Voici le corrigé du contrôle de maths de 2de sur le thème : Pythagore, trigonométrie et projeté orthogonal.
Dans cette correction, chaque calcul commence par nommer le triangle rectangle utilisé et son hypoténuse. C’est en effet ce qui permet de choisir entre Pythagore, le sinus, le cosinus ou la tangente. Les propriétés sont citées en entier, comme on l’attend sur une copie.
Observe la gestion des arrondis : on garde la valeur de la calculatrice pour les calculs suivants. On n’arrondit donc qu’à la fin. La démonstration sur le projeté orthogonal montre pourquoi la distance d’un point à une droite se mesure toujours perpendiculairement.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 2de : pythagore, trigonométrie et projeté orthogonal.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Triangle rectangle ou non | 3 points |
| Exercice 2 : Une rampe d’accès | 4 points |
| Exercice 3 : Projeté orthogonal et distance à une droite | 5 points |
| Exercice 4 : La hauteur d’un arbre | 4 points |
| Exercice 5 : À quelle distance est le bateau ? | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Triangle rectangle ou non (3 points)
- Le plus grand côté est \([RS]\).
D’une part, \(RS^2 = 8{,}5^2 = 72{,}25\).
D’autre part, \(ST^2 + RT^2 = 7{,}5^2 + 4^2 = 56{,}25 + 16 = 72{,}25\).
On a donc \(RS^2 = ST^2 + RT^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(RST\) est rectangle en \(T\). C’est en effet le sommet opposé au plus grand côté. - Le plus grand côté est \([KM]\).
D’une part, \(KM^2 = 11^2 = 121\).
D’autre part, \(KL^2 + LM^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117\).
On a donc \(KM^2 \neq KL^2 + LM^2\). Or, si le triangle était rectangle, il le serait en \(L\) et l’égalité de Pythagore serait vraie. Par conséquent, le triangle \(KLM\) n’est pas rectangle.
Erreur fréquente : ne pas comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. Autre piège : utiliser le théorème de Pythagore (et non sa réciproque) pour prouver qu’un triangle est rectangle.
Barème : pour chaque triangle, 0,5 point pour le choix du plus grand côté et les calculs, 0,5 point pour la comparaison, 0,5 point pour la conclusion avec la propriété citée.
Exercice 2 : Une rampe d’accès (4 points)
- Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), d’hypoténuse \([AB]\). D’après le théorème de Pythagore :
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\), donc \(AC^2 = 4{,}8^2 – 0{,}4^2 = 23{,}04 – 0{,}16 = 22{,}88\).
Ainsi, \(AC = \sqrt{22{,}88} \approx 4{,}783\).
\(AC \approx 4{,}78\) m. - Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(C\), \(\sin \widehat{BAC} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{0{,}4}{4{,}8} = \dfrac{1}{12}\).
À la calculatrice, \(\widehat{BAC} \approx 4{,}78^\circ\). \(\widehat{BAC} \approx 4{,}8^\circ\). - \(\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{0{,}4}{\sqrt{22{,}88}} \approx 0{,}0836\), soit environ \(8{,}4\,\%\).
Comme \(8{,}4\,\% > 5\,\%\), la rampe ne respecte donc pas la règle : elle est trop raide. - On veut \(\dfrac{0{,}4}{AC} = 0{,}05\), donc \(AC = \dfrac{0{,}4}{0{,}05} = 8\) m.
Longueur de la rampe, par Pythagore : \(AB^2 = 8^2 + 0{,}4^2 = 64{,}16\). Ainsi, \(AB = \sqrt{64{,}16} \approx 8{,}010\).
Il faut prévoir 8 m de distance horizontale, et la rampe mesurera alors environ \(8{,}01\) m.
Barème : a) 0,5 point pour Pythagore correctement écrit, 0,5 point pour la valeur arrondie ; b) 0,5 point pour le choix du sinus, 0,5 point pour la valeur ; c) 0,5 point pour la pente calculée, 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour 8 m, 0,5 point pour la longueur de la rampe.
Exercice 3 : Projeté orthogonal et distance à une droite (5 points)
- \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite \((BC)\). C’est aussi le pied de la hauteur issue de \(A\). La longueur \(AH\) est donc la distance du point \(A\) à la droite \((BC)\).
- Le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\), d’hypoténuse \([AB]\). D’après le théorème de Pythagore :
\(AH^2 = AB^2 – BH^2 = 25 – 16 = 9\), donc \(AH = 3\).
\(AH = 3\) cm. - Le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\), et \(\widehat{ACH} = 35^\circ\).
D’abord, \(\tan \widehat{ACH} = \dfrac{AH}{HC}\), donc \(HC = \dfrac{3}{\tan 35^\circ} \approx 4{,}284\). \(HC \approx 4{,}3\) cm.
Ensuite, \(\sin \widehat{ACH} = \dfrac{AH}{AC}\), donc \(AC = \dfrac{3}{\sin 35^\circ} \approx 5{,}230\). \(AC \approx 5{,}2\) cm. - \(H\) est sur le segment \([BC]\), donc \(BC = BH + HC \approx 4 + 4{,}284 = 8{,}284\) cm. De plus, \([AH]\) est la hauteur relative à \([BC]\).
\(\mathcal{A} = \dfrac{BC \times AH}{2} \approx \dfrac{8{,}284 \times 3}{2} \approx 12{,}43\).
L’aire du triangle \(ABC\) est d’environ \(12{,}4\text{ cm}^2\). - \(M\) est sur \((BC)\) et \(M \neq H\) : le triangle \(AHM\) est donc rectangle en \(H\), d’hypoténuse \([AM]\). D’après le théorème de Pythagore, \(AM^2 = AH^2 + HM^2\). Comme \(M \neq H\), \(HM > 0\), donc \(AM^2 > AH^2\). Or ce sont des longueurs positives, donc \(AM > AH\). Le projeté orthogonal \(H\) est ainsi le point de \((BC)\) le plus proche de \(A\).
Erreur fréquente : calculer l’aire avec une valeur de \(HC\) déjà arrondie au millimètre. On obtient alors \(\frac{8{,}3 \times 3}{2} = 12{,}45\), qui s’arrondit à \(12{,}5\). Il faut donc garder la valeur exacte de la calculatrice jusqu’au bout.
Barème : a) 0,5 point pour « projeté orthogonal », 0,5 point pour « distance de \(A\) à \((BC)\) » ; b) 1 point ; c) 0,75 point pour \(HC\), 0,75 point pour \(AC\) (formule trigonométrique adaptée et arrondi) ; d) 0,75 point ; e) 0,75 point pour le raisonnement complet.
Exercice 4 : La hauteur d’un arbre (4 points)
- Le bâton et l’arbre sont verticaux. Les droites \((CD)\) et \((AB)\) sont donc toutes deux perpendiculaires à la droite \((SB)\) du sol. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles : \((CD)\) et \((AB)\) sont parallèles.
- Dans le triangle \(SAB\), \(D \in [SB]\), \(C \in [SA]\) et les droites \((CD)\) et \((AB)\) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\(\dfrac{SD}{SB} = \dfrac{SC}{SA} = \dfrac{CD}{AB}\), donc \(\dfrac{2}{12} = \dfrac{1{,}5}{AB}\).
Ainsi, \(AB = \dfrac{12 \times 1{,}5}{2} = 9\).
L’arbre mesure 9 m de haut. - Le triangle \(SDC\) est rectangle en \(D\) : \(\tan \widehat{CSD} = \dfrac{CD}{SD} = \dfrac{1{,}5}{2} = 0{,}75\).
À la calculatrice, \(\widehat{CSD} \approx 36{,}87^\circ\). Les rayons du soleil font donc un angle d’environ \(36{,}9^\circ\) avec le sol. - Le triangle \(SBA\) est rectangle en \(B\). D’après le théorème de Pythagore :
\(SA^2 = SB^2 + AB^2 = 144 + 81 = 225\), donc \(SA = 15\).
\(SA = 15\) m.
Barème : a) 0,5 point pour la perpendicularité au sol, 0,5 point pour la propriété citée ; b) 0,5 point pour les hypothèses de Thalès, 0,5 point pour l’égalité des rapports, 0,5 point pour 9 m ; c) 0,5 point pour la tangente, 0,5 point pour l’angle arrondi ; d) 0,5 point.
Exercice 5 : À quelle distance est le bateau ? (4 points)
- Le triangle \(BPH\) est rectangle en \(H\) : \(\tan \widehat{BPH} = \dfrac{BH}{PH}\), donc \(PH = \dfrac{h}{\tan 40^\circ}\).
De même, le triangle \(BQH\) est rectangle en \(H\) : \(\tan \widehat{BQH} = \dfrac{BH}{QH}\), donc \(QH = \dfrac{h}{\tan 65^\circ}\). - Les points \(P\), \(Q\), \(H\) sont alignés dans cet ordre, donc \(PH = PQ + QH\). Ainsi, \(PH – QH = 3\).
\(\dfrac{h}{\tan 40^\circ} – \dfrac{h}{\tan 65^\circ} = 3\)
\(h \times (\dfrac{1}{\tan 40^\circ} – \dfrac{1}{\tan 65^\circ}) = 3\)
\(h = \dfrac{3}{\dfrac{1}{\tan 40^\circ} – \dfrac{1}{\tan 65^\circ}}\).
À la calculatrice : \(\dfrac{1}{\tan 40^\circ} \approx 1{,}1918\) et \(\dfrac{1}{\tan 65^\circ} \approx 0{,}4663\). Donc \(h \approx \dfrac{3}{0{,}7254} \approx 4{,}135\).
\(h \approx 4{,}135\) km, soit environ 4 135 m. - \(H\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur la côte. C’est donc le point de la côte le plus proche du bateau : \(BH = h\) est la distance du bateau à la côte.
Dans le triangle \(BPH\) rectangle en \(H\) : \(\sin \widehat{BPH} = \dfrac{BH}{BP}\). Ainsi, \(BP = \dfrac{h}{\sin 40^\circ} \approx \dfrac{4{,}1354}{0{,}6428} \approx 6{,}434\).
Le bateau est à environ 6 434 m du point \(P\).
Erreur fréquente : écrire \(PH + QH = 3\). Il faut regarder la figure : \(Q\) est entre \(P\) et \(H\). C’est donc la différence \(PH – QH\) qui vaut \(PQ\).
Barème : a) 0,75 point par expression, avec le triangle rectangle cité ; b) 1 point pour la mise en facteur et l’expression de \(h\), 0,5 point pour la valeur arrondie au mètre ; c) 0,5 point pour la justification par le projeté orthogonal, 0,5 point pour \(BP\).
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