Contrôle de maths L2 : groupes, sous-groupes et morphismes

Exercice 1 : Question de cours : le théorème de Lagrange (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Soit \((G, \cdot)\) un groupe fini de neutre \(e\) et \(H\) un sous-groupe de \(G\).

1. Pour \(x, y \in G\), on pose \(x \sim y\) si \(x^{-1}y \in H\). Montrez que \(\sim\) est une relation d’équivalence et que la classe de \(x\) est \(xH = \{xh,\; h \in H\}\). (1 point)
2. Montrez que, pour tout \(x \in G\), l’application \(h \mapsto xh\) est une bijection de \(H\) sur \(xH\). (1 point)
3. Énoncez et démontrez le théorème de Lagrange. (1 point)
4. Déduisez-en que l’ordre de tout élément de \(G\) divise \(|G|\), puis que tout groupe d’ordre premier est cyclique. (1 point)

Exercice 2 : Le groupe cyclique Z/12Z (4 points)

On travaille dans le groupe additif \((\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, +)\).

1. Montrez que l’ordre de \(\overline{k}\) est \(\dfrac{12}{k \wedge 12}\), puis donnez l’ordre de chacun des douze éléments. (1 point)
2. Quels sont les générateurs de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) ? (0,5 point)
3. Montrez que tout sous-groupe de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) est engendré par une classe \(\overline{d}\) avec \(d\) diviseur positif de \(12\). Déduisez-en la liste de tous les sous-groupes, avec leur ordre et les inclusions entre eux. (1,5 point)
4. On définit \(f : \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) par \(f(\overline{x}) = \overline{3x}\). Justifiez que \(f\) est bien définie et que c’est un morphisme. Déterminez son noyau et son image, puis vérifiez que \(|\ker f| \times |\operatorname{Im} f| = 12\). (1 point)

Exercice 3 : Une permutation de S_7 (4 points)

On considère la permutation \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 2 3 4 5 6 7 \\ 3 7 5 6 1 2 4 \end{pmatrix}\) du groupe symétrique \(S_7\).

1. Décomposez \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints. (1 point)
2. Déterminez l’ordre de \(\sigma\) et sa signature \(\varepsilon(\sigma)\). (1 point)
3. Calculez \(\sigma^{2026}\) sous forme de produit de cycles à supports disjoints. (1 point)
4. Déterminez le plus grand ordre possible d’un élément de \(S_7\). (1 point)

Exercice 4 : Un morphisme vers le cercle unité (3 points)

On note \(\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C},\; |z| = 1\}\) et on définit \(\varphi : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{C}^{*}, \times )\) par \(\varphi(t) = e^{2i\pi t}\).

1. Montrez que \(\varphi\) est un morphisme de groupes. (0,5 point)
2. Déterminez le noyau et l’image de \(\varphi\). (1 point)
3. Soit \(f : G \to G^{\prime}\) un morphisme de groupes quelconque. Démontrez que \(f\) est injectif si et seulement si \(\ker f\) est réduit au neutre. (1 point)
4. Soit \(n \geq\, 1\). Montrez que \(\mathbb{U}_n = \{z \in \mathbb{C},\; z^n = 1\}\) est un sous-groupe cyclique de \(\mathbb{U}\), d’ordre \(n\). (0,5 point)

Exercice 5 : Problème : groupes d’ordre 4 et morphismes (5 points)

1. Soit \(G\) un groupe dans lequel \(x^2 = e\) pour tout \(x\). Montrez que \(G\) est commutatif. (1 point)
2. Soit \(G\) un groupe d’ordre \(4\). Montrez que \(G\) est cyclique ou que tout élément vérifie \(x^2 = e\). Déduisez-en que tout groupe d’ordre \(4\) est commutatif. (1,5 point)
3. Soit \(f : \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\) un morphisme de groupes et \(a \in \{0, 1, \ldots, 7\}\) tel que \(f(\overline{1}) = \dot{a}\), où \(\dot{a}\) désigne la classe de \(a\) modulo \(8\). Montrez que \(12a \equiv 0 \pmod 8\). Déterminez ensuite tous les morphismes de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\). (1,5 point)
4. Existe-t-il un morphisme injectif de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) dans \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\) ? Un morphisme surjectif ? Justifiez à l’aide du théorème de Lagrange. (1 point)

Réviser avant le contrôle : groupes, sous-groupes et morphismes

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Groupes » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés groupes.

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