Corrigé du contrôle de maths sup : équations différentielles linéaires

Exercice 1 : Question de cours (3 points)

1. Théorème. Soit \(A\) une primitive de \(a\) sur \(I\). Les solutions sur \(I\) de \(y^{\prime} + a(x)y = 0\) sont exactement les fonctions \(x \mapsto \lambda e^{-A(x)}\), avec \(\lambda \in \mathbb{R}\).
   
   Démonstration. La fonction \(a\) est continue sur l’intervalle \(I\), donc elle admet une primitive \(A\), dérivable sur \(I\). Soit \(y\) une fonction dérivable sur \(I\) ; posons \(z = y\,e^{A}\). Alors \(z\) est dérivable et
   \[z^{\prime} = (y^{\prime} + A^{\prime}y)e^{A} = (y^{\prime} + a\,y)e^{A}.\]
   Comme \(e^{A}\) ne s’annule pas, \(y\) est solution si et seulement si \(z^{\prime} = 0\) sur \(I\). Or \(I\) est un intervalle, donc cela équivaut à \(z\) constante : \(z = \lambda\), soit \(y = \lambda e^{-A}\). L’ensemble des solutions est \(\{x \mapsto \lambda e^{-A(x)} : \lambda \in \mathbb{R}\}\).
2. Principe de superposition. Si \(y_1\) est solution de \(y^{\prime} + ay = b_1\) et \(y_2\) solution de \(y^{\prime} + ay = b_2\), alors, pour tous réels \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\), la fonction \(\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2\) est solution de \(y^{\prime} + ay = \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2\).
   
   Démonstration. Par linéarité de la dérivation,
   \[(\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2)^{\prime} + a(\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2) = \lambda_1(y_1^{\prime} + ay_1) + \lambda_2(y_2^{\prime} + ay_2) = \lambda_1 b_1 + \lambda_2 b_2.\]
   Le principe est démontré.

Barème : a) 2 points : 0,5 pour l’énoncé, 0,5 pour l’introduction de \(z = y\,e^{A}\), 0,5 pour le calcul de \(z^{\prime}\), 0,5 pour l’argument d’intervalle ; b) 1 point : 0,5 pour l’énoncé, 0,5 pour la preuve.

Exercice 2 : Variation de la constante (5 points)

1. Sur \(I\), la fonction \(\tan\) est continue et \(\cos x > 0\). Une primitive de \(\tan\) est \(A(x) = -\ln(\cos x)\), donc \(e^{-A(x)} = \cos x\). D’après le théorème du cours, les solutions de l’équation homogène sont les fonctions \(x \mapsto \lambda\cos x\), \(\lambda \in \mathbb{R}\).
2. Cherchons les solutions sous la forme \(y(x) = \lambda(x)\cos x\), avec \(\lambda\) dérivable sur \(I\). Alors \(y^{\prime}(x) = \lambda^{\prime}(x)\cos x – \lambda(x)\sin x\), et
   \[y^{\prime} + \tan(x)\,y = \lambda^{\prime}(x)\cos x – \lambda(x)\sin x + \lambda(x)\sin x = \lambda^{\prime}(x)\cos x.\]
   Ainsi \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(\lambda^{\prime}(x)\cos x = \cos^2 x\), c’est-à-dire \(\lambda^{\prime}(x) = \cos x\), soit \(\lambda(x) = \sin x + C\) avec \(C \in \mathbb{R}\).
   
   Les solutions de \((E)\) sur \(I\) sont les fonctions \(x \mapsto \sin x\cos x + C\cos x\), \(C \in \mathbb{R}\).
   
   Vérification pour \(C = 0\) : \(y^{\prime} = \cos^2 x – \sin^2 x\) et \(\tan(x)\,y = \sin^2 x\), dont la somme vaut bien \(\cos^2 x\).
3. La condition \(y(0) = 2\) donne \(0 + C = 2\), donc \(C = 2\). L’unicité découle du théorème de Cauchy, puisque les coefficients sont continus sur \(I\) et que l’équation est résolue en \(y^{\prime}\) (on la voit aussi directement : \(C\) est imposée). La solution est \(x \mapsto (\sin x + 2)\cos x\).
4. Pour le second membre \(\cos x\), la variation de la constante donne \(\lambda^{\prime}(x)\cos x = \cos x\), donc \(\lambda(x) = x\) convient : \(x \mapsto x\cos x\) est une solution particulière. Par le principe de superposition, \(x \mapsto \sin x\cos x + x\cos x\) est solution de l’équation complète, et l’on ajoute les solutions homogènes. Les solutions sont les \(x \mapsto (\sin x + x + C)\cos x\), \(C \in \mathbb{R}\).

Barème : a) 1 point : 0,5 pour la primitive de \(\tan\) avec \(\cos x > 0\), 0,5 pour les solutions ; b) 2 points : 0,5 pour la forme cherchée, 0,5 pour la simplification, 0,5 pour \(\lambda\), 0,5 pour l’ensemble des solutions ; c) 1 point : 0,5 pour \(C = 2\), 0,5 pour l’unicité ; d) 1 point : 0,5 pour la solution particulière \(x\cos x\), 0,5 pour la superposition.

Exercice 3 : Recollement en un point singulier (4 points)

1. Sur \(J = ]0,+\infty[\) ou \(J = ]-\infty,0[\), le coefficient \(x\) ne s’annule pas, et \((F)\) équivaut à \(y^{\prime} – \dfrac{2}{x}y = x^2\). Une primitive de \(-\dfrac{2}{x}\) est \(-2\ln|x|\), donc les solutions homogènes sont les \(x \mapsto \lambda e^{2\ln|x|} = \lambda x^2\).
   
   Posons \(y = \lambda(x)x^2\) : l’équation devient \(\lambda^{\prime}(x)x^2 = x^2\), soit \(\lambda^{\prime} = 1\) et \(\lambda(x) = x + C\).
   
   Sur \(]0,+\infty[\), les solutions sont les \(x \mapsto x^3 + Cx^2\) ; sur \(]-\infty,0[\), ce sont les \(x \mapsto x^3 + Dx^2\), avec \(C, D\) réels.
2. Analyse. Soit \(y\) une solution sur \(\mathbb{R}\). Ses restrictions sont solutions sur chaque demi-droite : il existe \(C\) et \(D\) tels que \(y(x) = x^3 + Cx^2\) pour \(x > 0\) et \(y(x) = x^3 + Dx^2\) pour \(x < 0\). En \(x = 0\), l’équation donne \(0 \times y^{\prime}(0) – 2y(0) = 0\), donc \(y(0) = 0\).
   
   Synthèse. Soit \(C\) et \(D\) réels et \(y\) définie par \(y(x) = x^3 + Cx^2\) si \(x \geq\, 0\), et \(y(x) = x^3 + Dx^2\) si \(x < 0\). Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}^{*}\) et vérifie \((F)\) sur \(\mathbb{R}^{*}\). En \(0\), le taux d’accroissement vaut
   \[\dfrac{y(x) – y(0)}{x} = x^2 + Cx \ \text{ si } x > 0, \qquad x^2 + Dx \ \text{ si } x < 0,\]
   et tend vers \(0\) des deux côtés. Donc \(y\) est dérivable en \(0\), avec \(y^{\prime}(0) = 0\), et \(0 \times 0 – 2 \times 0 = 0^3\) : l’équation est vérifiée en \(0\).
   
   Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont les fonctions égales à \(x^3 + Cx^2\) sur \(\mathbb{R}_+\) et à \(x^3 + Dx^2\) sur \(\mathbb{R}_-\), avec \((C,D) \in \mathbb{R}^2\) quelconque.

   

3. Toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) vérifient \(y(0) = 0\) : il y en a une infinité (une par couple \((C,D)\)), et aucune ne vérifie \(y(0) = 1\).
   
   Le théorème de Cauchy s’applique à une équation \(y^{\prime} + a(x)y = b(x)\) avec \(a\) et \(b\) continues sur un intervalle. Pour mettre \((F)\) sous cette forme, il faut diviser par \(x\), ce qui est impossible sur un intervalle contenant \(0\). Le théorème ne s’applique donc pas sur \(\mathbb{R}\), et il n’y a aucune contradiction.

Erreur fréquente : imposer \(C = D\) par « continuité ». Les deux morceaux se raccordent pour toutes les valeurs de \(C\) et \(D\), avec la même dérivée nulle en \(0\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour les solutions homogènes, 0,5 pour la variation de la constante, 0,5 pour les deux intervalles ; b) 1,5 point : 0,5 pour \(y(0) = 0\), 0,5 pour la dérivabilité en \(0\), 0,5 pour la description complète ; c) 1 point : 0,5 pour les nombres de solutions, 0,5 pour l’explication.

Exercice 4 : Second ordre à coefficients constants (5 points)

1. L’équation caractéristique est \(r^2 – 3r + 2 = 0\), soit \((r-1)(r-2) = 0\). Ses racines sont réelles et distinctes : \(1\) et \(2\). Les solutions homogènes sont les \(x \mapsto \lambda e^x + \mu e^{2x}\), \((\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2\).
2. Cherchons \(y_p(x) = \alpha x + \beta\). Alors \(y_p^{\prime\prime} – 3y_p^{\prime} + 2y_p = -3\alpha + 2\alpha x + 2\beta\). Par identification avec \(2x + 1\), on a \(2\alpha = 2\) et \(2\beta – 3\alpha = 1\), donc \(\alpha = 1\) et \(\beta = 2\). Les solutions sont les \(x \mapsto x + 2 + \lambda e^x + \mu e^{2x}\).
3. Le réel \(1\) est racine simple de l’équation caractéristique : les fonctions \(x \mapsto \alpha e^x\) sont solutions homogènes, donc elles ne peuvent pas fournir le second membre \(e^x\). C’est le cas résonant, où l’on cherche \(y_p(x) = \alpha x e^x\).
   
   On calcule \(y_p^{\prime}(x) = \alpha(x+1)e^x\) et \(y_p^{\prime\prime}(x) = \alpha(x+2)e^x\). Donc
   \[y_p^{\prime\prime} – 3y_p^{\prime} + 2y_p = \alpha e^x[(x+2) – 3(x+1) + 2x] = -\alpha e^x.\]
   Il faut donc \(-\alpha = 1\). Ainsi \(\alpha = -1\), et \(x \mapsto -x e^x\) est une solution particulière.
4. Le nombre \(i\) n’est pas racine de l’équation caractéristique. On cherche donc une solution de \(y^{\prime\prime} – 3y^{\prime} + 2y = 10e^{ix}\) sous la forme \(z(x) = Ae^{ix}\), avec \(A \in \mathbb{C}\). On obtient \(A(i^2 – 3i + 2) = A(1 – 3i) = 10\), donc
   \[A = \dfrac{10}{1 – 3i} = \dfrac{10(1 + 3i)}{10} = 1 + 3i.\]
   Les coefficients de l’équation étant réels, la partie réelle de \(z\) est solution avec le second membre \(\operatorname{Re}(10e^{ix}) = 10\cos x\). Or \(\operatorname{Re}((1+3i)(\cos x + i\sin x)) = \cos x – 3\sin x\).
   
   Une solution particulière est \(x \mapsto \cos x – 3\sin x\). Vérification : \(y^{\prime\prime} = -\cos x + 3\sin x\) et \(-3y^{\prime} = 3\sin x + 9\cos x\), tandis que \(2y = 2\cos x – 6\sin x\). La somme vaut bien \(10\cos x\).

Barème : a) 1 point ; b) 1 point : 0,5 pour la solution particulière, 0,5 pour la solution générale ; c) 1,5 point : 0,5 pour la justification de la forme, 0,5 pour les dérivées, 0,5 pour \(\alpha\) ; d) 1,5 point : 0,5 pour \(A\), 0,5 pour le passage à la partie réelle justifié, 0,5 pour la solution réelle.

Exercice 5 : Décharge d’un circuit RLC (3 points)

1. L’équation caractéristique \(r^2 + 2r + 5 = 0\) a pour discriminant \(-16\), donc pour racines \(-1 \pm 2i\). Les solutions réelles sont les \(t \mapsto e^{-t}(A\cos 2t + B\sin 2t)\). Ensuite, \(q(0) = A = 1\). De plus, \(q^{\prime}(t) = e^{-t}[(2B – A)\cos 2t – (2A + B)\sin 2t]\), donc \(q^{\prime}(0) = 2B – A = 0\) et \(B = \dfrac{1}{2}\). Par unicité de la solution du problème de Cauchy, \(q(t) = e^{-t}(\cos 2t + \dfrac{1}{2}\sin 2t)\).
2. Les racines sont complexes non réelles, de partie réelle négative : le régime est pseudo-périodique, de pseudo-période \(\dfrac{2\pi}{2} = \pi\).
3. Posons \(R = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\). Il existe un réel \(\varphi\) tel que \(\cos\varphi = \dfrac{1}{R}\) et \(\sin\varphi = \dfrac{1}{2R}\), et alors \(\cos 2t + \dfrac{1}{2}\sin 2t = R\cos(2t – \varphi)\). Ainsi \(|q(t)| = R\,e^{-t}|\cos(2t – \varphi)|\), donc \(|q(t)| \leq\, \dfrac{\sqrt{5}}{2}e^{-t}\). Comme \(e^{-t} \to 0\), le théorème d’encadrement donne \(\lim_{t \to +\infty} q(t) = 0\) : le condensateur se décharge en oscillant.

   

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour les racines, 0,5 pour la forme générale, 0,5 pour les constantes ; b) 0,5 point ; c) 1 point : 0,5 pour la majoration, 0,5 pour la limite.

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