Contrôle de maths L2 : intégrales doubles, triples et curvilignes

Exercice 1 : Question de cours : Fubini et jacobiens (3 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

1. Soit \(a < b\) deux réels et \(\varphi_1 \leq\, \varphi_2\) deux fonctions continues sur \([a, b]\). Énoncez le théorème de Fubini pour une fonction \(f\) continue sur le domaine élémentaire \(D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : a \leq\, x \leq\, b,\ \varphi_1(x) \leq\, y \leq\, \varphi_2(x)\}\). (1 point)
2. Calculez le jacobien du passage en coordonnées polaires \((r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)\). (0,5 point)
3. Calculez le jacobien du passage en coordonnées sphériques \((r, \theta, \varphi) \mapsto (r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi)\), avec \(r \geq\, 0\), \(\theta \in [0, 2\pi]\) et \(\varphi \in [0, \pi]\). (1,5 point)

Exercice 2 : Théorème de Fubini sur des domaines élémentaires (4 points)

On note \(D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \leq\, x \leq\, 1,\ x^2 \leq\, y \leq\, \sqrt{x}\}\), représenté ci-dessous.

1. Calculez l’aire de \(D\). (1 point)
2. Calculez \(I = \iint_D xy \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\). (1,5 point)
3. On pose \(J = \int_0^1 (\int_y^1 e^{x^2} \,\mathrm{d}x) \mathrm{d}y\). Dessinez le domaine d’intégration, échangez l’ordre des intégrations en justifiant, puis calculez \(J\). (1,5 point)

Exercice 3 : Coordonnées polaires et intégrale de Gauss (4 points)

On note \(\Delta = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 1 \leq\, x^2 + y^2 \leq\, 4,\ 0 \leq\, y \leq\, x\}\).

1. Calculez \(\iint_\Delta x \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) en coordonnées polaires. (1,5 point)
2. Calculez \(\iint_\Delta \frac{\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}{x^2 + y^2}\). (1 point)
3. Pour \(R > 0\), on note \(D_R\) le disque fermé de centre \(O\) et de rayon \(R\), et \(C_R = [-R, R]^2\). Calculez \(\iint_{D_R} e^{-(x^2 + y^2)} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\). Ensuite, en comparant les intégrales sur \(D_R\), \(C_R\) et \(D_{R\sqrt{2}}\), démontrez que \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \,\mathrm{d}x = \sqrt{\pi}\). (1,5 point)

Exercice 4 : Volumes et intégrales triples (4 points)

1. Soit \(V = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 \leq\, z \leq\, 2 – x^2 – y^2\}\), solide compris entre deux paraboloïdes. Déterminez la projection de \(V\) sur le plan \((xOy)\), dessinez-la, puis calculez le volume de \(V\) en coordonnées cylindriques. (2 points)
2. Soit \(B\) la boule unité fermée de \(\mathbb{R}^3\). Calculez \(\iiint_B z^2 \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\) en coordonnées sphériques. Vérifiez votre résultat à l’aide de \(\iiint_B (x^2 + y^2 + z^2) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\) et d’un argument de symétrie. (2 points)

Exercice 5 : Problème : formes différentielles et formule de Green-Riemann (5 points)

Dans cet exercice, \(\Gamma\) désigne l’ellipse paramétrée par \(t \mapsto (2\cos t, \sin t)\), \(t \in [0, 2\pi]\), parcourue dans le sens direct. Elle borde le domaine \(K = \{(x, y) : \frac{x^2}{4} + y^2 \leq\, 1\}\).

1. Montrez que la forme \(\omega_1 = (2xy + 1)\,\mathrm{d}x + (x^2 + 3y^2)\,\mathrm{d}y\) est exacte sur \(\mathbb{R}^2\), déterminez une primitive, puis calculez son intégrale le long de n’importe quel chemin de \((0, 0)\) à \((1, 2)\). (1 point)
2. Calculez directement \(\oint_\Gamma x\,\mathrm{d}y – y\,\mathrm{d}x\). Énoncez ensuite la formule de Green-Riemann et déduisez-en l’aire de \(K\). (1,5 point)
3. Calculez \(\oint_\Gamma x^2 y\,\mathrm{d}x + x y^2\,\mathrm{d}y\) à l’aide de la formule de Green-Riemann (on pourra poser \(x = 2r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)). (1,5 point)
4. Sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\), on considère \(\omega_4 = \dfrac{-y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y}{x^2 + y^2}\). Montrez que \(\omega_4\) est fermée, calculez son intégrale sur le cercle unité parcouru dans le sens direct, et concluez sur son exactitude. (1 point)

Réviser avant le contrôle : intégrales doubles, triples et curvilignes

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Intégrales multiples » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés intégrales multiples.

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