Ce contrôle de maths sup porte sur le thème suivant : équations différentielles linéaires.
Ce devoir surveillé de deux heures porte sur les équations différentielles linéaires du premier semestre de maths sup. Il s’ouvre sur la démonstration de la forme des solutions d’une équation homogène d’ordre 1, puis vous demande de mener une variation de la constante complète et de résoudre un problème de Cauchy.
Un exercice de recollement montre ce qui se passe quand le coefficient de la dérivée s’annule. Viennent ensuite des seconds membres polynôme, exponentielle en cas résonant et cosinus traité par passage aux complexes. Pour finir, une petite modélisation d’un circuit RLC relie ces méthodes à la physique. Citez les théorèmes utilisés et vérifiez vos solutions particulières.
- Niveau : maths sup (MPSI)
- Chapitre : Équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2
- Durée conseillée : 2 heures
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 3 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 5 points ; exercice 5 : 3 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : résoudre une équation d’ordre 1 par variation de la constante
- Raisonner : recoller des solutions en un point où le coefficient s’annule
- Chercher : trouver une solution particulière pour un second membre usuel
- Modéliser : traduire et interpréter l’évolution d’un circuit RLC
Exercice 1 : Question de cours (3 points)
Calculatrice interdite.
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(a\), \(b\), \(b_1\), \(b_2\) des fonctions continues sur \(I\) à valeurs réelles.
- Énoncez puis démontrez le théorème qui décrit l’ensemble des solutions sur \(I\) de l’équation homogène \(y^{\prime} + a(x)y = 0\). (2 points)
- Énoncez et démontrez le principe de superposition pour les équations \(y^{\prime} + a(x)y = b_1(x)\) et \(y^{\prime} + a(x)y = b_2(x)\). (1 point)
Exercice 2 : Variation de la constante (5 points)
On se place sur l’intervalle \(I = ]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}[\) et l’on considère l’équation
\[(E) : \quad y^{\prime} + \tan(x)\,y = \cos^2 x.\]
- Résolvez sur \(I\) l’équation homogène associée à \((E)\). (1 point)
- Par la méthode de la variation de la constante, déterminez toutes les solutions de \((E)\) sur \(I\). (2 points)
- Déterminez la solution de \((E)\) sur \(I\) qui vérifie \(y(0) = 2\). Justifiez son unicité. (1 point)
- Déduisez-en toutes les solutions sur \(I\) de l’équation \(y^{\prime} + \tan(x)\,y = \cos^2 x + \cos x\). (1 point)
Exercice 3 : Recollement en un point singulier (4 points)
On considère l’équation
\[(F) : \quad x\,y^{\prime} – 2y = x^3.\]
- Résolvez \((F)\) sur chacun des intervalles \(]0, +\infty[\) et \(]-\infty, 0[\). (1,5 point)
- Déterminez toutes les fonctions \(y\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) qui vérifient \((F)\) en tout point de \(\mathbb{R}\). (1,5 point)
- Combien l’équation \((F)\) possède-t-elle de solutions sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(y(0) = 0\) ? Et vérifiant \(y(0) = 1\) ? Expliquez pourquoi ce résultat ne contredit pas le théorème de Cauchy du cours. (1 point)
Exercice 4 : Second ordre à coefficients constants (5 points)
On étudie les équations \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = f(x)\) pour différents seconds membres \(f\).
- Résolvez sur \(\mathbb{R}\) l’équation homogène \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = 0\). (1 point)
- Pour \(f(x) = 2x + 1\), trouvez une solution particulière polynomiale, puis donnez toutes les solutions. (1 point)
- Pour \(f(x) = e^x\), expliquez pourquoi on cherche une solution particulière de la forme \(x \mapsto \alpha x e^x\), puis déterminez \(\alpha\). (1,5 point)
- Pour \(f(x) = 10\cos x\), trouvez une solution particulière en résolvant d’abord l’équation \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = 10e^{ix}\). (1,5 point)
Exercice 5 : Décharge d’un circuit RLC (3 points)
Un condensateur chargé se décharge dans une bobine et une résistance montées en série. Dans un système d’unités adapté, la charge \(q(t)\) du condensateur vérifie, pour \(t \geq\, 0\),
\[q^{\prime\prime}(t) + 2q^{\prime}(t) + 5q(t) = 0, \qquad q(0) = 1, \qquad q^{\prime}(0) = 0.\]
- Déterminez \(q(t)\). (1,5 point)
- Précisez la nature du régime obtenu et sa pseudo-période. (0,5 point)
- Démontrez que \(|q(t)| \leq\, \dfrac{\sqrt{5}}{2}e^{-t}\) pour tout \(t \geq\, 0\), et déduisez-en la limite de \(q\) en \(+\infty\). (1 point)
Réviser avant le contrôle : équations différentielles linéaires
Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Équations différentielles linéaires » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés équations différentielles linéaires.
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