Corrigé du contrôle de maths 4ème : cosinus d’un angle dans un triangle rectangle

Exercice 1 : Côté adjacent et hypoténuse (3 points)

1. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. L’hypoténuse est \([KM]\).
2. Le côté adjacent à \(\widehat{LKM}\) est le côté de l’angle qui n’est pas l’hypoténuse. C’est \([KL]\).
3. Le côté adjacent à \(\widehat{LMK}\) est \([ML]\).
4. Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent par l’hypoténuse.
   \(\cos \widehat{LKM} = \dfrac{KL}{KM}\) et \(\cos \widehat{LMK} = \dfrac{ML}{KM}\).

Erreur fréquente : prendre \([LM]\) comme côté adjacent à l’angle en \(K\). Le côté adjacent touche le sommet de l’angle : pour l’angle en \(K\), c’est \([KL]\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point ; d) 1,5 point : 0,75 point par quotient correct.

Exercice 2 : Calculer un angle (4 points)

1. Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\), l’hypoténuse est \([AC]\) et le côté adjacent à l’angle \(\widehat{BAC}\) est \([AB]\).
   \(\cos \widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\)
   \(\cos \widehat{BAC} = 0{,}6\).
2. À la calculatrice, avec la touche \(\cos^{-1}\) (ou Arccos) en mode degrés : \(\widehat{BAC} \approx 53{,}13^\circ\).
   \(\widehat{BAC} \approx 53^\circ\) (arrondi au degré).
3. La somme des angles d’un triangle est égale à \(180^\circ\), et \(\widehat{ABC} = 90^\circ\).
   \(\widehat{ACB} = 180^\circ – 90^\circ – \widehat{BAC} \approx 180 – 90 – 53{,}13 = 36{,}87\)
   \(\widehat{ACB} \approx 37^\circ\) (arrondi au degré).

Erreur fréquente : calculatrice réglée en radians ou en grades. Vérifie que « D » ou « DEG » s’affiche : sinon, \(\cos^{-1}(0{,}6)\) donne \(0{,}927\), ce qui n’est pas un angle en degrés.

Barème : a) 1 point : 0,5 pour la formule, 0,5 pour la valeur ; b) 1,5 point : 1 pour l’utilisation de \(\cos^{-1}\), 0,5 pour l’arrondi ; c) 1,5 point : 0,5 pour la propriété, 1 pour le résultat.

Exercice 3 : Calculer une longueur (4 points)

1. Dans le triangle \(DEF\) rectangle en \(E\), l’hypoténuse est \([DF]\) et le côté adjacent à \(\widehat{EDF}\) est \([DE]\).
   \(\cos \widehat{EDF} = \dfrac{DE}{DF}\), soit \(\cos 35^\circ = \dfrac{DE}{8}\).
   \(DE = 8 \times \cos 35^\circ \approx 6{,}553\)
   \(DE \approx 6{,}6\text{ cm}\) (arrondi au millimètre).
2. Dans le triangle \(GHI\) rectangle en \(H\), l’hypoténuse est \([GI]\) et le côté adjacent à \(\widehat{HGI}\) est \([GH]\).
   \(\cos \widehat{HGI} = \dfrac{GH}{GI}\), soit \(\cos 50^\circ = \dfrac{4{,}5}{GI}\).
   \(GI = \dfrac{4{,}5}{\cos 50^\circ} \approx 7{,}0008\)
   \(GI \approx 7{,}0\text{ cm}\) (arrondi au millimètre).

Erreur fréquente : à la question b), multiplier \(4{,}5\) par \(\cos 50^\circ\) au lieu de diviser. L’hypoténuse est toujours le plus long côté : trouver \(GI \approx 2{,}9\text{ cm}\), plus court que \(GH\), est impossible.

Barème : a) 2 points : 0,5 pour le côté adjacent et l’hypoténuse, 0,5 pour l’égalité du cosinus, 0,5 pour le calcul, 0,5 pour l’arrondi avec l’unité ; b) 2 points, même répartition.

Exercice 4 : Le toboggan (4 points)

1. Le triangle \(SHB\) est rectangle en \(H\). D’après le théorème de Pythagore :
   \(SB^2 = SH^2 + HB^2 = 2{,}4^2 + 3{,}2^2 = 5{,}76 + 10{,}24 = 16\)
   \(SB = \sqrt{16} = 4\)
   La glissière mesure 4 m.
2. Dans le triangle \(SHB\) rectangle en \(H\), le côté adjacent à \(\widehat{SBH}\) est \([HB]\) et l’hypoténuse est \([SB]\).
   \(\cos \widehat{SBH} = \dfrac{HB}{SB} = \dfrac{3{,}2}{4} = 0{,}8\)
   \(\widehat{SBH} \approx 36{,}87^\circ\)
   L’angle entre la glissière et le sol mesure environ \(37^\circ\).
3. \(37^\circ\) est inférieur à \(40^\circ\) (et même \(36{,}87^\circ < 40^\circ\)).
   Oui, ce toboggan respecte la règle de sécurité.

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour le triangle rectangle cité, 0,5 pour l’égalité, 0,5 pour le résultat ; b) 1,5 point : 0,5 pour le quotient, 0,5 pour le calcul de l’angle, 0,5 pour l’arrondi ; c) 1 point : 0,5 pour la comparaison, 0,5 pour la conclusion.

Exercice 5 : La rampe du camion (5 points)

1. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), d’hypoténuse \([AC]\). D’après le théorème de Pythagore :
   \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), donc \(AB^2 = AC^2 – BC^2 = 3{,}7^2 – 1{,}2^2 = 13{,}69 – 1{,}44 = 12{,}25\)
   \(AB = \sqrt{12{,}25} = 3{,}5\)
   Le pied de la rampe est à \(3{,}5\text{ m}\) du camion.
2. Le côté adjacent à \(\widehat{BAC}\) est \([AB]\) et l’hypoténuse est \([AC]\).
   \(\cos \widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3{,}5}{3{,}7}\)
   \(\widehat{BAC} \approx 18{,}92^\circ\)
   La rampe forme avec le sol un angle d’environ \(19^\circ\).
3. \(18{,}92^\circ < 20^\circ\). Oui, Clara peut utiliser cette rampe.
4. Avec la rampe de 3 m, le triangle rectangle a pour hypoténuse \(3\text{ m}\) et la hauteur reste \(1{,}2\text{ m}\).
   \(AB^2 = 3^2 – 1{,}2^2 = 9 – 1{,}44 = 7{,}56\), donc \(AB = \sqrt{7{,}56} \approx 2{,}75\text{ m}\).
   \(\cos \widehat{BAC} = \dfrac{\sqrt{7{,}56}}{3} \approx 0{,}9165\), donc \(\widehat{BAC} \approx 23{,}58^\circ\).
   (Avec la valeur arrondie \(2{,}75\), on trouve \(23{,}56^\circ\) : l’arrondi au degré est le même.)
   \(24^\circ > 20^\circ\).
   Non : avec la rampe de 3 m, l’angle est d’environ \(24^\circ\), ce qui dépasse la limite du fabricant.

Erreur fréquente : additionner les carrés à la question a). Ici, on cherche un côté de l’angle droit, pas l’hypoténuse : on soustrait \(BC^2\) à \(AC^2\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour l’égalité de Pythagore, 0,5 pour la soustraction, 0,5 pour le résultat ; b) 1,5 point : 0,5 pour le quotient, 0,5 pour le calcul, 0,5 pour l’arrondi ; c) 0,5 point ; d) 1,5 point : 0,5 pour la nouvelle longueur au sol, 0,5 pour l’angle, 0,5 pour la conclusion.

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