Ce QCM vérifie la maîtrise de la mesure produit en L3 : théorèmes de Fubini-Tonelli et de Fubini, mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}^n\), changement de variables et produit de convolution. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Mesure produit, Fubini et changement de variables du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Fubini et changement de variables - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Pour \(f : X\times Y\to[0,+\infty]\) (mesures \(\sigma\)-finies), quelle est la seule hypothèse exigée par le théorème de Fubini-Tonelli ?
A\(f\) est bornée
B\(f\) est mesurable pour la tribu produit
C\(f\) est intégrable sur \(X\times Y\)
Dchaque intégrale partielle est finie
Question 2
Pour \(f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\) sur \(]0,1]^2\), les deux intégrales itérées valent \(\frac\pi4\) et \(-\frac\pi4\). Que peut-on en conclure ?
ALa mesure de Lebesgue sur \(]0,1]\) n’est pas \(\sigma\)-finie
B\(f\) n’est pas mesurable pour la tribu produit
CLe théorème de Fubini est en défaut sur \(]0,1]^2\)
D\(f\) n’est pas intégrable sur \(]0,1]^2\)
Question 3
Que vaut \(\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy\) ?
A\(\sqrt\pi\)
B\(\frac\pi2\)
C\(\pi\)
D\(2\pi\)
Question 4
Que vaut \(\iint_{x^2+y^2\leqslant 1}(x^2+y^2)\,dx\,dy\) ?
A\(\frac\pi4\)
B\(\frac\pi2\)
C\(\frac{2\pi}{3}\)
D\(\pi\)
Question 5
Quelle est l’aire de l’image du carré \([0,1]^2\) par l’application linéaire de matrice \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\) ?
A\(25\)
B\(6\)
C\(5\)
D\(7\)
Question 6
En coordonnées sphériques \(x = r\sin\varphi\cos\theta\), \(y = r\sin\varphi\sin\theta\), \(z = r\cos\varphi\) (\(\varphi\in[0,\pi]\)), que vaut \(dx\,dy\,dz\) ?
A\(r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\)
B\(r^2\cos\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\)
C\(r\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\)
D\(r^2\,dr\,d\varphi\,d\theta\)
Question 7
Quel est le volume de la boule unité de \(\mathbb{R}^4\) ?
A\(\frac{\pi^2}{2}\)
B\(\frac{8\pi^2}{15}\)
C\(\pi^2\)
D\(\frac{4\pi}{3}\)
Question 8
Que vaut \(\left(\mathbf{1}_{[0,1]}*\mathbf{1}_{[0,1]}\right)\left(\frac32\right)\) ?
A\(\frac14\)
B\(\frac12\)
C\(\frac32\)
D\(1\)
Question 9
Pour \(f(x) = g(x) = e^{-x}\mathbf{1}_{x > 0}\), que vaut \((f*g)(x)\) pour \(x > 0\) ?
A\(e^{-x}\)
B\(e^{-2x}\)
C\(\frac{x^2}{2}e^{-x}\)
D\(x\,e^{-x}\)
Question 10
Laquelle de ces égalités entre tribus sur \(\mathbb{R}^2\) est vraie ?
Ce que vérifie ce QCM de fubini et changement de variables en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la tribu produit et la tribu borélienne de \(\mathbb{R}^2\) ;
Fubini-Tonelli (fonctions positives) et Fubini (fonctions intégrables) ;
l’effet d’une application linéaire sur la mesure de Lebesgue ;
les jacobiens des coordonnées polaires et sphériques ;
l’intégrale de Gauss et le volume des boules ;
le produit de convolution de deux fonctions intégrables.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : intervertir les intégrales d’une fonction de signe quelconque sans vérifier son intégrabilité. On applique d’abord Tonelli à \(|f|\) : si \(\iint|f| < +\infty\), Fubini s’applique ; sinon, les deux intégrales itérées peuvent différer.
Comment réviser avant de refaire le test
Rédigez toujours en deux temps : « par Tonelli, \(\iint|f| = \dots < +\infty\) », puis « par Fubini, on peut intervertir ». Pour un changement de variables, écrivez explicitement le difféomorphisme, son domaine et la valeur absolue du jacobien. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Sans \(\sigma\)-finitude, la mesure produit n’est plus unique et Tonelli peut tomber : avec la mesure de Lebesgue et la mesure de comptage sur \([0,1]\), l’indicatrice de la diagonale donne deux intégrales itérées différentes (\(0\) et \(1\)).
Comment calculer le volume de la boule unité de \(\mathbb{R}^n\) ?
Par Fubini en tranches : \(V_n = V_{n-1}\int_{-1}^1(1-t^2)^{\frac{n-1}{2}}dt\), ou en intégrant \(e^{-\|x\|^2}\) de deux façons. On obtient \(V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac n2+1)}\), soit \(\pi\), \(\frac43\pi\), \(\frac{\pi^2}{2}\) pour \(n = 2, 3, 4\).
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