Contrôle de maths L2 : convergence uniforme des séries de fonctions

Exercice 1 : Question de cours : convergence uniforme et interversions (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans cet exercice, \(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\), \((f_n)\) une suite de fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\) et \(f : I \to \mathbb{R}\).

1. Donnez les définitions de « \((f_n)\) converge simplement vers \(f\) sur \(I\) » et de « \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\) », cette dernière à l’aide de la norme infinie. (1 point)
2. On suppose chaque \(f_n\) continue sur \(I\) et la convergence uniforme sur \(I\). Démontrez que \(f\) est continue sur \(I\). (2 points)
3. On suppose \(I = [a, b]\), avec \(a < b\), les \(f_n\) et \(f\) continues, et la convergence uniforme sur \([a,b]\). Démontrez que \(\displaystyle\int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x \to \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\). (1 point)

Exercice 2 : La suite de fonctions x puissance n (4 points)

Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(x \in [0,1]\), on pose \(f_n(x) = x^n\) et \(g_n(x) = x^n(1 – x)\).

1. Déterminez la limite simple \(f\) de la suite \((f_n)\) sur \([0,1]\). (0,5 point)
2. La convergence est-elle uniforme sur \([0,1]\) ? Donnez deux justifications différentes. (1 point)
3. Soit \(a \in ]0,1[\). Démontrez que \((f_n)\) converge uniformément sur \([0,a]\). (1 point)
4. Calculez \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x\) et comparez-la à \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\). Que peut-on en conclure sur la réciproque de la question 1 c) ? (0,5 point)
5. Démontrez que \((g_n)\) converge uniformément vers la fonction nulle sur \([0,1]\). (1 point)

Exercice 3 : Une bosse qui glisse vers l’origine (4 points)

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \geq\, 0\), on pose \(f_n(x) = n x e^{-nx}\). La figure représente \(f_1\), \(f_2\), \(f_5\) et \(f_{10}\).

1. Démontrez que \((f_n)\) converge simplement vers la fonction nulle sur \([0, +\infty[\). (0,5 point)
2. Étudiez les variations de \(f_n\), puis calculez \(\|f_n\|_\infty\) sur \([0, +\infty[\). La convergence est-elle uniforme sur \([0, +\infty[\) ? (1 point)
3. Soit \(a > 0\). Démontrez que la convergence est uniforme sur \([a, +\infty[\). (1 point)
4. On pose \(h_n = n f_n\). Démontrez que \((h_n)\) converge simplement vers \(0\) sur \([0,1]\), puis calculez \(\displaystyle\int_0^1 h_n(x)\,\mathrm{d}x\) et sa limite. Commentez. (1,5 point)

Exercice 4 : Série de fonctions et convergence normale (3,5 points)

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \geq\, 0\), on pose \(u_n(x) = x e^{-nx}\).

1. Démontrez que la série \(\sum u_n\) converge simplement sur \([0,+\infty[\). Calculez sa somme \(S(x)\), en distinguant \(x = 0\) et \(x > 0\). (1 point)
2. Calculez \(\|u_n\|_\infty\) sur \([0,+\infty[\). La série converge-t-elle normalement sur \([0,+\infty[\) ? (1 point)
3. Soit \(a > 0\). Démontrez que la série converge normalement sur \([a,+\infty[\). (0,5 point)
4. Étudiez la continuité de \(S\) en \(0\). La convergence de la série est-elle uniforme sur \([0,+\infty[\) ? (1 point)

Exercice 5 : Problème : la fonction zêta de Riemann (4,5 points)

Pour \(s > 1\), on pose \(\zeta(s) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}\).

1. Soit \(a > 1\). Démontrez que la série converge normalement sur \([a, +\infty[\). Déduisez-en que \(\zeta\) est définie et continue sur \(]1, +\infty[\). (1 point)
2. Démontrez que \(\zeta\) est de classe \(C^1\) sur \(]1, +\infty[\), exprimez \(\zeta^{\prime}(s)\) sous forme de série, et déduisez-en le sens de variation de \(\zeta\). (1,5 point)
3. Déterminez la limite de \(\zeta(s)\) quand \(s \to +\infty\), en citant le théorème utilisé. (1 point)
4. À l’aide d’une comparaison entre série et intégrale, démontrez que pour tout \(s > 1\) :
   \[\frac{1}{s-1} \leq\, \zeta(s) \leq\, 1 + \frac{1}{s-1}.\]
   Déduisez-en un équivalent de \(\zeta(s)\) quand \(s \to 1^+\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : convergence uniforme des séries de fonctions

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Suites et séries de fonctions » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés suites et séries de fonctions.

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