Ce QCM vérifie la maîtrise de l’intégrale de Lebesgue en L3 : convergence monotone, lemme de Fatou, convergence dominée, intégration terme à terme et intégrales à paramètre. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Intégrale de Lebesgue - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Le théorème de convergence monotone s’applique à une suite \((f_n)\) de fonctions mesurables :
Abornées et convergeant presque partout
Bpositives et croissantes
Cpositives et décroissantes
Dintégrables et convergeant simplement
Question 2
Pour \(f_n = n\,\mathbf{1}_{]0,\frac1n[}\) sur \(\mathbb{R}\), que valent \(\lim\int f_n\,d\lambda\) et \(\int\lim f_n\,d\lambda\) ?
A\(1\) et \(1\)
B\(1\) et \(0\)
C\(+\infty\) et \(0\)
D\(0\) et \(0\)
Question 3
Pour une suite \((f_n)\) de fonctions mesurables positives, le lemme de Fatou affirme :
A\(\int\liminf f_n\geqslant\liminf\int f_n\)
B\(\int\liminf f_n = \liminf\int f_n\)
C\(\int\limsup f_n\leqslant\liminf\int f_n\)
D\(\int\liminf f_n\leqslant\liminf\int f_n\)
Question 4
Que vaut \(\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}\frac{n\sin(x/n)}{x(1+x^2)}\,dx\) ?
A\(\pi\)
B\(1\)
C\(\frac{\pi}{2}\)
D\(0\)
Question 5
Que vaut \(\lim_{n\to+\infty}\int_0^{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n dx\) ?
A\(1\)
B\(+\infty\)
C\(0\)
D\(e\)
Question 6
En développant \(\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n\geqslant 1}x\,e^{-nx}\), que vaut \(\int_0^{+\infty}\frac{x}{e^x-1}\,dx\) ?
A\(1\)
B\(\frac{\pi^2}{12}\)
C\(\frac{\pi^2}{6}\)
D\(\frac{\pi^2}{8}\)
Question 7
Que dire de \(x\mapsto\frac{\sin x}{x}\) sur \(]0,+\infty[\) ?
ASon intégrale impropre converge, mais elle n’est pas Lebesgue-intégrable
BElle est Lebesgue-intégrable, mais son intégrale impropre diverge
CSon intégrale impropre diverge
DElle est Lebesgue-intégrable, d’intégrale \(\frac{\pi}{2}\)
Question 8
Que dire de la fonction \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}\) sur \([0,1]\) ?
AElle est Riemann-intégrable d’intégrale \(0\)
BElle est Lebesgue-intégrable d’intégrale \(0\), mais pas Riemann-intégrable
CElle est Lebesgue-intégrable d’intégrale \(1\)
DElle n’est ni Riemann-intégrable ni Lebesgue-intégrable
Question 9
Sachant que \(F(x) = \int_0^{+\infty}e^{-xt}\,dt = \frac1x\) pour \(x > 0\), que vaut \(\int_0^{+\infty}t^2e^{-t}\,dt\) obtenu en dérivant deux fois sous le signe intégrale ?
A\(\frac12\)
B\(6\)
C\(2\)
D\(1\)
Question 10
Pour montrer que \(F(x) = \int f(x,t)\,d\mu(t)\) est continue sur un intervalle \(I\), quelle hypothèse de domination est correcte (en plus de la continuité de \(x\mapsto f(x,t)\)) ?
APour tout \(x\in I\), la fonction \(t\mapsto f(x,t)\) est intégrable
B\(|f(x,t)|\leqslant g(x)\) pour tout \(t\), avec \(g\) continue sur \(I\)
C\(f\) est bornée sur \(I\times\mathbb{R}\)
D\(|f(x,t)|\leqslant g(t)\) pour tout \(x\in I\), avec \(g\) intégrable indépendante de \(x\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de intégrale de Lebesgue en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le théorème de convergence monotone de Beppo Levi ;
le lemme de Fatou et le sens de son inégalité ;
le théorème de convergence dominée et le choix d’une domination ;
l’intégration terme à terme des séries de fonctions positives ;
la comparaison avec l’intégrale de Riemann ;
la continuité et la dérivation des intégrales à paramètre.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : chercher une domination qui dépend de \(n\) (ou du paramètre \(x\)). La fonction \(g\) doit être la même pour tous les indices : pour \(f_n = n\,\mathbf{1}_{]0,\frac1n[}\), on a bien \(f_n\leq\, n\), mais aucune fonction intégrable fixe ne domine la suite.
Comment réviser avant de refaire le test
Face à une limite d’intégrales, essayez dans l’ordre : positivité et monotonie (Beppo Levi, sans domination à chercher), puis convergence dominée avec une majoration obtenue par des inégalités classiques (\(|\sin u|\leq\,|u|\), \(1+u\leq\, e^u\)). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Une intégrale de Riemann impropre convergente est-elle toujours une intégrale de Lebesgue ?
Seulement si elle est absolument convergente. \(\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx\) converge au sens impropre, mais \(\frac{\sin x}{x}\) n’est pas Lebesgue-intégrable sur \(]0,+\infty[\).
Pourquoi travailler presque partout ?
Parce que l’intégrale ne voit pas les ensembles négligeables : deux fonctions égales presque partout ont la même intégrale. Toutes les hypothèses des théorèmes de convergence peuvent donc n’être vérifiées que presque partout.
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