Contrôle de maths L1 : arithmétique, Bézout, Gauss et congruences

Exercice 1 : Question de cours : le lemme de Gauss (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout le sujet, \(a\), \(b\), \(c\) désignent des entiers relatifs.

1. Énoncez le théorème de Bézout. (1 point)
2. Énoncez le lemme de Gauss, puis démontrez-le à l’aide du théorème de Bézout. (2 points)

Exercice 2 : Algorithme d’Euclide étendu et équation diophantienne (6 points)

1. Appliquez l’algorithme d’Euclide étendu à \(255\) et \(141\). Présentez les calculs dans un tableau à quatre colonnes : reste \(r_k\), quotient \(q_k\), coefficients \(u_k\) et \(v_k\) tels que \(r_k = 255\,u_k + 141\,v_k\). En déduire \(d = \operatorname{pgcd}(255, 141)\) et un couple \((u, v)\) d’entiers vérifiant \(255\,u + 141\,v = d\). (2,5 points)
2. Déterminez tous les couples \((x, y) \in \mathbb{Z}^2\) solutions de l’équation \(255\,x + 141\,y = 12\). (3 points)
3. L’équation \(255\,x + 141\,y = 10\) admet-elle des solutions entières ? Justifiez. (0,5 point)

Exercice 3 : Décomposition en facteurs premiers (3 points)

On pose \(n = 3600\) et \(m = 756\).

1. Décomposez \(n\) et \(m\) en produit de facteurs premiers. Combien \(n\) possède-t-il de diviseurs positifs ? Justifiez. (1 point)
2. En déduire \(\operatorname{pgcd}(n, m)\) et \(\operatorname{ppcm}(n, m)\). (1 point)
3. Déterminez le plus petit entier \(k \geq\, 1\) tel que \(n\,k\) soit le cube d’un entier. (1 point)

Exercice 4 : Congruences et petit théorème de Fermat (3 points)

1. Énoncez le petit théorème de Fermat, puis déterminez le reste de la division euclidienne de \(2^{100}\) par \(7\). (1 point)
2. Montrez que, pour tout entier \(n\), l’entier \(n^7 – n\) est divisible par \(42\). (2 points)

Exercice 5 : Problème : un trésor et des restes (5 points)

Un groupe de pirates compte ses pièces d’or. Réparties en paquets de 5, il en reste 2 ; en paquets de 7, il en reste 3 ; en paquets de 3, il en reste 1. On sait que le trésor compte entre 300 et 400 pièces.

1. Justifiez que \(5\) et \(7\) sont premiers entre eux et trouvez deux entiers \(u\) et \(v\) tels que \(5\,u + 7\,v = 1\). (1 point)
2. Montrez qu’un entier \(N\) vérifie à la fois \(N \equiv 2 \pmod{5}\) et \(N \equiv 3 \pmod{7}\) si et seulement si \(N \equiv 17 \pmod{35}\). (2 points)
3. Déterminez le nombre de pièces du trésor. (2 points)

Réviser avant le contrôle : arithmétique, Bézout, Gauss et congruences

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Arithmétique dans Z » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés arithmétique dans z.

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