Contrôle de maths sup : calcul matriciel, puissances et inverse

Exercice 1 : Questions de cours (3 points)

Calculatrice interdite. Dans tout le sujet, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) et \(I_n\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

1. Énoncez la formule du binôme pour deux matrices \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), avec son hypothèse. Montrez sur les matrices \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) que cette hypothèse ne peut pas être supprimée. (1,5 point)
2. Démontrez que le produit de deux matrices triangulaires supérieures de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est triangulaire supérieure, et précisez ses coefficients diagonaux. (1,5 point)

Exercice 2 : Produits, transposées et symétries (3,5 points)

On considère les matrices \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\).

1. Calculez \(AB\) et \(BA\). (1 point)
2. Soit \(M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\). Montrez que \(M^{T} M\) est symétrique, puis que \(M^{T} M = 0\) entraîne \(M = 0\). (1 point)
3. Écrivez \(C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & -1 \\ 2 & 5 & 0 \end{pmatrix}\) comme somme d’une matrice symétrique \(S\) et d’une matrice antisymétrique \(K\). (1 point)
4. Montrez que le carré d’une matrice antisymétrique est symétrique. (0,5 point)

Exercice 3 : Puissances par la formule du binôme (4 points)

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\). On pose \(N = A – 2I_3\).

1. Calculez \(N^2\) et \(N^3\). (0,5 point)
2. Justifiez l’emploi de la formule du binôme, puis calculez \(A^n\) pour tout entier \(n \geq\, 0\) sous forme d’une matrice explicite. (2 points)
3. Montrez que \(A\) est inversible en calculant le produit \(A (\frac{1}{2} I_3 – \frac{1}{4} N + \frac{1}{8} N^2)\). Vérifiez que la formule obtenue en b) reste vraie pour \(n = -1\). (1 point)
4. Soit \(D = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\). Calculez \((D – 2I_2)^2\), puis donnez \(D^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). (0,5 point)

Exercice 4 : Inverse par la méthode de Gauss-Jordan (3 points)

Soit \(P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}\).

1. Par la méthode de Gauss-Jordan, montrez que \(P\) est inversible et calculez \(P^{-1}\). Vous écrirez chaque opération sur les lignes. (2 points)
2. Déduisez-en la solution du système \(\{ \begin{aligned} x + 2y + z = 1 \\ 2x + 5y + 3z = 0 \\ x + 3y + 3z = 2 \end{aligned} .\) (1 point)

Exercice 5 : Système linéaire à paramètre (3 points)

Soit \(m\) un réel. On considère le système \((S_m)\) d’inconnues réelles \(x\), \(y\), \(z\) :

\[\{ \begin{aligned} x + y + mz = 1 \\ x + my + z = m \\ mx + y + z = m^2 \end{aligned} .\]

1. Par la méthode du pivot, ramenez \((S_m)\) à un système triangulaire équivalent. (1 point)
2. Pour \(m \notin \{1, -2\}\), montrez que \((S_m)\) admet une unique solution et calculez-la. (1 point)
3. Résolvez \((S_1)\) et \((S_{-2})\). (1 point)

Exercice 6 : Problème : commutant d’une matrice nilpotente (3,5 points)

Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on appelle commutant de \(A\) l’ensemble \(\mathcal{C}(A) = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \,:\, AM = MA \}\). On note \(J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Montrez que \(\mathcal{C}(A)\) contient \(I_n\) et \(A\), et qu’il est stable par somme, par multiplication par un scalaire et par produit. (0,5 point)
2. Soit \(M = (m_{ij}) \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})\). Calculez \(JM\) et \(MJ\), puis montrez que \(M \in \mathcal{C}(J)\) si et seulement s’il existe \(a, b, c \in \mathbb{K}\) tels que \(M = aI_3 + bJ + cJ^2\). (1,5 point)
3. Déduisez-en le commutant de la matrice \(A\) de l’exercice 3. (0,5 point)
4. Montrez qu’il n’existe aucune matrice \(M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})\) telle que \(M^2 = J\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : calcul matriciel, puissances et inverse

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Calcul matriciel » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés calcul matriciel.

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