Contrôle de maths 4ème : translations dans les frises et les pavages

Exercice 1 : Reconnaître une transformation (4 points)

Calculatrice interdite.

Sur le quadrillage ci-dessous, les figures F2 à F6 ont toutes la même forme et les mêmes dimensions que la figure F1.

1. Pour chacune des figures F2, F3, F4 et F5, indique si elle est l’image de F1 par une translation, par une symétrie axiale ou par une symétrie centrale. (2 points)
2. Décris la translation qui transforme F1 en F2, en nombre de carreaux vers la droite et vers le haut. (1 point)
3. La figure F6 est-elle l’image de F1 par une translation ? par une symétrie axiale ? par une symétrie centrale ? Justifie brièvement. (1 point)

Exercice 2 : Une frise de triangles (4 points)

Pour décorer le bas d’un mur, Chloé a peint la frise ci-dessous. Le point \(A\) est un sommet du motif 1 et la droite \((d)\) est tracée en pointillés.

1. Décris la translation qui transforme le motif 1 en le motif 2. (1 point)
2. Décris la translation qui transforme le motif 1 en le motif 4. (1 point)
3. On applique au point \(A\) la translation qui transforme le motif 2 en le motif 5. Son image est un sommet de quel motif ? Explique. (1 point)
4. Maëlle affirme : « La frise est aussi conservée par la symétrie d’axe \((d)\). » A-t-elle raison ? Justifie. (1 point)

Exercice 3 : Un pavage de triangles (4 points)

Le carrelage d’une salle de bains est formé de rectangles de 2 carreaux sur 1 carreau, coupés chacun par une diagonale en deux triangles, un clair et un foncé. Le point \(O\) est le milieu de la diagonale du rectangle en bas à gauche.

1. Quelle transformation transforme la pièce T1 en la pièce T2 ? Décris-la. (1 point)
2. Quelle transformation transforme la pièce T1 en la pièce T4 ? Décris-la. (1 point)
3. Explique pourquoi la pièce T3 n’est pas l’image de T1 par une translation, puis donne une transformation qui transforme T1 en T3. (1 point)
4. Hugo affirme : « On obtient tout le carrelage en déplaçant seulement la pièce T1 par des translations. » A-t-il raison ? Propose un motif de base qui, reproduit uniquement par des translations, permet d’obtenir tout le carrelage. (1 point)

Exercice 4 : Translation et parallélogramme (4 points)

Sur le quadrillage ci-dessous, on a placé trois points \(A\), \(B\) et \(C\). La flèche indique la translation qui transforme \(A\) en \(B\).

1. Décris cette translation en nombre de carreaux vers la droite et vers le haut. (0,5 point)
2. Reproduis la figure sur ton quadrillage, puis construis le point \(D\), image du point \(C\) par la translation qui transforme \(A\) en \(B\). (1 point)
3. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABDC\) ? Justifie ta réponse. (1,5 point)
4. On note \(E\) l’image du point \(B\) par la même translation. Place \(E\), puis explique ce que l’on peut dire des points \(A\), \(B\) et \(E\). (1 point)

Exercice 5 : Rédiger un programme de construction (4 points)

Yanis a construit le triangle \(E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}\), image du triangle \(EFG\) par la translation qui transforme \(E\) en \(E^{\prime}\). On sait que \(EF = 5\text{ cm}\), \(FG = 4\text{ cm}\), \(EG = 6\text{ cm}\) et \(EE^{\prime} = 7\text{ cm}\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Rédige un programme de construction qui permet d’obtenir le point \(F^{\prime}\) à partir du triangle \(EFG\) et du point \(E^{\prime}\), à la règle et au compas. (2 points)
2. Quelle est la nature du quadrilatère \(EE^{\prime}F^{\prime}F\) ? Justifie. (1 point)
3. Calcule le périmètre du triangle \(E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}\). Justifie. (1 point)

Réviser avant le contrôle : translations dans les frises et les pavages

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Translation et rotation » en 4ème.

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