Corrigé du contrôle de maths 3ème : trigonométrie : calculer des longueurs

Exercice 1 : Les trois rapports (4 points)

1. Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\), donc son hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. L’hypoténuse est \([RT]\) ; le côté opposé à \(\widehat{SRT}\) est \([ST]\) ; le côté adjacent à \(\widehat{SRT}\) est \([RS]\).
2. Dans le triangle \(RST\) rectangle en \(S\) :
   \(\cos \widehat{SRT} = \frac{RS}{RT}\) ; \(\sin \widehat{SRT} = \frac{ST}{RT}\) ; \(\tan \widehat{SRT} = \frac{ST}{RS}\).
3. Pour l’angle \(\widehat{STR}\), le côté adjacent est \([ST]\). L’hypoténuse, elle, est toujours \([RT]\). Ainsi, \(\cos \widehat{STR} = \frac{ST}{RT}\), c’est le même rapport que \(\sin \widehat{SRT}\).

Erreur fréquente : garder le même côté adjacent quand on change d’angle. En effet, les mots « opposé » et « adjacent » dépendent de l’angle choisi ; seule l’hypoténuse ne change pas.

Barème : a) 0,5 point par côté bien nommé. Puis la b) donne 0,5 point par rapport. Enfin, la c) donne 0,5 point pour \(\cos \widehat{STR}\), 0,5 point pour l’égalité avec \(\sin \widehat{SRT}\).

Exercice 2 : Deux côtés à calculer (4 points)

1. Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\), on connaît l’hypoténuse \(AC\). Or on cherche \(AB\), le côté adjacent à l’angle \(\widehat{BAC}\) : on utilise donc le cosinus.
   \(\cos \widehat{BAC} = \frac{AB}{AC}\), donc \(\cos 35^\circ = \frac{AB}{12}\).
   Ainsi, \(AB = 12 \times \cos 35^\circ \approx 9{,}83\).
   Donc \(AB \approx 9{,}8\) cm.
2. On cherche \(BC\), le côté opposé à l’angle \(\widehat{BAC}\), et on connaît l’hypoténuse. On utilise alors le sinus.
   \(\sin \widehat{BAC} = \frac{BC}{AC}\), donc \(\sin 35^\circ = \frac{BC}{12}\).
   Ainsi, \(BC = 12 \times \sin 35^\circ \approx 6{,}88\).
   Donc \(BC \approx 6{,}9\) cm.

Contrôle possible avec Pythagore : \(9{,}83^2 + 6{,}88^2 \approx 144{,}0\), et \(12^2 = 144\).

Barème : pour chaque longueur, 0,5 point pour le choix justifié du rapport, 0,5 point pour l’égalité écrite avec les données. On donne aussi 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour l’arrondi correct avec l’unité.

Exercice 3 : Calculer l’hypoténuse (4 points)

1. Dans le triangle \(EFG\) rectangle en \(F\), on connaît le côté \(EF\) adjacent à l’angle \(\widehat{FEG}\). Puisque l’on cherche l’hypoténuse \(EG\), on utilise le cosinus.
   \(\cos \widehat{FEG} = \frac{EF}{EG}\), donc \(\cos 52^\circ = \frac{7{,}5}{EG}\).
   Ainsi, \(EG = \frac{7{,}5}{\cos 52^\circ} \approx 12{,}18\).
   Donc \(EG \approx 12{,}2\) cm.
2. On cherche \(FG\), le côté opposé à l’angle \(\widehat{FEG}\), et on connaît le côté adjacent. On utilise donc la tangente.
   \(\tan \widehat{FEG} = \frac{FG}{EF}\), donc \(\tan 52^\circ = \frac{FG}{7{,}5}\).
   Ainsi, \(FG = 7{,}5 \times \tan 52^\circ \approx 9{,}60\).
   Donc \(FG \approx 9{,}6\) cm.
3. Le triangle est rectangle en \(F\), donc \([EF]\) et \([FG]\) sont une base et la hauteur associée.
   Alors \(\mathcal{A} = \frac{EF \times FG}{2} \approx \frac{7{,}5 \times 9{,}60}{2} \approx 36{,}0\).
   L’aire du triangle \(EFG\) est donc d’environ \(36\text{ cm}^2\).

Erreur fréquente : en a), écrire \(EG = 7{,}5 \times \cos 52^\circ \approx 4{,}6\) cm. Un tel résultat est impossible, car l’hypoténuse est le plus long côté. Retiens donc : quand la longueur cherchée est au dénominateur, on divise.

Barème : a) 0,5 point pour le choix du cosinus, 0,5 point pour l’égalité, 0,5 point pour la division, 0,5 point pour \(12{,}2\) cm. Puis la b) donne 0,5 point pour la méthode (tangente, ou Pythagore), 0,5 point pour \(9{,}6\) cm. Enfin, la c) donne 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour \(36\text{ cm}^2\).

Exercice 4 : Pythagore puis trigonométrie (4 points)

1. Le triangle \(DEF\) est rectangle en \(E\). D’après le théorème de Pythagore :
   \(DF^2 = DE^2 + EF^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\)
   \(DF = \sqrt{100} = 10\)
   Donc \(DF = 10\) cm.
2. Dans le triangle \(DFG\) rectangle en \(F\), \([DF]\) est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{FDG}\). Puis \([FG]\) est le côté opposé : on utilise donc la tangente.
   \(\tan \widehat{FDG} = \frac{FG}{DF}\), donc \(\tan 30^\circ = \frac{FG}{10}\).
   Ainsi, \(FG = 10 \times \tan 30^\circ \approx 5{,}77\).
   Donc \(FG \approx 5{,}8\) cm.
3. \([DG]\) est l’hypoténuse du triangle \(DFG\) : on utilise alors le cosinus.
   \(\cos \widehat{FDG} = \frac{DF}{DG}\), donc \(\cos 30^\circ = \frac{10}{DG}\).
   Ainsi, \(DG = \frac{10}{\cos 30^\circ} \approx 11{,}55\).
   Donc \(DG \approx 11{,}5\) cm.
   Contrôle avec Pythagore : \(10^2 + 5{,}77^2 \approx 133{,}3\) et \(\sqrt{133{,}3} \approx 11{,}55\).

Erreur fréquente : utiliser l’angle de \(30^\circ\) dans le triangle \(DEF\). Or cet angle appartient au triangle \(DFG\), qui est rectangle en \(F\). C’est donc dans ce triangle qu’il faut écrire les rapports.

Barème : a) 0,5 point pour citer le triangle rectangle et le théorème, 0,5 point pour le calcul de \(DF^2\), 0,5 point pour la conclusion. Puis la b) donne 0,5 point pour le rapport, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour \(5{,}8\) cm. Enfin, la c) donne 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour \(11{,}5\) cm. On accepte aussi \(11{,}6\) cm si l’élève a utilisé \(FG = 5{,}8\) avec Pythagore.

Exercice 5 : La hauteur du poteau (4 points)

1. Le poteau est vertical et le sol horizontal, donc le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). Ensuite, \([AB]\) est le côté opposé à l’angle \(\widehat{ACB}\) et \([AC]\) le côté adjacent. On utilise donc la tangente.
   \(\tan \widehat{ACB} = \frac{AB}{AC}\), donc \(\tan 28^\circ = \frac{5}{AC}\).
   Ainsi, \(AC = \frac{5}{\tan 28^\circ} \approx 9{,}404\).
   Donc \(AC \approx 9{,}40\) m.
2. De même, le triangle \(ABD\) est rectangle en \(A\).
   \(\tan \widehat{ADB} = \frac{AB}{AD}\), donc \(\tan 50^\circ = \frac{5}{AD}\).
   Ainsi, \(AD = \frac{5}{\tan 50^\circ} \approx 4{,}195\).
   Donc \(AD \approx 4{,}20\) m.
3. Les points \(C\), \(D\) et \(A\) sont alignés dans cet ordre, donc \(CD = AC – AD\).
   Alors \(CD \approx 9{,}404 – 4{,}195 \approx 5{,}209\).
   Noé a donc parcouru environ \(5{,}2\) m.

Erreur fréquente : travailler dans le triangle \(BCD\), qui n’est pas rectangle. En effet, on n’utilise la trigonométrie que dans un triangle rectangle : ici \(ABC\) et \(ABD\).

Barème : a) 0,5 point pour le triangle rectangle et le choix de la tangente, 0,5 point pour la division, 0,5 point pour \(9{,}40\) m. Puis la b) suit la même répartition, avec 0,5 point pour \(4{,}20\) m. Enfin, la c) donne 0,5 point pour la différence, 0,5 point pour \(5{,}2\) m.

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Après le corrigé du contrôle : trigonométrie : calculer des longueurs

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