Corrigé du bac S de maths 2007 en France

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Géométrie dans l’espace – 3 points, commun à tous les candidats

L’espace est muni d’un repère orthonormal. On considère les plans \((P) : x + 2y – z + 1 = 0\) et \((P^{\prime}) : -x + y + z = 0\), le point \(A(0\,;\,1\,;\,1)\) et la droite \((d)\) de représentation paramétrique \(x = -\dfrac{1}{3} + t\), \(y = -\dfrac{1}{3}\), \(z = t\) (\(t \in \mathbb{R}\)).

1. On doit démontrer que les plans \((P)\) et \((P^{\prime})\) sont perpendiculaires.

Un vecteur normal à \((P)\) est \(\vec{n}(1\,;\,2\,;\,-1)\), un vecteur normal à \((P^{\prime})\) est \(\vec{n^{\prime}}(-1\,;\,1\,;\,1)\). Leur produit scalaire vaut

\[ \vec{n}\cdot\vec{n^{\prime}} = 1\times (-1) + 2\times 1 + (-1)\times 1 = -1 + 2 – 1 = 0. \]

Les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc les plans \((P)\) et \((P^{\prime})\) sont perpendiculaires (en particulier ils sont sécants).

2. On doit démontrer que la droite d’intersection de \((P)\) et \((P^{\prime})\) est la droite \((d)\).

Soit \(M_t\) le point de \((d)\) de paramètre \(t\). On vérifie qu’il appartient aux deux plans, quel que soit \(t\) :

\[ x + 2y – z + 1 = -\dfrac{1}{3} + t – \dfrac{2}{3} – t + 1 = 0 \quad\text{donc } M_t \in (P), \]
\[ -x + y + z = \dfrac{1}{3} – t – \dfrac{1}{3} + t = 0 \quad\text{donc } M_t \in (P^{\prime}). \]

Toute la droite \((d)\) est donc contenue dans \((P)\) et dans \((P^{\prime})\). Comme ces deux plans sont sécants (question 1), leur intersection est une droite, qui contient \((d)\) : c’est donc \((d)\) elle-même. Les plans \((P)\) et \((P^{\prime})\) se coupent selon la droite \((d)\).

Par exemple, pour \(t = 0\) et \(t = 1\), on obtient les points \(B(-\dfrac{1}{3}\,;\,-\dfrac{1}{3}\,;\,0)\) et \(C(\dfrac{2}{3}\,;\,-\dfrac{1}{3}\,;\,1)\) communs aux deux plans.

3. On doit calculer la distance du point \(A\) à chacun des plans.

Notons \(H\) et \(I\) les projetés orthogonaux de \(A\) sur \((P)\) et sur \((P^{\prime})\). Avec la formule de la distance d’un point à un plan :

\[ AH = d\big(A,(P)\big) = \dfrac{|0 + 2\times 1 – 1 + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}, \]
\[ AI = d\big(A,(P^{\prime})\big) = \dfrac{|-0 + 1 + 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}. \]

\(d\big(A,(P)\big) = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\) et \(d\big(A,(P^{\prime})\big) = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\).

4. On doit en déduire la distance du point \(A\) à la droite \((d)\).

Notons \(J\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((d)\). Les plans \((P)\) et \((P^{\prime})\) étant perpendiculaires et sécants selon \((d)\), le plan perpendiculaire à \((d)\) passant par \(A\) contient \(H\), \(I\) et \(J\), et le quadrilatère \(AHJI\) est un rectangle : on a donc \(HJ = AI\) et le triangle \(AHJ\) est rectangle en \(H\).

D’après le théorème de Pythagore :

\[ AJ^2 = AH^2 + HJ^2 = AH^2 + AI^2 = \dfrac{6}{9} + \dfrac{12}{9} = 2. \]

La distance du point \(A\) à la droite \((d)\) est \(AJ = \sqrt{2}\).

Vérification : le point de \((d)\) de paramètre \(t = \dfrac{2}{3}\), soit \(J(\dfrac{1}{3}\,;\,-\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{2}{3})\), vérifie \(\vec{AJ}(\dfrac{1}{3}\,;\,-\dfrac{4}{3}\,;\,-\dfrac{1}{3})\), orthogonal au vecteur directeur \((1\,;\,0\,;\,1)\) de \((d)\), et \(AJ^2 = \dfrac{1 + 16 + 1}{9} = 2\).

Exercice 2 :

Intégration par parties – 3 points, commun à tous les candidats

1. Restitution organisée de connaissances. On demande de démontrer la formule d’intégration par parties.

Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \([a\,;\,b]\), de dérivées continues. La fonction produit \(uv\) est dérivable et, pour tout \(x\) de \([a\,;\,b]\) :

\[ (uv)^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x), \quad\text{donc}\quad u^{\prime}(x)v(x) = (uv)^{\prime}(x) – u(x)v^{\prime}(x). \]

Toutes ces fonctions sont continues sur \([a\,;\,b]\), on peut donc les intégrer. Par linéarité de l’intégrale :

\[ \int_a^b u^{\prime}(x)v(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b (uv)^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x – \int_a^b u(x)v^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x. \]

Comme \(uv\) est une primitive de \((uv)^{\prime}\), on obtient la formule d’intégration par parties :

\[ \int_a^b u^{\prime}(x)v(x)\,\mathrm{d}x = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b – \int_a^b u(x)v^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x. \]

2. On pose \(I = \displaystyle\int_0^{\pi} \mathrm{e}^x \sin x\,\mathrm{d}x\) et \(J = \displaystyle\int_0^{\pi} \mathrm{e}^x \cos x\,\mathrm{d}x\).

a) On doit démontrer que \(I = -J\) et que \(I = J + \mathrm{e}^{\pi} + 1\).

Calcul de \(J\). Posons \(u(x) = \mathrm{e}^x\) et \(v^{\prime}(x) = \cos x\), d’où \(u^{\prime}(x) = \mathrm{e}^x\) et \(v(x) = \sin x\), fonctions dérivables à dérivées continues. Par intégration par parties :

\[ J = \Big[\mathrm{e}^x \sin x\Big]_0^{\pi} – \int_0^{\pi} \mathrm{e}^x \sin x\,\mathrm{d}x = (\mathrm{e}^{\pi}\sin\pi – \mathrm{e}^0 \sin 0) – I = 0 – I. \]

Donc \(J = -I\), c’est-à-dire \(I = -J\).

Calcul de \(I\). Posons \(u(x) = \mathrm{e}^x\) et \(v^{\prime}(x) = \sin x\), d’où \(u^{\prime}(x) = \mathrm{e}^x\) et \(v(x) = -\cos x\). Par intégration par parties :

\[ I = \Big[-\mathrm{e}^x \cos x\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \mathrm{e}^x \cos x\,\mathrm{d}x = (-\mathrm{e}^{\pi}\cos\pi + \mathrm{e}^0\cos 0) + J = \mathrm{e}^{\pi} + 1 + J. \]

Donc \(I = J + \mathrm{e}^{\pi} + 1\).

b) On doit en déduire les valeurs exactes de \(I\) et de \(J\).

En remplaçant \(I\) par \(-J\) dans la seconde égalité : \(-J = J + \mathrm{e}^{\pi} + 1\), soit \(-2J = \mathrm{e}^{\pi} + 1\). Ainsi :

\[ J = -\dfrac{\mathrm{e}^{\pi} + 1}{2} \qquad\text{et}\qquad I = -J = \dfrac{\mathrm{e}^{\pi} + 1}{2}. \]

\(I = \dfrac{\mathrm{e}^{\pi} + 1}{2} \approx 12{,}07\) et \(J = -\dfrac{\mathrm{e}^{\pi} + 1}{2} \approx -12{,}07\). Le signe de \(I\) est cohérent : sur \([0\,;\,\pi]\), \(\mathrm{e}^x\sin x \geq\, 0\).

Exercice 3 :

Nombres complexes – 5 points, candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation \((E) : z^3 – (4 + \mathrm{i})z^2 + (13 + 4\mathrm{i})z – 13\mathrm{i} = 0\), d’inconnue complexe \(z\).

1. On doit prouver que \(\mathrm{i}\) est solution de \((E)\).

On a \(\mathrm{i}^2 = -1\) et \(\mathrm{i}^3 = -\mathrm{i}\), donc :

\[ \mathrm{i}^3 – (4 + \mathrm{i})\mathrm{i}^2 + (13 + 4\mathrm{i})\mathrm{i} – 13\mathrm{i} = -\mathrm{i} + 4 + \mathrm{i} + 13\mathrm{i} – 4 – 13\mathrm{i} = 0. \]

Le nombre \(\mathrm{i}\) est bien solution de \((E)\).

2. On cherche trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que, pour tout complexe \(z\), \(z^3 – (4 + \mathrm{i})z^2 + (13 + 4\mathrm{i})z – 13\mathrm{i} = (z – \mathrm{i})(az^2 + bz + c)\).

En développant :

\[ (z – \mathrm{i})(az^2 + bz + c) = az^3 + (b – \mathrm{i}a)z^2 + (c – \mathrm{i}b)z – \mathrm{i}c. \]

Par identification des coefficients :

\[ a = 1,\qquad b – \mathrm{i}a = -4 – \mathrm{i},\qquad c – \mathrm{i}b = 13 + 4\mathrm{i},\qquad -\mathrm{i}c = -13\mathrm{i}. \]

On obtient \(a = 1\), puis \(b = -4\), et \(c = 13\) (la troisième égalité est bien vérifiée : \(13 – \mathrm{i}\times (-4) = 13 + 4\mathrm{i}\)). Ainsi :

\[ z^3 – (4 + \mathrm{i})z^2 + (13 + 4\mathrm{i})z – 13\mathrm{i} = (z – \mathrm{i})(z^2 – 4z + 13). \]

3. On doit résoudre l’équation \((E)\).

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \((E) \iff z = \mathrm{i}\) ou \(z^2 – 4z + 13 = 0\).

Pour \(z^2 – 4z + 13 = 0\), le discriminant vaut \(\Delta = 16 – 52 = -36 = (6\mathrm{i})^2\). Il est négatif, l’équation a deux solutions complexes conjuguées :

\[ z_1 = \dfrac{4 + 6\mathrm{i}}{2} = 2 + 3\mathrm{i}, \qquad z_2 = \dfrac{4 – 6\mathrm{i}}{2} = 2 – 3\mathrm{i}. \]

L’ensemble des solutions de \((E)\) est \(\{\mathrm{i}\,;\,2 + 3\mathrm{i}\,;\,2 – 3\mathrm{i}\}\).

Partie B

Dans le plan complexe, on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) d’affixes respectives \(\mathrm{i}\), \(2 + 3\mathrm{i}\) et \(2 – 3\mathrm{i}\).

1. Soit \(r\) la rotation de centre \(B\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\). On doit déterminer l’affixe du point \(A^{\prime}\), image de \(A\) par \(r\).

L’écriture complexe de \(r\) est \(z^{\prime} – z_B = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}(z – z_B)\). Donc :

\[ z_{A^{\prime}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}(z_A – z_B) + z_B = (\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \mathrm{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2})(-2 – 2\mathrm{i}) + 2 + 3\mathrm{i}. \]

Or \((\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 + \mathrm{i}))\times \big(-2(1 + \mathrm{i})\big) = -\sqrt{2}\,(1 + \mathrm{i})^2 = -\sqrt{2}\times 2\mathrm{i} = -2\sqrt{2}\,\mathrm{i}\). D’où :

\[ z_{A^{\prime}} = 2 + (3 – 2\sqrt{2})\mathrm{i}. \]

2. On doit montrer que \(A^{\prime}\), \(B\), \(C\) sont alignés, puis donner l’écriture complexe de l’homothétie de centre \(B\) qui transforme \(C\) en \(A^{\prime}\).

L’affixe de \(\vec{BA^{\prime}}\) est \(z_{A^{\prime}} – z_B = -2\sqrt{2}\,\mathrm{i}\), celle de \(\vec{BC}\) est \(z_C – z_B = -6\mathrm{i}\). Donc

\[ \vec{BA^{\prime}} = \dfrac{-2\sqrt{2}\,\mathrm{i}}{-6\mathrm{i}}\,\vec{BC} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}\,\vec{BC}. \]

Les vecteurs sont colinéaires : les points \(A^{\prime}\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

Cette égalité signifie aussi que \(A^{\prime}\) est l’image de \(C\) par l’homothétie \(h\) de centre \(B\) et de rapport \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\). Son écriture complexe est \(z^{\prime} – z_B = \dfrac{\sqrt{2}}{3}(z – z_B)\), soit :

\[ z^{\prime} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}\,z – \dfrac{\sqrt{2}}{3}(2 + 3\mathrm{i}) + 2 + 3\mathrm{i} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}\,z + 2 – \dfrac{2\sqrt{2}}{3} + (3 – \sqrt{2})\mathrm{i}. \]

L’homothétie cherchée a pour écriture complexe \(z^{\prime} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}\,z + 2 – \dfrac{2\sqrt{2}}{3} + (3 – \sqrt{2})\mathrm{i}\).

Exercice 3 (spécialité) :

Similitudes – 5 points, candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe, on considère les points \(A\), \(B\), \(C\), \(H\) et \(F\) d’affixes \(z_A = -5 + 6\mathrm{i}\), \(z_B = -7 – 2\mathrm{i}\), \(z_C = 3 – 2\mathrm{i}\), \(z_H = -5\) et \(z_F = -2 + \mathrm{i}\). Le point \(H\) est l’orthocentre du triangle \(ABC\) et \(F\) le centre de son cercle circonscrit \(\Gamma\).

1. On doit déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre \(A\) qui transforme \(C\) en \(H\).

Cette similitude a pour rapport \(\dfrac{AH}{AC}\) et pour angle \((\vec{AC},\vec{AH})\), qu’on lit sur le quotient :

\[ \dfrac{z_H – z_A}{z_C – z_A} = \dfrac{-6\mathrm{i}}{8 – 8\mathrm{i}} = \dfrac{-6\mathrm{i}(8 + 8\mathrm{i})}{64 + 64} = \dfrac{48 – 48\mathrm{i}}{128} = \dfrac{3}{8}(1 – \mathrm{i}) = \dfrac{3\sqrt{2}}{8}(\cos(-\dfrac{\pi}{4}) + \mathrm{i}\sin(-\dfrac{\pi}{4})). \]

La similitude a pour rapport \(\dfrac{3\sqrt{2}}{8}\) et pour angle \(-\dfrac{\pi}{4}\).

2. a) Soit \(s\) la transformation d’écriture complexe \(z^{\prime} = a\overline{z} + b\) (\(a\), \(b\) complexes) qui laisse invariants \(A\) et \(C\). On doit déterminer \(a\) et \(b\) et la nature de \(s\).

Les conditions \(s(A) = A\) et \(s(C) = C\) s’écrivent :

\[ -5 + 6\mathrm{i} = a(-5 – 6\mathrm{i}) + b \qquad\text{et}\qquad 3 – 2\mathrm{i} = a(3 + 2\mathrm{i}) + b. \]

Par soustraction : \(-8 + 8\mathrm{i} = a(-8 – 8\mathrm{i})\), d’où \(a = \dfrac{-1 + \mathrm{i}}{-1 – \mathrm{i}} = \dfrac{(-1 + \mathrm{i})(-1 + \mathrm{i})}{2} = \dfrac{-2\mathrm{i}}{2} = -\mathrm{i}\). Puis \(b = 3 – 2\mathrm{i} + \mathrm{i}(3 + 2\mathrm{i}) = 3 – 2\mathrm{i} + 3\mathrm{i} – 2 = 1 + \mathrm{i}\).

Donc \(s : z^{\prime} = -\mathrm{i}\,\overline{z} + 1 + \mathrm{i}\). Comme \(|a| = 1\), \(s\) est une similitude indirecte de rapport 1, c’est-à-dire un antidéplacement ; elle a deux points invariants distincts \(A\) et \(C\) : \(s\) est la réflexion d’axe \((AC)\).

b) On doit déterminer l’affixe du point \(E\), image de \(H\) par \(s\).

\[ z_E = -\mathrm{i}\,\overline{z_H} + 1 + \mathrm{i} = -\mathrm{i}\times (-5) + 1 + \mathrm{i} = 1 + 6\mathrm{i}. \]

Le point \(E\) a pour affixe \(1 + 6\mathrm{i}\).

c) On doit montrer que \(E\) appartient au cercle \(\Gamma\) de centre \(F\) passant par \(A\).

Le rayon de \(\Gamma\) est \(FA = |z_A – z_F| = |-3 + 5\mathrm{i}| = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\). Par ailleurs \(FE = |z_E – z_F| = |3 + 5\mathrm{i}| = \sqrt{34}\).

Comme \(FE = FA\), le point \(E\) appartient au cercle \(\Gamma\). On retrouve la propriété classique : le symétrique de l’orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit.

3. Soit \(I\) le milieu de \([AC]\) et \(G\) l’image de \(I\) par l’homothétie de centre \(B\) et de rapport \(\dfrac{2}{3}\). On doit montrer que \(H\), \(G\) et \(F\) sont alignés.

On a \(z_I = \dfrac{z_A + z_C}{2} = \dfrac{-2 + 4\mathrm{i}}{2} = -1 + 2\mathrm{i}\). L’homothétie a pour écriture \(z^{\prime} – z_B = \dfrac{2}{3}(z – z_B)\), soit \(z^{\prime} = \dfrac{2}{3}z + \dfrac{1}{3}z_B = \dfrac{2}{3}z – \dfrac{7}{3} – \dfrac{2}{3}\mathrm{i}\). Donc :

\[ z_G = \dfrac{2}{3}(-1 + 2\mathrm{i}) – \dfrac{7}{3} – \dfrac{2}{3}\mathrm{i} = -3 + \dfrac{2}{3}\mathrm{i}. \]

(\(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\) : \(\dfrac{z_A + z_B + z_C}{3} = \dfrac{-9 + 2\mathrm{i}}{3}\).)

Les affixes des vecteurs \(\vec{HG}\) et \(\vec{HF}\) sont \(z_G – z_H = 2 + \dfrac{2}{3}\mathrm{i}\) et \(z_F – z_H = 3 + \mathrm{i}\). On constate que \(2 + \dfrac{2}{3}\mathrm{i} = \dfrac{2}{3}(3 + \mathrm{i})\), donc \(\vec{HG} = \dfrac{2}{3}\vec{HF}\).

Les vecteurs sont colinéaires : les points \(H\), \(G\) et \(F\) sont alignés (c’est la droite d’Euler du triangle).

Exercice 4 :

QCM de probabilités – 4 points, commun à tous les candidats

1. Un représentant rend visite à 5 clients dans la matinée ; chaque client, indépendamment des autres, achète un produit avec la probabilité \(0{,}2\). On cherche la probabilité qu’il vende exactement 2 produits.

Soit \(X\) le nombre de produits vendus. On répète 5 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues dont le succès a la probabilité \(0{,}2\) : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 5\) et \(p = 0{,}2\). Donc

\[ P(X = 2) = \binom\,{5}{2}\times 0{,}2^2\times 0{,}8^3 = 10\times 0{,}04\times 0{,}512 = 0{,}2048. \]

\(P(X = 2) = 0{,}2048\) : réponse d).

2. Dans une auto-école, les garçons représentent le quart des élèves ; une fille sur trois et un garçon sur dix obtiennent le permis du premier coup. On cherche la probabilité qu’un élève choisi au hasard ait eu son permis du premier coup.

Notons \(G\) l’événement « l’élève est un garçon » et \(P\) l’événement « l’élève a eu son permis du premier coup ». L’énoncé donne \(P(G) = \dfrac{1}{4}\), \(P(\overline{G}) = \dfrac{3}{4}\), \(P_G(P) = \dfrac{1}{10}\) et \(P_{\overline{G}}(P) = \dfrac{1}{3}\).

Les événements \(G\) et \(\overline{G}\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :

\[ P(P) = P(G)\,P_G(P) + P(\overline{G})\,P_{\overline{G}}(P) = \dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{40} + \dfrac{10}{40} = \dfrac{11}{40} = 0{,}275. \]

\(P(P) = 0{,}275\) : réponse b).

3. On choisit un élève qui a eu son permis du premier coup ; on cherche la probabilité que ce soit un garçon (arrondie à \(10^{-3}\)).

\[ P_P(G) = \dfrac{P(G \cap P)}{P(P)} = \dfrac{\dfrac{1}{40}}{\dfrac{11}{40}} = \dfrac{1}{11} \approx 0{,}091. \]

\(P_P(G) \approx 0{,}091\) : réponse b).

4. Une cible est formée de trois cercles concentriques de rayons 10 cm, 20 cm et 30 cm. Une flèche atteint toujours la cible, et la probabilité d’atteindre une zone est proportionnelle à son aire. On cherche la probabilité d’atteindre la zone la plus éloignée du centre.

La zone extérieure est la couronne comprise entre les cercles de rayons 20 cm et 30 cm ; son aire vaut \(\pi\times 30^2 – \pi\times 20^2 = 900\pi – 400\pi = 500\pi\) cm². L’aire totale de la cible est \(900\pi\) cm². La probabilité étant proportionnelle à l’aire et la cible étant toujours atteinte (la probabilité totale vaut 1), la probabilité cherchée est le rapport des aires :

\[ p = \dfrac{500\pi}{900\pi} = \dfrac{5}{9}. \]

(De même, la zone centrale a la probabilité \(\dfrac{100\pi}{900\pi} = \dfrac{1}{9}\) et la zone intermédiaire \(\dfrac{300\pi}{900\pi} = \dfrac{1}{3}\) ; on a bien \(\dfrac{1}{9} + \dfrac{3}{9} + \dfrac{5}{9} = 1\).)

\(p = \dfrac{5}{9}\) : réponse a).

Exercice 5 :

Fonction logarithme et suite récurrente – 5 points, commun à tous les candidats

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-1\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = x – \dfrac{\ln(1 + x)}{1 + x}\), et \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative.

Partie A : étude de certaines propriétés de la courbe \(\mathcal{C}\)

1. On doit calculer \(f^{\prime}(x)\).

La fonction \(f\) est dérivable sur \(]-1\,;\,+\infty[\) (on a \(1 + x \gt 0\)). La dérivée du quotient \(\dfrac{\ln(1 + x)}{1 + x}\) est

\[ \dfrac{\dfrac{1}{1 + x}\times (1 + x) – \ln(1 + x)\times 1}{(1 + x)^2} = \dfrac{1 – \ln(1 + x)}{(1 + x)^2}. \]

Donc :

\[ f^{\prime}(x) = 1 – \dfrac{1 – \ln(1 + x)}{(1 + x)^2} = \dfrac{(1 + x)^2 – 1 + \ln(1 + x)}{(1 + x)^2}. \]

2. On pose \(N(x) = (1 + x)^2 – 1 + \ln(1 + x)\) sur \(]-1\,;\,+\infty[\). On doit étudier le sens de variation de \(N\), calculer \(N(0)\), en déduire le signe de \(N(x)\) puis les variations de \(f\).

\(N\) est dérivable sur \(]-1\,;\,+\infty[\) et

\[ N^{\prime}(x) = 2(1 + x) + \dfrac{1}{1 + x} = \dfrac{2(1 + x)^2 + 1}{1 + x}. \]

Sur \(]-1\,;\,+\infty[\), le numérateur \(2(1 + x)^2 + 1\) est strictement positif et le dénominateur \(1 + x\) aussi. Donc \(N^{\prime}(x) \gt 0\) : \(N\) est strictement croissante sur \(]-1\,;\,+\infty[\).

\(N(0) = 1 – 1 + \ln 1 = 0\). Comme \(N\) est strictement croissante et s’annule en 0 :

\(x\)	\(-1\)		\(0\)		\(+\infty\)
signe de \(N(x)\) et de \(f^{\prime}(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
variations de \(f\)		décroissante	\(f(0) = 0\)	croissante

Puisque \(f^{\prime}(x) = \dfrac{N(x)}{(1 + x)^2}\) avec \((1 + x)^2 \gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(N(x)\). La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]-1\,;\,0]\) et strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un minimum \(f(0) = 0\).

3. On doit déterminer les coordonnées du point d’intersection de \(\mathcal{C}\) avec la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(y = x\).

Pour \(x \gt -1\) :

\[ f(x) = x \iff \dfrac{\ln(1 + x)}{1 + x} = 0 \iff \ln(1 + x) = 0 \iff 1 + x = 1 \iff x = 0. \]

La courbe \(\mathcal{C}\) et la droite \(\mathcal{D}\) se coupent en un seul point, l’origine \(O(0\,;\,0)\).

Partie B : étude d’une suite récurrente définie à partir de la fonction \(f\)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 4\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. On doit démontrer que si \(x \in [0\,;\,4]\), alors \(f(x) \in [0\,;\,4]\).

La fonction \(f\) est continue et croissante sur \([0\,;\,4]\) (partie A). Donc, pour \(0 \leq\, x \leq\, 4\) : \(f(0) \leq\, f(x) \leq\, f(4)\). Or \(f(0) = 0\) et \(f(4) = 4 – \dfrac{\ln 5}{5} \approx 3{,}68\), donc \(f(4) \lt 4\).

Ainsi \(0 \leq\, f(x) \leq\, 4\) : l’intervalle \([0\,;\,4]\) est stable par \(f\).

2. a) On demande de construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite, à l’aide de \(\mathcal{C}\) et de \(\mathcal{D}\).

On part de \(u_0 = 4\) sur l’axe des abscisses, on monte verticalement jusqu’à \(\mathcal{C}\) pour lire \(u_1 = f(u_0)\) en ordonnée, on reporte cette valeur sur l’axe des abscisses grâce à la droite \(\mathcal{D}\), et on recommence. On obtient \(u_1 \approx 3{,}68\), \(u_2 \approx 3{,}35\) et \(u_3 \approx 3{,}01\).

b) On doit démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n \in [0\,;\,4]\).

Raisonnons par récurrence sur \(n\).

• Initialisation : \(u_0 = 4 \in [0\,;\,4]\).
• Hérédité : supposons que \(u_n \in [0\,;\,4]\) pour un entier \(n\) donné. D’après la question 1, \(f(u_n) \in [0\,;\,4]\), c’est-à-dire \(u_{n+1} \in [0\,;\,4]\).
• Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc \(u_n \in [0\,;\,4]\) pour tout entier naturel \(n\).

c) On doit étudier le sens de variation de la suite \((u_n)\).

Pour tout \(n\) :

\[ u_{n+1} – u_n = f(u_n) – u_n = -\dfrac{\ln(1 + u_n)}{1 + u_n}. \]

Comme \(u_n \in [0\,;\,4]\), on a \(1 + u_n \in [1\,;\,5]\), donc \(1 + u_n \gt 0\) et \(\ln(1 + u_n) \geq\, 0\). Ainsi \(u_{n+1} – u_n \leq\, 0\) : la suite \((u_n)\) est décroissante.

d) On doit montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.

La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 0 (question b). D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel \(\ell\), avec \(0 \leq\, \ell \leq\, 4\).

e) On doit déterminer la limite \(\ell\) de la suite.

La suite vérifie \(u_{n+1} = f(u_n)\), elle converge vers \(\ell \in [0\,;\,4]\) et \(f\) est continue en \(\ell\). En passant à la limite dans l’égalité, on obtient \(f(\ell) = \ell\). D’après la partie A, question 3, la seule solution de l’équation \(f(x) = x\) sur \(]-1\,;\,+\infty[\) est \(0\).

La suite \((u_n)\) converge vers \(\ell = 0\).