Contrôle de maths L1 : équations différentielles d’ordre 1 et 2

Exercice 1 : Question de cours sur le premier ordre (3 points)

Calculatrice interdite.

Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues sur \(I\). On note \(A\) une primitive de \(a\) sur \(I\). On considère l’équation \((E) : y^{\prime} + a(x)\,y = b(x)\) et l’équation homogène associée \((H) : y^{\prime} + a(x)\,y = 0\).

1. Démontrez que les solutions de \((H)\) sur \(I\) sont exactement les fonctions \(x \mapsto \lambda\, e^{-A(x)}\), où \(\lambda \in \mathbb{R}\). (2 points)
2. On suppose que \(y_p\) est une solution de \((E)\) sur \(I\). Démontrez que \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(y – y_p\) est solution de \((H)\). (1 point)

Exercice 2 : Variation de la constante et problème de Cauchy (4 points)

On considère sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle

\[(E_2) : y^{\prime} + 2x\,y = \dfrac{e^{-x^2}}{1+x^2}.\]

1. Résolvez l’équation homogène associée à \((E_2)\). (1 point)
2. À l’aide de la méthode de variation de la constante, déterminez toutes les solutions de \((E_2)\) sur \(\mathbb{R}\). (2 points)
3. Déterminez l’unique solution \(f\) de \((E_2)\) telle que \(f(0) = 1\). Calculez ensuite la limite de \(f\) en \(+\infty\). (1 point)

Exercice 3 : Raccordement de solutions en 0 (4 points)

On considère l’équation différentielle \((E_3) : x\,y^{\prime} – 2y = x^3\).

1. Résolvez \((E_3)\) sur l’intervalle \(]0,+\infty[\). (1,5 point)
2. Résolvez \((E_3)\) sur l’intervalle \(]-\infty,0[\). (0,5 point)
3. Déterminez toutes les fonctions \(y\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) qui vérifient \((E_3)\) en tout point de \(\mathbb{R}\). L’ensemble de ces solutions est-il une droite affine ? Le problème de Cauchy \(y(0) = 1\) a-t-il une solution sur \(\mathbb{R}\) ? (2 points)

Exercice 4 : Second ordre et principe de superposition (4 points)

On considère l’équation homogène \((H_4) : y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = 0\).

1. Résolvez \((H_4)\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
2. Déterminez une solution particulière de \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = x\,e^{x}\) de la forme \(x \mapsto P(x)\,e^{x}\), où \(P\) est un polynôme que vous préciserez. (1,5 point)
3. Déterminez une solution particulière de \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = 10\sin x\). (1 point)
4. Déduisez-en toutes les solutions réelles de \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = x\,e^{x} + 10\sin x\). (0,5 point)

Exercice 5 : Problème : charge dans un circuit RLC (5 points)

Un circuit comporte en série une bobine d’inductance \(L = 1\) H, une résistance \(R = 2\;\Omega\) et un condensateur de capacité \(C = 0{,}2\) F. À l’instant \(t = 0\), on branche un générateur de tension constante \(E = 10\) V. La charge \(q(t)\) du condensateur (en coulombs) vérifie, pour \(t \geq\, 0\) :

\[L\,q^{\prime\prime}(t) + R\,q^{\prime}(t) + \dfrac{1}{C}\,q(t) = E.\]

Le condensateur est initialement déchargé et aucun courant ne circule : \(q(0) = 0\) et \(q^{\prime}(0) = 0\). L’intensité du courant est \(i(t) = q^{\prime}(t)\).

1. Montrez que \(q\) est solution de \(q^{\prime\prime} + 2q^{\prime} + 5q = 10\). (0,5 point)
2. Résolvez l’équation homogène \(y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 5y = 0\) et donnez ses solutions réelles. (1,5 point)
3. Trouvez une solution particulière constante, puis écrivez la solution générale de l’équation de la question a. (0,5 point)
4. Déterminez \(q(t)\) pour \(t \geq\, 0\). (1,5 point)
5. Calculez \(i(t)\). Déterminez ensuite la limite de \(q(t)\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\) et interprétez-la. (1 point)

Réviser avant le contrôle : équations différentielles d’ordre 1 et 2

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Équations différentielles » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés équations différentielles.

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