Corrigé du contrôle de maths 4ème : probabilités et événements contraires

Exercice 1 : Le vocabulaire des probabilités (3 points)

1. On connaît tous les résultats possibles, mais on ne peut pas prévoir lequel va sortir.
   C’est une expérience aléatoire.
2. Les issues sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
3. Les issues qui réalisent \(A\) sont 2, 4 et 6. Le dé est équilibré, donc les 6 issues sont équiprobables.
   \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
   La probabilité d’obtenir un nombre pair est \(\frac{1}{2}\).
4. L’événement \(B\) est réalisé par les issues 5 et 6, donc \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
   L’événement contraire de \(B\) est « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » (issues 1, 2, 3 et 4).
   \(P(\text{non } B) = 1 – P(B) = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
   La probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 est \(\frac{2}{3}\).

Erreur fréquente : écrire que le contraire de « supérieur ou égal à 5 » est « inférieur à 5 ou égal à 5 ». Le 5 appartient à \(B\), il ne peut pas appartenir aussi à son contraire.

Barème : a) 0,5 point avec la justification ; b) 0,5 point ; c) 1 point : 0,5 pour les issues, 0,5 pour la probabilité ; d) 1 point : 0,5 pour la description du contraire, 0,5 pour la probabilité.

Exercice 2 : Une urne de boules (4 points)

1. Les boules sont indiscernables au toucher : chaque boule a la même chance d’être tirée. Il y a 5 boules rouges sur 12.
   \(P(\text{rouge}) = \frac{5}{12}\).
2. Il y a 4 boules vertes sur 12, donc \(P(\text{verte}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\).
   « Ne pas tirer une boule verte » est l’événement contraire de « tirer une boule verte ».
   \(P(\text{non verte}) = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
   La probabilité de ne pas tirer une boule verte est \(\frac{2}{3}\).
3. Il y a \(5 + 3 = 8\) boules rouges ou bleues : \(P(\text{rouge ou bleue}) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).
   On trouve la même probabilité qu’à la question b), car une boule qui n’est pas verte est forcément rouge ou bleue : c’est le même événement.
4. Pour que la probabilité soit \(\frac{1}{2}\), il faut autant de boules vertes que de boules d’une autre couleur. Il y a 8 boules rouges ou bleues, il faut donc 8 boules vertes.
   \(8 – 4 = 4\). Vérification : \(\frac{8}{16} = \frac{1}{2}\).
   Il faut ajouter 4 boules vertes.

Barème : a) 1 point ; b) 1 point : 0,5 pour \(P(\text{verte})\), 0,5 pour le calcul par l’événement contraire ; c) 1 point : 0,5 pour la probabilité, 0,5 pour l’explication ; d) 1 point : 0,5 pour la démarche, 0,5 pour la réponse vérifiée.

Exercice 3 : La roue de la kermesse (4 points)

1. Les secteurs n’ont pas le même angle (\(180^\circ\), \(90^\circ\), \(60^\circ\), \(30^\circ\)), donc ils n’ont pas la même chance d’être désignés.
   Les issues ne sont pas équiprobables.
2. La probabilité d’un secteur est proportionnelle à son angle : on divise son angle par \(360^\circ\).
   Probabilité de gagner 1 € : \(\frac{90}{360} = \frac{1}{4}\)
   La probabilité de gagner 1 € est \(\frac{1}{4}\).
3. Probabilité de gagner 5 € : \(\frac{30}{360} = \frac{1}{12}\)
   La probabilité de gagner 5 € est \(\frac{1}{12}\).
4. « Gagner de l’argent » est l’événement contraire de « Perdu ».
   \(P(\text{Perdu}) = \frac{180}{360} = \frac{1}{2}\), donc \(P(\text{gagner}) = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
   La probabilité de gagner de l’argent est \(\frac{1}{2}\).
5. Gagner au moins 2 €, c’est gagner 2 € ou 5 € : \(\frac{60 + 30}{360} = \frac{90}{360} = \frac{1}{4}\).
   La probabilité de gagner au moins 2 € est \(\frac{1}{4}\).

Erreur fréquente : répondre \(\frac{1}{4}\) pour chaque secteur parce qu’il y a quatre secteurs. Cela n’est vrai que si les secteurs sont de même taille.

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point : 0,5 pour la méthode (angle divisé par \(360^\circ\)), 0,5 pour le résultat ; c) 1 point, même répartition ; d) 1 point : 0,5 pour l’événement contraire, 0,5 pour le résultat ; e) 0,5 point.

Exercice 4 : Un dé truqué (4 points)

1. La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.
   \(0{,}1 + 0{,}15 + 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}25 = 0{,}8\)
   \(1 – 0{,}8 = 0{,}2\)
   La probabilité d’obtenir la face 5 est \(0{,}2\).
2. Les faces paires sont 2, 4 et 6 : \(0{,}15 + 0{,}1 + 0{,}25 = 0{,}5\).
   La probabilité d’obtenir un nombre pair est \(0{,}5\).
3. « Ne pas obtenir 6 » est l’événement contraire de « obtenir 6 » : \(1 – 0{,}25 = 0{,}75\).
   La probabilité de ne pas obtenir la face 6 est \(0{,}75\).
4. Pour un dé équilibré, chaque face aurait la probabilité \(\frac{1}{6} \approx 0{,}17\). Ici, les probabilités sont différentes selon les faces (par exemple \(0{,}1\) pour la face 1 et \(0{,}25\) pour la face 6).
   Les faces ne sont pas équiprobables, donc le dé n’est pas équilibré.

Barème : a) 1 point : 0,5 pour la propriété « somme égale à 1 », 0,5 pour le résultat ; b) 1 point : 0,5 pour les faces paires, 0,5 pour le résultat ; c) 1 point ; d) 1 point : 0,5 pour \(\frac{1}{6}\), 0,5 pour la comparaison.

Exercice 5 : Le sac de jetons (5 points)

1. Chaque jeton a la même chance d’être tiré, donc la probabilité de tirer un jeton rouge est égale à la proportion de jetons rouges dans le sac.
   Jetons rouges : \(0{,}3 \times 40 = 12\).
   Jetons bleus : \(\frac{1}{4} \times 40 = 10\).
   Il y a 12 jetons rouges et 10 jetons bleus.
2. Un jeton qui n’est ni rouge ni bleu est blanc, et \(\frac{1}{4} = 0{,}25\).
   \(P(\text{blanc}) = 1 – 0{,}3 – 0{,}25 = 0{,}45\)
   Nombre de jetons blancs : \(0{,}45 \times 40 = 18\). Vérification : \(12 + 10 + 18 = 40\).
   La probabilité de tirer un jeton blanc est \(0{,}45\) et le sac contient 18 jetons blancs.
3. « Ne pas tirer un jeton blanc » est l’événement contraire de « tirer un jeton blanc ».
   \(P(\text{non blanc}) = 1 – 0{,}45 = 0{,}55\) et \(0{,}55 > 0{,}45\).
   Nathan a raison : la probabilité de ne pas tirer un jeton blanc (\(0{,}55\)) est plus grande que celle d’en tirer un (\(0{,}45\)).

Erreur fréquente : additionner \(0{,}3\) et \(\frac{1}{4}\) sans les écrire sous la même forme. On convertit d’abord \(\frac{1}{4}\) en \(0{,}25\).

Barème : a) 2 points : 1 point par nombre de jetons avec son calcul ; b) 1,5 point : 1 pour la probabilité, 0,5 pour le nombre de jetons ; c) 1,5 point : 0,5 pour l’événement contraire, 0,5 pour la comparaison, 0,5 pour la conclusion.

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Après le corrigé du contrôle : probabilités et événements contraires

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