Contrôle de maths L3 : espaces de Hilbert, projection et Parseval

Exercice 1 : Question de cours : projection et théorème de Riesz (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans cet exercice, \(H\) est un espace de Hilbert réel ou complexe. Son produit scalaire \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) est linéaire à gauche, et \(\|\cdot\|\) désigne la norme associée.

1. Énoncez le théorème de projection sur un convexe fermé non vide \(C\) de \(H\), avec la caractérisation du projeté \(p = P_C(x)\) par une inégalité. (1 point)
2. On admet l’existence et l’unicité du projeté. Démontrez la caractérisation : \(p \in C\) est le projeté de \(x\) si et seulement si \(\operatorname{Re}\langle x – p, y – p\rangle \leq\, 0\) pour tout \(y \in C\). (1,5 point)
3. Énoncez puis démontrez le théorème de représentation de Riesz pour une forme linéaire continue \(\varphi\) sur \(H\). Vous pourrez utiliser le projeté d’un vecteur sur le noyau de \(\varphi\). (1,5 point)

Exercice 2 : Projection sur le cône des fonctions positives (3,5 points)

On se place dans l’espace de Hilbert réel \(H = L^2(0,1)\), muni de \(\langle f, g\rangle = \displaystyle\int_0^1 f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\). On pose \(C = \{f \in H : f \geq\, 0 \text{ presque partout}\}\). Pour \(f \in H\), on note \(f^{+} = \max(f, 0)\) et \(f^{-} = \max(-f, 0)\), de sorte que \(f = f^{+} – f^{-}\).

1. Montrez que \(C\) est un convexe fermé non vide de \(H\). (1,5 point)
2. Montrez que, pour tout \(f \in H\), le projeté de \(f\) sur \(C\) est \(f^{+}\). (1,5 point)
3. On prend \(f(x) = 2x – 1\). Calculez la distance de \(f\) à \(C\). (0,5 point)

Exercice 3 : Distance à un sous-espace de polynômes (3,5 points)

On reste dans \(H = L^2(0,1)\) réel. On note \(E\) le sous-espace des fonctions polynomiales de degré au plus 1, c’est-à-dire des fonctions \(x \mapsto a + bx\) avec \(a, b\) réels.

1. Justifiez que la fonction \(x \mapsto x^2\) admet un unique projeté orthogonal \(p\) sur \(E\). (0,5 point)
2. Écrivez les deux équations qui caractérisent \(p\), puis déterminez \(p\). (1,5 point)
3. Déduisez-en la valeur de \(\displaystyle\min_{(a,b) \in \mathbb{R}^2} \int_0^1 (x^2 – a – bx)^2 \mathrm{d}x\). (1 point)
4. Construisez une base orthonormée \((e_0, e_1)\) de \(E\) par le procédé de Gram-Schmidt appliqué à \((1, x)\). Retrouvez \(p\) à l’aide de cette base. (0,5 point)

Exercice 4 : Égalité de Parseval et somme des 1/n⁴ (4 points)

On munit \(L^2(0, 2\pi)\), à valeurs complexes, du produit scalaire \(\langle f, g\rangle = \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi} f(t)\overline{g(t)}\,\mathrm{d}t\). On admet que la famille \((e_n)_{n \in \mathbb{Z}}\), avec \(e_n(t) = e^{int}\), est une base hilbertienne de cet espace. On note \(c_n(f) = \langle f, e_n\rangle\).

On étudie la fonction \(f(t) = (t – \pi)^2\) sur \([0, 2\pi]\).

1. Énoncez l’égalité de Parseval pour une base hilbertienne. (1 point)
2. Calculez \(c_0(f)\), puis montrez que \(c_n(f) = \dfrac{2}{n^2}\) pour tout \(n \neq 0\). (1,5 point)
3. Déduisez-en la valeur de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^4}\). (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : transformée de Fourier sur la droite réelle (5 points)

Pour \(h \in L^1(\mathbb{R})\), on note \(\hat{h}(\xi) = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} h(x)e^{-ix\xi}\,\mathrm{d}x\). On pose \(f(x) = e^{-|x|}\) et \(g(x) = e^{-x^2/2}\), et on admet que \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{2\pi}\).

1. Calculez \(\hat{f}(\xi)\) pour tout réel \(\xi\). (1 point)
2. Montrez que \(\hat{g}\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et qu’elle vérifie \(\hat{g}^{\prime}(\xi) = -\xi\,\hat{g}(\xi)\). Déduisez-en \(\hat{g}\). (2 points)
3. On admet le théorème de Plancherel : si \(h \in L^1 \cap L^2\), alors \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}} |\hat{h}|^2 = 2\pi \int_{\mathbb{R}} |h|^2\). Déduisez-en \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \dfrac{\mathrm{d}\xi}{(1+\xi^2)^2}\). (1 point)
4. Énoncez le théorème d’inversion de Fourier et vérifiez ses hypothèses pour \(f\). Déduisez-en, pour tout réel \(x\), la valeur de \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \dfrac{\cos(x\xi)}{1+\xi^2}\,\mathrm{d}\xi\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : espaces de Hilbert, projection et Parseval

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces de Hilbert » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces de hilbert.

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