Contrôle de maths L1 : intégrale de Riemann, primitives et IPP

Exercice 1 : Question de cours : positivité et inégalité de la moyenne (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans cet exercice, \(a < b\) sont deux réels et \(f\) est une fonction continue sur \([a, b]\) à valeurs réelles.

1. Énoncez l’inégalité de la moyenne pour \(f\) sur \([a, b]\). (1 point)
2. On suppose \(f \geq\, 0\) sur \([a, b]\) et \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = 0\). Démontrez que \(f\) est la fonction nulle sur \([a, b]\). (2 points)

Exercice 2 : Sommes de Riemann (4 points)

Pour tout entier \(n \geq\, 1\), on pose

\[S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{n^2 + k^2} \qquad \text{et} \qquad u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n + k}.\]

La figure représente la fonction \(f : x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^2}\) sur \([0, 1]\) et, pour \(n = 6\), les rectangles de base \([\dfrac{k-1}{6}, \dfrac{k}{6}]\) et de hauteur \(f(\dfrac{k}{6})\).

1. Montrez que \(S_n = \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(\dfrac{k}{n})\) et déterminez la limite de \((S_n)\). (1,5 point)
2. En utilisant la monotonie de \(f\), démontrez l’encadrement \(S_n \leq\, \dfrac{\pi}{4} \leq\, S_n + \dfrac{1}{2n}\). (1 point)
3. Déterminez la limite de \((u_n)\). (1,5 point)

Exercice 3 : Intégration par parties et changement de variable (5 points)

Calculez les intégrales suivantes en justifiant la méthode employée.

1. \(I = \displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx\) (1 point)
2. \(J = \displaystyle\int_1^e x \ln x\,dx\) (1,5 point)
3. \(K = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1 + \sqrt{x}}\), à l’aide du changement de variable \(x = t^2\). (1,5 point)
4. \(L = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x + 3}{x^2 + 3x + 2}\,dx\), après avoir décomposé la fraction rationnelle en éléments simples. (1 point)

Exercice 4 : Problème : les intégrales de Wallis (8 points)

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,dt\).

1. Calculez \(W_0\) et \(W_1\). (0,5 point)
2. Montrez que \(W_n > 0\) pour tout \(n\) et que la suite \((W_n)\) est décroissante. (1 point)
3. À l’aide d’une intégration par parties, démontrez que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \((n + 2)\,W_{n+2} = (n + 1)\,W_n\). (2 points)
4. Démontrez par récurrence que, pour tout \(p \in \mathbb{N}\), \(W_{2p} = \dfrac{(2p)!}{2^{2p}\,(p!)^2} \times \dfrac{\pi}{2}\). (1,5 point)
5. Montrez que la suite de terme général \((n + 1)\,W_{n+1}\,W_n\) est constante et donnez sa valeur. (1,5 point)
6. Démontrez que \(\dfrac{W_{n+1}}{W_n}\) tend vers 1, puis que \(W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : intégrale de Riemann, primitives et IPP

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Intégration sur un segment » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés intégration sur un segment.

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