Corrigé du contrôle de maths 4ème : mettre un problème en équation

Exercice 1 : Traduire par une équation (3 points)

1. Soit \(x\) le nombre cherché. On traduit : \(3x + 5 = 26\).
   \(3x = 21\)
   Donc \(x = 7\).
   Vérification : \(3 \times 7 + 5 = 26\). Le nombre cherché est 7.
2. Soit \(x\) le nombre cherché. On traduit : \(2x + 12 = 4x\).
   \(12 = 4x – 2x\)
   \(12 = 2x\)
   Donc \(x = 6\).
   Ensuite, on vérifie : \(2 \times 6 + 12 = 24\) et \(4 \times 6 = 24\). Le nombre cherché est 6.
3. Soit \(n\) le plus petit des trois nombres. Alors les suivants sont \(n + 1\) et \(n + 2\). On traduit : \(n + (n + 1) + (n + 2) = 63\).
   \(3n + 3 = 63\)
   \(3n = 60\)
   Ainsi \(n = 20\).
   Enfin, on vérifie : \(20 + 21 + 22 = 63\). Les trois nombres sont 20, 21 et 22.

Barème : 1 point par question : 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour la résolution et la réponse.

Exercice 2 : Un programme de calcul (4 points)

1. D’abord, \(5 – 3 = 2\) ; ensuite, \(2 \times 4 = 8\) ; enfin, \(8 + 5 = 13\). Avec 5 au départ, on obtient bien 13.
2. Avec \(x\) au départ, on obtient \(x – 3\), puis \(4(x – 3)\), puis \(4(x – 3) + x\).
   Ensuite, on développe et on réduit.
   \(4(x – 3) + x = 4x – 12 + x = 5x – 12\).
   Le résultat est \(5x – 12\).
3. On résout \(5x – 12 = 38\).
   \(5x = 50\)
   Donc \(x = 10\).
   Vérification : \(10 – 3 = 7\) ; \(7 \times 4 = 28\) ; \(28 + 10 = 38\). Il faut choisir 10 au départ.
4. On résout \(5x – 12 = -27\).
   \(5x = -27 + 12\)
   \(5x = -15\)
   Donc \(x = -3\).
   Vérification : \(-3 – 3 = -6\) ; \(-6 \times 4 = -24\) ; \(-24 + (-3) = -27\). Il faut choisir \(-3\) au départ.

Erreur fréquente : en b), oublier les parenthèses et écrire \(x – 3 \times 4 + x\). Or cette expression ne correspond pas au programme.

Barème : a) 1 point ; b) 0,5 point pour l’expression \(4(x – 3) + x\), 0,5 point pour la réduction ; c) et d) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour la solution.

Exercice 3 : L’âge d’Awa et de sa mère (4 points)

1. Dans 5 ans, Madame Diallo aura \(38 + 5 = 43\) ans. De plus, Awa aura \(10 + 5 = 15\) ans. Or \(2 \times 15 = 30\) et \(30 \neq 43\). Dans 5 ans, l’âge de la mère ne sera pas le double de celui de sa fille.
2. Dans \(x\) années, Madame Diallo aura \(38 + x\) ans et Awa aura \(10 + x\) ans. Alors on veut que l’âge de la mère soit le double de celui d’Awa : \(38 + x = 2(10 + x)\).
3. D’abord, on développe le membre de droite.
   \(38 + x = 20 + 2x\)
   \(38 – 20 = 2x – x\)
   Donc \(18 = x\).
   La solution de l’équation est 18.
4. Dans 18 ans, l’âge de Madame Diallo sera le double de celui d’Awa. En effet, Madame Diallo aura \(38 + 18 = 56\) ans. Awa aura alors \(10 + 18 = 28\) ans, et \(2 \times 28 = 56\).

Erreur fréquente : écrire \(38 + x = 2 \times 10 + x\). En effet, les années ajoutées à l’âge d’Awa doivent aussi être doublées. Il faut donc des parenthèses.

Barème : a) 0,5 point pour les âges, 0,5 point pour la comparaison ; b) 0,5 point pour les deux âges en fonction de \(x\), 0,5 point pour l’équation ; c) 0,5 point pour le développement, 1 point pour la résolution ; d) 0,5 point pour la phrase et la vérification.

Exercice 4 : Deux tarifs à la piscine (4 points)

1. D’abord, tarif A : \(10 \times 4{,}50 = 45\) €. Ensuite, tarif B : \(36 + 10 \times 2{,}50 = 36 + 25 = 61\) €. Pour 10 entrées, on paie 45 € avec le tarif A et 61 € avec le tarif B.
2. Tarif A : \(4{,}5x\) euros ; tarif B : \(36 + 2{,}5x\) euros.
3. On cherche \(x\) tel que \(4{,}5x = 36 + 2{,}5x\).
   \(4{,}5x – 2{,}5x = 36\)
   \(2x = 36\)
   Donc \(x = 18\).
   Vérification : \(4{,}5 \times 18 = 81\) et \(36 + 2{,}5 \times 18 = 36 + 45 = 81\). Pour 18 entrées, les deux tarifs coûtent 81 €.
4. Pour 25 entrées, le tarif A coûte \(4{,}5 \times 25 = 112{,}50\) €. En revanche, le tarif B coûte \(36 + 2{,}5 \times 25 = 36 + 62{,}50 = 98{,}50\) €. Lucas doit choisir le tarif B.

Barème : a) 0,5 point par tarif ; b) 0,5 point par expression ; c) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour la résolution, 0,5 point pour la réponse ; d) 0,5 point avec les deux prix calculés.

Exercice 5 : Des périmètres égaux (5 points)

1. Pour \(x = 4\), le côté du carré mesure \(4 + 3 = 7\) cm. Donc son périmètre est \(4 \times 7 = 28\) cm. Puis le rectangle mesure \(2 \times 4 = 8\) cm sur \(4 – 1 = 3\) cm. Ainsi, son périmètre est \(2 \times (8 + 3) = 22\) cm. Pour \(x = 4\), le carré a un périmètre de 28 cm et le rectangle de 22 cm.
2. D’abord, périmètre du carré : \(4(x + 3) = 4x + 12\).
   Ensuite, périmètre du rectangle : \(2 \times (2x + x – 1) = 2 \times (3x – 1) = 6x – 2\).
   Les périmètres sont \(4x + 12\) et \(6x – 2\) (en cm).
3. On résout \(4x + 12 = 6x – 2\).
   \(12 + 2 = 6x – 4x\)
   \(14 = 2x\)
   Donc \(x = 7\).
   Les deux périmètres sont égaux pour \(x = 7\).
4. Pour \(x = 7\), le carré a pour côté \(7 + 3 = 10\) cm. De plus, le rectangle mesure \(2 \times 7 = 14\) cm sur \(7 – 1 = 6\) cm.
   Alors le périmètre du carré vaut \(4 \times 10 = 40\) cm. Celui du rectangle vaut \(2 \times (14 + 6) = 40\) cm. Les deux figures ont bien le même périmètre, 40 cm.

Erreur fréquente : en b), écrire le périmètre du rectangle \(2x + x – 1\). En effet, c’est seulement la moitié du périmètre (une longueur et une largeur).

Barème : a) 0,5 point par périmètre ; b) 0,5 point pour le carré, 1 point pour le rectangle (expression et réduction) ; c) 0,5 point pour l’équation, 1 point pour la résolution ; d) 0,5 point pour les dimensions, 0,5 point pour la vérification.

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Après le corrigé du contrôle : mettre un problème en équation

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