Corrigé du contrôle de maths L2 : séries alternées et semi-convergence

Exercice 1 : Question de cours, le critère spécial des séries alternées (4 points)

1. Critère spécial des séries alternées. Si \((a_n)\) est une suite réelle décroissante de limite nulle, alors la série \(\sum (-1)^n a_n\) converge. De plus, son reste \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k a_k\) vérifie \(|R_n| \leq\, a_{n+1}\) et il est du signe de son premier terme \((-1)^{n+1} a_{n+1}\).
2. La suite \((a_n)\) est décroissante et tend vers 0, donc elle est positive. On calcule :
   \[S_{2n+2} – S_{2n} = a_{2n+2} – a_{2n+1} \leq\, 0, \qquad S_{2n+3} – S_{2n+1} = a_{2n+2} – a_{2n+3} \geq\, 0.\]
   Ainsi, \((S_{2n})\) est décroissante et \((S_{2n+1})\) est croissante. De plus, \(S_{2n+1} – S_{2n} = -a_{2n+1} \to 0\). Les deux suites sont donc adjacentes : elles convergent vers une même limite \(S\). Les suites extraites des rangs pairs et impairs ayant la même limite, \((S_n)\) converge vers \(S\) : la série \(\sum (-1)^n a_n\) converge.
3. Par adjacence, \(S_{2p+1} \leq\, S \leq\, S_{2p}\) pour tout \(p\). Si \(n = 2p\) est pair, alors \(S_{n+1} \leq\, S \leq\, S_n\), d’où \(-a_{n+1} = S_{n+1} – S_n \leq\, R_n \leq\, 0\). Si \(n = 2p+1\) est impair, alors \(S_n \leq\, S \leq\, S_{n+1}\), d’où \(0 \leq\, R_n \leq\, S_{n+1} – S_n = a_{n+1}\). Dans les deux cas, \(|R_n| \leq\, a_{n+1}\) et \(R_n\) a le signe de \((-1)^{n+1}\).

Barème : a) 1 point (0,5 pour les hypothèses et la convergence, 0,5 pour le reste) ; b) 2 points : 0,5 par monotonie, 0,5 pour la différence qui tend vers 0, 0,5 pour la conclusion par les suites extraites ; c) 1 point : 0,5 par cas.

Exercice 2 : Critère de Cauchy et convergence absolue (3 points)

1. La somme \(H_{2n} – H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}\) compte \(n\) termes, chacun supérieur ou égal à \(\frac{1}{2n}\). Donc \(H_{2n} – H_n \geq\, n \times \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\). Si la série convergeait, le critère de Cauchy fournirait, pour \(\varepsilon = \frac{1}{4}\), un rang \(N\) tel que \(|H_q – H_p| \leq\, \frac{1}{4}\) pour \(q > p \geq\, N\). Avec \(p = N\) et \(q = 2N\), c’est contradictoire. La série harmonique diverge.
2. Soit \(\sum u_n\) absolument convergente et \(\varepsilon > 0\). La série \(\sum |u_n|\) converge, donc elle vérifie le critère de Cauchy : il existe \(N\) tel que \(\sum_{k=p+1}^{q} |u_k| \leq\, \varepsilon\) pour \(q > p \geq\, N\). Par l’inégalité triangulaire, \(|\sum_{k=p+1}^{q} u_k| \leq\, \sum_{k=p+1}^{q} |u_k| \leq\, \varepsilon\). Les sommes partielles de \(\sum u_n\) forment donc une suite de Cauchy de \(\mathbb{R}\). Or \(\mathbb{R}\) est complet : \(\sum u_n\) converge.
3. D’une part, \(|\frac{\sin n}{n^2}| \leq\, \frac{1}{n^2}\), terme d’une série de Riemann convergente : \(\sum \frac{\sin n}{n^2}\) est absolument convergente, donc convergente. D’autre part, \(\cos(n\pi) = (-1)^n\) et la suite \((\frac{1}{\sqrt{n}})\) décroît vers 0 : la série converge par le critère spécial. Mais \(\sum \frac{1}{\sqrt{n}}\) diverge (Riemann, \(\frac{1}{2} \leq\, 1\)) : \(\sum \frac{\cos(n\pi)}{\sqrt{n}}\) est semi-convergente.

Barème : a) 1 point (0,5 pour la minoration, 0,5 pour la négation du critère de Cauchy) ; b) 1 point (inégalité triangulaire et complétude citée) ; c) 1 point : 0,5 par série.

Exercice 3 : Séries de Bertrand et développement asymptotique (5 points)

1. La fonction \(f : t \mapsto \frac{1}{t(\ln t)^{\beta}}\) est continue, positive et décroissante sur \([2, +\infty[\), car \(t\) et \((\ln t)^{\beta}\) sont positifs et croissants. Par comparaison série-intégrale, \(\sum f(n)\) et \(\int_{2}^{+\infty} f\) ont la même nature. Avec le changement de variable \(u = \ln t\), on obtient \(\int_{2}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{\ln 2}^{\ln x} \frac{\mathrm{d}u}{u^{\beta}}\). Cette intégrale a une limite finie quand \(x \to +\infty\) si et seulement si \(\beta > 1\) (intégrale de Riemann en \(+\infty\)). La série converge si et seulement si \(\beta > 1\).
2. La suite \((\frac{1}{n \ln n})_{n \geq\, 2}\) est décroissante (produit de deux suites positives croissantes au dénominateur) et tend vers 0. Le critère spécial donne la convergence de \(\sum \frac{(-1)^n}{n \ln n}\). En revanche, la série des valeurs absolues est la série de Bertrand avec \(\beta = 1\), divergente d’après a). La série est donc semi-convergente.
3. Pour \(n \geq\, 2\) et \(a > 0\), on a \(n^{a} \geq\, 2^{a} > 1\), donc \(n^{a} + (-1)^n \geq\, n^{a} – 1 > 0\) : \(u_n\) est bien défini. Ensuite :
   \[u_n – \frac{(-1)^n}{n^{a}} = (-1)^n \frac{n^{a} – n^{a} – (-1)^n}{n^{a}(n^{a} + (-1)^n)} = -\frac{(-1)^{2n}}{n^{a}(n^{a} + (-1)^n)} = v_n.\]
4. La série \(\sum \frac{(-1)^n}{n^{a}}\) converge par le critère spécial, car \((\frac{1}{n^{a}})\) décroît vers 0 pour \(a > 0\). Par ailleurs, \(v_n < 0\) et \(-v_n \sim \frac{1}{n^{2a}}\). Par équivalence de séries de signe constant, \(\sum v_n\) converge si et seulement si \(2a > 1\). Ainsi \(\sum u_n\), somme d’une série convergente et de \(\sum v_n\), converge si et seulement si \(a > \frac{1}{2}\). Pour la convergence absolue, \(|u_n| = \frac{1}{n^{a} + (-1)^n} \sim \frac{1}{n^{a}}\), donc \(\sum |u_n|\) converge si et seulement si \(a > 1\). Bilan : absolument convergente pour \(a > 1\), semi-convergente pour \(\frac{1}{2} < a \leq\, 1\), divergente pour \(0 < a \leq\, \frac{1}{2}\).

Erreur fréquente : appliquer le critère spécial à \(\sum u_n\) directement. La suite \((\frac{1}{n^{a} + (-1)^n})\) n’est pas décroissante, et la série peut diverger alors que son terme alterne et tend vers 0.

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour les hypothèses de la comparaison série-intégrale, 0,5 pour le changement de variable, 0,5 pour la conclusion ; b) 1 point ; c) 1 point (0,5 pour la définition, 0,5 pour le calcul) ; d) 1,5 point : 0,5 pour \(\sum v_n\), 0,5 pour la convergence, 0,5 pour la convergence absolue.

Exercice 4 : Un produit de Cauchy divergent (3 points)

1. La suite \((\frac{1}{\sqrt{n+1}})\) est décroissante de limite nulle, donc \(\sum a_n\) converge par le critère spécial. Elle n’est pas absolument convergente : \(|a_n| = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sim \frac{1}{n^{1/2}}\), terme d’une série de Riemann divergente.
2. Pour \(0 \leq\, k \leq\, n\), on a \(a_k a_{n-k} = \frac{(-1)^k (-1)^{n-k}}{\sqrt{k+1}\sqrt{n-k+1}} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\), d’où la formule de \(c_n\). L’inégalité \(xy \leq\, (\frac{x+y}{2})^2\), valable pour tous réels, donne avec \(x = k+1\) et \(y = n-k+1\) :
   \[(k+1)(n-k+1) \leq\, (\frac{n+2}{2})^2, \quad \text{donc} \quad \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}} \geq\, \frac{2}{n+2}.\]
   En sommant les \(n+1\) termes, \(|c_n| \geq\, \dfrac{2(n+1)}{n+2}\).
3. Pour tout \(n \geq\, 0\), \(2(n+1) \geq\, n+2\), donc \(|c_n| \geq\, 1\). Le terme général ne tend pas vers 0 : \(\sum c_n\) diverge grossièrement. Le théorème sur le produit de Cauchy exige que les deux séries soient absolument convergentes. Ici, \(\sum a_n\) n’est que semi-convergente.

Barème : a) 0,5 point ; b) 1,5 point : 0,5 pour la formule de \(c_n\), 1 pour la minoration ; c) 1 point : 0,5 pour la divergence grossière, 0,5 pour l’hypothèse manquante.

Exercice 5 : Problème, transformation d’Abel pour la série de sin(n)/n (5 points)

1. On a \(T_n = \operatorname{Im}(\sum_{k=1}^{n} e^{ik})\). Comme \(e^{i} \neq 1\), la somme géométrique vaut \(e^{i}\,\dfrac{1 – e^{in}}{1 – e^{i}}\). Pour tout réel \(\theta\), \(|1 – e^{i\theta}| = 2|\sin\frac{\theta}{2}|\). Ainsi
   \[|T_n| \leq\, |\sum_{k=1}^{n} e^{ik}| \leq\, \frac{2}{2\sin(1/2)} = \frac{1}{\sin(1/2)},\]
   car \(|1 – e^{in}| \leq\, 2\) et \(\sin\frac{1}{2} > 0\). La suite \((T_n)\) est bornée par \(M = \frac{1}{\sin(1/2)}\).
2. On écrit \(\sin k = T_k – T_{k-1}\) pour \(k \geq\, 1\), puis on décale l’indice dans la seconde somme :
   \[\sum_{k=1}^{n} \frac{T_k – T_{k-1}}{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{T_k}{k} – \sum_{k=0}^{n-1} \frac{T_k}{k+1} = \frac{T_n}{n} – T_0 + \sum_{k=1}^{n-1} T_k(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}).\]
   Comme \(T_0 = 0\), on obtient la formule demandée.
3. D’abord, \(|\frac{T_n}{n}| \leq\, \frac{M}{n} \to 0\). Ensuite, \(|T_k(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1})| \leq\, M(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1})\), terme positif d’une série télescopique convergente (de somme \(M\)). La série \(\sum T_k(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1})\) est donc absolument convergente, donc convergente. Les deux termes du membre de droite ont une limite finie : \(\sum \frac{\sin n}{n}\) converge.
4. Pour \(n \geq\, 1\), \(\frac{|\sin n|}{n} \geq\, \frac{\sin^2 n}{n} = \frac{1}{2n} – \frac{\cos(2n)}{2n}\). La série \(\sum \frac{1}{2n}\) diverge et \(\sum \frac{\cos(2n)}{2n}\) converge, donc leur différence \(\sum \frac{\sin^2 n}{n}\) diverge. Par comparaison de séries à termes positifs, \(\sum \frac{|\sin n|}{n}\) diverge : la série \(\sum \frac{\sin n}{n}\) est semi-convergente.

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour la somme géométrique, 0,5 pour le module, 0,5 pour la majoration ; b) 1,5 point : 1 pour le décalage d’indice, 0,5 pour la formule finale ; c) 1 point : 0,5 par terme ; d) 1 point : 0,5 pour la divergence de \(\sum \frac{\sin^2 n}{n}\), 0,5 pour la comparaison.

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