Contrôle de maths L2 : limites et dérivées partielles

Exercice 1 : Question de cours : dérivées partielles et continuité (3 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}^2\), \(f : U \to \mathbb{R}\) et \(a = (a_1, a_2) \in U\).

1. Définissez les dérivées partielles \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(a)\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(a)\), le gradient \(\nabla f(a)\), puis la notion de fonction de classe \(C^1\) sur \(U\). (1 point)
2. Énoncez le théorème de Schwarz sur les dérivées partielles secondes croisées. (1 point)
3. On pose \(\varphi(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}\) si \((x, y) \neq (0, 0)\) et \(\varphi(0, 0) = 0\). Montrez que \(\varphi\) admet des dérivées partielles en \((0, 0)\), mais qu’elle n’est pas continue en \((0, 0)\). (1 point)

Exercice 2 : Quatre limites en (0,0) (5 points)

Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\), dites si elle admet une limite en \((0, 0)\) et, le cas échéant, déterminez-la.

1. \(f_1(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}\). (1 point)
2. \(f_2(x, y) = \dfrac{x^2 – y^2}{x^2 + y^2}\). Quelques lignes de niveau de \(f_2\) sont représentées ci-dessous, avec la valeur de \(f_2\) sur chacune. Décrivez les lignes de niveau de \(f_2\), puis concluez. (1,5 point)

   

3. \(f_3(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}\). Étudiez d’abord la restriction de \(f_3\) aux droites passant par l’origine, puis à la parabole d’équation \(y = x^2\). (1,5 point)
4. \(f_4(x, y) = \dfrac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}\), à l’aide des coordonnées polaires. (1 point)

Exercice 3 : Gradient et règle de la chaîne (4 points)

On considère \(h(x, y) = x\,e^{xy} + \ln(1 + y^2)\), définie sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Calculez les dérivées partielles de \(h\) et justifiez que \(h\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\). (1 point)
2. Calculez \(\nabla h(1, 0)\), puis la dérivée de \(h\) au point \((1, 0)\) selon le vecteur unitaire \(u = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})\). (1 point)

Soit maintenant \(F : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) et \(g(r, \theta) = F(r\cos\theta,\; r\sin\theta)\) pour \((r, \theta) \in \mathbb{R}^2\).

3. À l’aide de la règle de la chaîne, exprimez \(\dfrac{\partial g}{\partial r}\) et \(\dfrac{\partial g}{\partial \theta}\) en fonction des dérivées partielles de \(F\). (1 point)
4. Montrez que \(\dfrac{\partial g}{\partial \theta}(r, \theta) = x\dfrac{\partial F}{\partial y}(x, y) – y\dfrac{\partial F}{\partial x}(x, y)\) avec \((x, y) = (r\cos\theta,\; r\sin\theta)\). Déduisez-en que si \(x\dfrac{\partial F}{\partial y} = y\dfrac{\partial F}{\partial x}\) sur \(\mathbb{R}^2\), alors \(F\) est constante sur chaque cercle de centre \(O\). (1 point)

Exercice 4 : Problème : un contre-exemple au théorème de Schwarz (8 points)

On définit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) par \(f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 – y^2)}{x^2 + y^2}\) si \((x, y) \neq (0, 0)\), et \(f(0, 0) = 0\).

1. Montrez que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\). (1 point)
2. Montrez que, pour \((x, y) \neq (0, 0)\), \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) = \dfrac{y(x^4 + 4x^2y^2 – y^4)}{(x^2 + y^2)^2}\). En remarquant que \(f(y, x) = -f(x, y)\), déduisez-en \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y)\). (1,5 point)
3. Calculez \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(0, 0)\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(0, 0)\). (1 point)
4. Montrez que \(|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y)| \leq\, 2|y|\) pour \((x, y) \neq (0, 0)\), puis que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\). (1,5 point)
5. Calculez \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(0, y)\) pour tout réel \(y\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x, 0)\) pour tout réel \(x\). Déduisez-en les dérivées croisées \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0, 0) = \dfrac{\partial}{\partial y}(\dfrac{\partial f}{\partial x})(0, 0)\) et \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0)\). (2 points)
6. Que peut-on en conclure sur la régularité de \(f\) ? Justifiez à l’aide du théorème de Schwarz. (1 point)

Réviser avant le contrôle : limites et dérivées partielles

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Fonctions de plusieurs variables » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés fonctions de plusieurs variables.

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