(\varphi_n(x) = n \to +\infty\).

Soit \(f\) mesurable positive. Alors \(\int f \, d\mu = 0\) si et seulement si \(f = 0\) presque partout. De plus, si \(\int f \, d\mu < +\infty\), alors \(f < +\infty\) presque partout.

Pour tout \(n \geq\, 1\), on a \(\frac{1}{n} \mathbf{1}_{\{f \geq\, 1/n\}} \leq\, f\). Donc \(\mu(\{f \geq\, 1/n\}) \leq\, n \int f\). Si \(\int f = 0\), chacun de ces ensembles est négligeable, donc leur réunion \(\{f > 0\}\) aussi. Réciproquement, si \(f = 0\) presque partout, toute \(\varphi\) étagée avec \(\varphi \leq\, f\) est nulle hors d’un ensemble négligeable, d’où \(\int \varphi = 0\). Enfin, \(n \mathbf{1}_{\{f = +\infty\}} \leq\, f\) donne \(\mu(\{f = +\infty\}) \leq\, \frac{1}{n} \int f\) pour tout \(n\).

Théorème de convergence monotone (Beppo Levi). Soit \((f_n)\) une suite croissante de fonctions mesurables \(X \to [0, +\infty]\), et \(f = \lim f_n = \sup_n f_n\). Alors \(f\) est mesurable et
\[\int_X f \, d\mu = \lim_{n \to +\infty} \int_X f_n \, d\mu.\]

D’abord, \(f\) est mesurable comme borne supérieure d’une suite de fonctions mesurables. Ensuite, \(f_n \leq\, f_{n+1} \leq\, f\), donc la suite \((\int f_n)\) croît vers une limite \(L \leq\, \int f\).

Montrons l’inégalité inverse. Soit \(\varphi = \sum_i a_i \mathbf{1}_{A_i}\) étagée avec \(\varphi \leq\, f\), et soit \(c \in ]0, 1[\). On pose \(E_n = \{f_n \geq\, c \varphi\}\). Ces ensembles sont mesurables et croissants. De plus, leur réunion vaut \(X\). En effet, si \(\varphi(x) = 0\), alors \(x \in E_0\) ; sinon \(c \varphi(x) < f(x)\), donc \(f_n(x) \geq\, c \varphi(x)\) à partir d’un certain rang. Par conséquent,
\[\int f_n \geq\, \int f_n \mathbf{1}_{E_n} \geq\, c \sum_i a_i \, \mu(A_i \cap E_n).\]
Par continuité croissante de la mesure, le membre de droite tend vers \(c \int \varphi\). Ainsi \(L \geq\, c \int \varphi\). On fait tendre \(c\) vers \(1\), puis on passe au sup sur \(\varphi\) : \(L \geq\, \int f\).

L’intégrale est additive sur les fonctions mesurables positives : \(\int (f + g) = \int f + \int g\). De plus, pour toute suite \((g_k)\) de fonctions mesurables positives,
\[\int_X \sum_{k=0}^{+\infty} g_k \, d\mu = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_X g_k \, d\mu.\]

On approche \(f\) et \(g\) par des suites croissantes \((\varphi_n)\) et \((\psi_n)\) de fonctions étagées. Alors \(\varphi_n + \psi_n\) croît vers \(f + g\), et l’additivité est connue pour les fonctions étagées. Le théorème de convergence monotone permet de passer à la limite. Pour les séries, on applique ce théorème aux sommes partielles \(S_N = \sum_{k \leq\, N} g_k\), qui croissent vers la somme de la série.

Pour appliquer le théorème de convergence monotone, on vérifie trois points : les \(f_n\) sont mesurables, positives, et la suite est croissante en \(n\) pour presque tout \(x\). Une astuce fréquente consiste à écrire l’intégrale sur un intervalle variable \([0, n]\) comme l’intégrale sur \([0, +\infty[\) de \(f_n \mathbf{1}_{[0,n]}\).

Soit \(f_n(x) = (1 – \frac{x}{n})^n \mathbf{1}_{[0,n]}(x)\) sur \([0, +\infty[\). L’inégalité \(\ln(1 – u) \leq\, -u\) donne \(f_n(x) \leq\, e^{-x}\). En outre, on montre que \(y \mapsto y \ln(1 – x/y)\) croît sur \(]x, +\infty[\). Donc la suite \((f_n)\) est croissante et tend vers \(e^{-x}\). Par conséquent,
\[\lim_{n \to +\infty} \int_0^n (1 – \frac{x}{n})^n dx = \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx = 1.\]
Un calcul direct confirme ce résultat, puisque l’intégrale vaut \(\frac{n}{n+1}\).

Lemme de Fatou. Pour toute suite \((f_n)\) de fonctions mesurables \(X \to [0, +\infty]\),
\[\int_X \liminf_{n \to +\infty} f_n \, d\mu \leq\, \liminf_{n \to +\infty} \int_X f_n \, d\mu.\]

Posons \(g_k = \inf_{n \geq\, k} f_n\). Chaque \(g_k\) est mesurable et positive. De plus, la suite \((g_k)\) croît vers \(\liminf f_n\). Ensuite, pour tout \(n \geq\, k\), on a \(g_k \leq\, f_n\), donc \(\int g_k \leq\, \inf_{n \geq\, k} \int f_n\). Le théorème de convergence monotone donne alors
\[\int \liminf f_n = \lim_{k} \int g_k \leq\, \lim_k \inf_{n \geq\, k} \int f_n = \liminf \int f_n.\]

L’inégalité peut être stricte. Avec \(f_n = n \mathbf{1}_{]0, 1/n]}\), la masse se concentre en \(0\). Avec \(g_n = \mathbf{1}_{[n, n+1]}\), la masse s’échappe à l’infini. Dans les deux cas, la limite simple est nulle alors que chaque intégrale vaut \(1\). La figure ci-dessous illustre ces deux phénomènes.

Une fonction mesurable \(f : X \to \mathbb{R}\) est dite intégrable si \(\int_X |f| \, d\mu < +\infty\). On écrit alors \(f = f^+ – f^-\), avec \(f^+ = \max(f, 0)\) et \(f^- = \max(-f, 0)\), et on pose
\[\int_X f \, d\mu = \int_X f^+ \, d\mu – \int_X f^- \, d\mu.\]
Pour \(f\) à valeurs complexes, on intègre séparément la partie réelle et la partie imaginaire.

L’ensemble \(\mathcal{L}^1(\mu)\) est un espace vectoriel et \(f \mapsto \int f \, d\mu\) est une forme linéaire sur cet espace. De plus, elle est croissante, et \(| \int f \, d\mu | \leq\, \int |f| \, d\mu\).

L’inégalité \(|f + g| \leq\, |f| + |g|\) montre la stabilité par somme. Ensuite, si \(h = f + g\), on a \(h^+ + f^- + g^- = h^- + f^+ + g^+\). L’additivité sur les fonctions positives donne alors \(\int h = \int f + \int g\). Enfin, \(|\int f| = |\int f^+ – \int f^-| \leq\, \int f^+ + \int f^- = \int |f|\).

On note \(L^1(\mu)\) le quotient de \(\mathcal{L}^1(\mu)\) par la relation « \(f = g\) presque partout ». Sur ce quotient, \(\|f\|_1 = \int_X |f| \, d\mu\) est une norme. On admet ici que \((L^1(\mu), \|\cdot\|_1)\) est complet (théorème de Riesz-Fischer).

Sur \(]0, +\infty[\), la fonction \(x \mapsto x^{\alpha} e^{-x}\) est intégrable si et seulement si \(\alpha > -1\). En effet, elle est équivalente à \(x^{\alpha}\) en \(0\), et elle est dominée par \(e^{-x/2}\) au voisinage de \(+\infty\). Ensuite, on compare avec les intégrales de Riemann positives, comme justifié dans la partie VI.

Théorème de convergence dominée (Lebesgue). Soit \((f_n)\) une suite de fonctions mesurables \(X \to \mathbb{C}\). On suppose :

• la suite \((f_n)\) converge presque partout vers une fonction \(f\) ;
• il existe \(g \in \mathcal{L}^1(\mu)\), positive, telle que pour tout \(n\), \(|f_n| \leq\, g\) presque partout (hypothèse de domination).

Alors \(f\) est intégrable, \(\int_X |f_n – f| \, d\mu \to 0\) et, par conséquent,
\[\lim_{n \to +\infty} \int_X f_n \, d\mu = \int_X f \, d\mu.\]

Quitte à modifier les fonctions sur un ensemble négligeable, on suppose la convergence et la domination vraies partout. D’abord, \(|f| \leq\, g\) par passage à la limite, donc \(f\) est intégrable. Ensuite, la fonction \(h_n = 2g – |f_n – f|\) est positive, car \(|f_n – f| \leq\, 2g\). De plus, \(h_n \to 2g\). Le lemme de Fatou donne
\[\int 2g \leq\, \liminf \int h_n = \int 2g – \limsup \int |f_n – f|.\]
Comme \(\int 2g\) est fini, on en déduit \(\limsup \int |f_n – f| \leq\, 0\). Enfin, \(|\int f_n – \int f| \leq\, \int |f_n – f| \to 0\).

Pour calculer une limite d’intégrales \(\lim \int f_n\) :

1. on détermine la limite simple \(f\) presque partout ;
2. on cherche une majoration \(|f_n(x)| \leq\, g(x)\) indépendante de \(n\), valable pour tout \(n\) (ou tout \(n \geq\, n_0\)) ;
3. on vérifie que \(g\) est intégrable, puis on conclut.

Si aucune domination n’existe, on essaie la convergence monotone, un changement de variable ou une intégration par parties.

Calculons \(\lim \int_0^{+\infty} (1 + \frac{x^2}{n})^{-n} dx\). La formule du binôme donne \((1 + \frac{x^2}{n})^n \geq\, 1 + x^2\). Ainsi, pour tout \(n \geq\, 1\), \(0 \leq\, f_n(x) \leq\, \frac{1}{1 + x^2}\), qui est intégrable sur \([0, +\infty[\). Par ailleurs, \(f_n(x) = \exp(-n \ln(1 + \frac{x^2}{n})) \to e^{-x^2}\). Par convergence dominée, la limite vaut \(\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

Soit \((u_k)\) une suite de fonctions intégrables telle que \(\sum_k \int_X |u_k| \, d\mu < +\infty\). Alors la série \(\sum u_k(x)\) converge absolument pour presque tout \(x\), sa somme \(S\) est intégrable, et
\[\int_X \sum_{k=0}^{+\infty} u_k \, d\mu = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_X u_k \, d\mu.\]

Posons \(G = \sum_k |u_k|\). D’après le corollaire de Beppo Levi, \(\int G = \sum_k \int |u_k| < +\infty\). Donc \(G\) est finie presque partout, et la série converge absolument presque partout. Ensuite, les sommes partielles \(S_N\) vérifient \(|S_N| \leq\, G\). Le théorème de convergence dominée s’applique donc à \((S_N)\), avec \(G\) comme fonction dominante.

Pour \(x \in ]0, 1[\), on a \(\frac{-\ln(1 – x)}{x} = \sum_{k \geq\, 1} \frac{x^{k-1}}{k}\). Tous les termes sont positifs, donc on intervertit directement :
\[\int_0^1 \frac{-\ln(1 – x)}{x} \, dx = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k} \int_0^1 x^{k-1} dx = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}.\]

Soit \(f : [a, b] \to \mathbb{R}\) intégrable au sens de Riemann. Alors \(f\) est mesurable pour la tribu de Lebesgue, intégrable, et
\[\int_{[a, b]} f \, d\lambda = \int_a^b f(x) \, dx.\]

Il existe des fonctions en escalier \(\varphi_n \leq\, f \leq\, \psi_n\) avec \(\int_a^b (\psi_n – \varphi_n) \to 0\). Quitte à prendre des max et des min, on suppose \((\varphi_n)\) croissante et \((\psi_n)\) décroissante. Pour une fonction en escalier, les deux intégrales coïncident. Posons \(\varphi = \lim \varphi_n\) et \(\psi = \lim \psi_n\). Ces fonctions sont boréliennes et \(\varphi \leq\, f \leq\, \psi\). Ensuite, la convergence dominée, avec la domination \(\max(|\varphi_1|, |\psi_1|)\), donne \(\int (\psi – \varphi) \, d\lambda = 0\). Donc \(\varphi = \psi\) presque partout, et \(f = \varphi\) presque partout. Par conséquent, \(f\) est Lebesgue-mesurable et \(\int f \, d\lambda = \lim \int_a^b \varphi_n = \int_a^b f\).

Soit \(f\) continue par morceaux sur \([a, b[\), avec \(b \leq\, +\infty\).

• Si \(f \geq\, 0\), alors \(\int_{[a, b[} f \, d\lambda = \lim_{x \to b} \int_a^x f(t) \, dt\), dans \([0, +\infty]\).
• Par conséquent, \(f \in \mathcal{L}^1([a, b[)\) si et seulement si l’intégrale impropre \(\int_a^b |f|\) converge. Les deux intégrales sont alors égales.

Une intégrale impropre semi-convergente ne correspond pas à une fonction de \(\mathcal{L}^1\). Par exemple, \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx\) converge au sens impropre. Cependant, \(\int_0^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x} \, dx = +\infty\). Inversement, la fonction indicatrice de \(\mathbb{Q} \cap [0, 1]\) est intégrable au sens de Lebesgue, d’intégrale nulle, mais pas au sens de Riemann.

Continuité. Soit \(f : I \times X \to \mathbb{C}\) telle que :

• pour tout \(x \in I\), \(t \mapsto f(x, t)\) est mesurable ;
• pour presque tout \(t\), \(x \mapsto f(x, t)\) est continue sur \(I\) ;
• il existe \(g \in \mathcal{L}^1(\mu)\) avec \(|f(x, t)| \leq\, g(t)\) pour tout \(x \in I\) et presque tout \(t\).

Alors \(F\) est définie et continue sur \(I\).

Soit \(x_n \to x\) dans \(I\). Posons \(f_n(t) = f(x_n, t)\). Alors \(f_n(t) \to f(x, t)\) pour presque tout \(t\), et \(|f_n| \leq\, g\). Par convergence dominée, \(F(x_n) \to F(x)\). La caractérisation séquentielle de la continuité conclut.

Dérivation. Soit \(I\) un intervalle et \(f : I \times X \to \mathbb{C}\) telle que :

• pour tout \(x \in I\), \(t \mapsto f(x, t)\) est intégrable ;
• pour presque tout \(t\), \(x \mapsto f(x, t)\) est dérivable sur \(I\) ;
• il existe \(g \in \mathcal{L}^1(\mu)\) avec \(|\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)| \leq\, g(t)\) pour tout \(x \in I\) et presque tout \(t\).

Alors \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F^{\prime}(x) = \int_X \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) \, d\mu(t)\).

Soit \(x \in I\) et \(h_n \to 0\), avec \(h_n \neq 0\) et \(x + h_n \in I\). On pose \(q_n(t) = \frac{f(x + h_n, t) – f(x, t)}{h_n}\). Pour presque tout \(t\), \(q_n(t) \to \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\). De plus, l’inégalité des accroissements finis donne \(|q_n(t)| \leq\, g(t)\). Par convergence dominée, \(\frac{F(x + h_n) – F(x)}{h_n} \to \int \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) \, d\mu(t)\).

Pour étudier la régularité d’une intégrale à paramètre, la domination sur tout \(I\) est souvent impossible. On travaille alors localement : on domine sur chaque segment \([a, b] \subset I\), ou sur chaque \([a, +\infty[\). La continuité et la dérivabilité étant des propriétés locales, elles s’étendent ensuite à tout \(I\).

La fonction Gamma \(\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \, dt\) est définie sur \(]0, +\infty[\). Aucune domination ne vaut sur tout cet intervalle. En revanche, pour \(0 < a \leq\, x \leq\, b\), on a
\[|(\ln t)^k \, t^{x-1} e^{-t}| \leq\, |\ln t|^k (t^{a-1} + t^{b-1}) e^{-t},\]
qui est intégrable sur \(]0, +\infty[\). Par conséquent, \(\Gamma\) est de classe \(C^{\infty}\) et \(\Gamma^{(k)}(x) = \int_0^{+\infty} (\ln t)^k \, t^{x-1} e^{-t} \, dt\). En particulier, \(\Gamma^{\prime\prime} > 0\), donc \(\Gamma\) est convexe.