Corrigé du bac S de maths 2012 en France

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Lecture graphique, dérivée, tangente – 4 points, commun à tous les candidats

On considère une fonction \(f\) dérivable sur \([-3\,;2]\) telle que \(f(0)=-1\). On ne connaît pas \(f\), mais on dispose de la courbe représentative de sa dérivée \(f^{\prime}\). On note \(\mathscr{C}\) la courbe de \(f\). Il faut dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. Affirmation : pour tout réel \(x\) de \([-3\,;-1]\), \(f^{\prime}(x)\leq\, 0\).

Sur l’intervalle \([-3\,;-1]\), tous les points de la courbe de \(f^{\prime}\) sont situés sous l’axe des abscisses : leurs ordonnées \(f^{\prime}(x)\) sont négatives ou nulles. L’affirmation est VRAIE.

2. Affirmation : \(f\) est croissante sur \([-1\,;2]\).

Sur \([-1\,;2]\), la courbe de \(f^{\prime}\) est au-dessus de l’axe des abscisses, donc \(f^{\prime}(x)\geq\, 0\) sur cet intervalle. Une fonction dont la dérivée est positive est croissante : l’affirmation est VRAIE.

3. Affirmation : pour tout réel \(x\) de \([-3\,;2]\), \(f(x)\geq\, -1\).

Sur \([-1\,;0]\), on a \(f^{\prime}(x)\geq\, 0\) et \(f^{\prime}\) n’est pas identiquement nulle : \(f\) est strictement croissante sur cet intervalle. Pour \(x\in[-1\,;0[\), on a donc \(f(x)\lt f(0)=-1\). Par exemple \(f(-1)\lt -1\). Il existe donc des réels de \([-3\,;2]\) dont l’image est strictement inférieure à \(-1\) : l’affirmation est FAUSSE.

4. Affirmation : la tangente à \(\mathscr{C}\) au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées \((1\,;0)\).

On lit sur le graphique \(f^{\prime}(0)=1\) et on sait que \(f(0)=-1\). La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation

\[y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\quad\text{soit}\quad y=x-1.\]

Pour \(x=1\), on obtient \(y=1-1=0\) : le point \((1\,;0)\) appartient bien à cette tangente. L’affirmation est VRAIE.

Exercice 2 :

Probabilités conditionnelles, loi binomiale – 5 points, commun à tous les candidats

Un cabinet de recrutement sélectionne des cadres en trois étapes : 40 % des dossiers sont retenus ; parmi les candidats retenus sur dossier, 70 % passent le premier entretien avec succès ; parmi ceux-ci, 25 % sont finalement recrutés par le directeur des ressources humaines. On note \(D\) : « le candidat est retenu sur dossier », \(E_1\) : « le candidat est retenu à l’issue du premier entretien », \(E_2\) : « le candidat est recruté ».

1. a. On demande de compléter l’arbre pondéré.

Un candidat ne peut passer le premier entretien que s’il a été retenu sur dossier, et le second que s’il a réussi le premier : les branches ne se prolongent donc qu’à partir de \(D\), puis de \(E_1\).

1. b. On demande la probabilité de \(E_1\).

Comme \(E_1\subset D\), on a \(E_1=D\cap E_1\), d’où

\[p(E_1)=p(D)\times p_D(E_1)=0{,}4\times 0{,}7=\mathbf{0{,}28}.\]

1. c. On note \(F\) l’événement « le candidat n’est pas recruté » ; il faut montrer que \(p(F)=0{,}93\).

L’événement contraire \(\overline{F}\) (« le candidat est recruté ») correspond au seul chemin \(D\to E_1\to E_2\) :

\[p(\overline{F})=p(D\cap E_1\cap E_2)=0{,}4\times 0{,}7\times 0{,}25=0{,}07.\]

Donc \(p(F)=1-0{,}07=\mathbf{0{,}93}\).

2. a. Cinq amis postulent ; les dossiers sont étudiés indépendamment et chacun a une probabilité 0,07 d’être recruté. \(X\) est le nombre de recrutés parmi eux ; il faut justifier la loi de \(X\).

On répète 5 fois, de façon indépendante, une même épreuve de Bernoulli dont le succès « le candidat est recruté » a pour probabilité \(p=0{,}07\). \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0{,}07\).

2. b. On demande la probabilité qu’exactement deux des cinq amis soient recrutés, à \(10^{-3}\) près.

\[p(X=2)=\binom\,{5}{2}\times 0{,}07^2\times 0{,}93^3=10\times 0{,}0049\times 0{,}804357\approx 0{,}0394.\]

Donc \(p(X=2)\approx\mathbf{0{,}039}\).

3. On cherche le nombre minimal de dossiers à traiter pour que la probabilité de recruter au moins un candidat dépasse 0,999.

Si le cabinet traite \(n\) dossiers, le nombre de candidats recrutés suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}07\). La probabilité qu’aucun ne soit recruté vaut \(0{,}93^n\), donc la probabilité qu’au moins un soit recruté vaut \(1-0{,}93^n\). On résout :

\[1-0{,}93^n\gt 0{,}999\iff 0{,}93^n\lt 0{,}001\iff n\ln 0{,}93\lt \ln 0{,}001\]

(la fonction \(\ln\) est strictement croissante). Comme \(\ln 0{,}93\lt 0\), en divisant on change le sens de l’inégalité :

\[n\gt \frac{\ln 0{,}001}{\ln 0{,}93}\approx 95{,}19.\]

Vérification : \(0{,}93^{95}\approx 0{,}00101\gt 0{,}001\) et \(0{,}93^{96}\approx 0{,}00094\lt 0{,}001\). Le cabinet doit traiter au moins 96 dossiers pour que la probabilité de recruter au moins un candidat soit supérieure à 0,999.

Exercice 3 :

Fonction logarithme, algorithme, suite et intégrale – 6 points, commun à tous les candidats

La partie C peut être traitée sans la partie B.

Partie A

On étudie la fonction \(f\) définie sur \([1\,;+\infty[\) par

\[f(x)=\frac{1}{x+1}+\ln(\frac{x}{x+1}).\]

1. On demande la limite de \(f\) en \(+\infty\).

Pour \(x\geq\, 1\), on écrit \(\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\). Comme \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x+1}=0\), on a \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x}{x+1}=1\), puis par composition avec \(\ln\), continue en 1 : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(\frac{x}{x+1})=\ln 1=0\).

Par somme : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0+0=\mathbf{0}\).

2. On demande de calculer \(f^{\prime}(x)\), d’étudier les variations de \(f\) et d’en déduire son signe.

Sur \([1\,;+\infty[\), \(x+1\gt 0\) et \(u(x)=\frac{x}{x+1}\gt 0\), donc \(f\) est dérivable. On a

\[u^{\prime}(x)=\frac{1\times (x+1)-x\times 1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2},\qquad \frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}=\frac{1}{(x+1)^2}\times \frac{x+1}{x}=\frac{1}{x(x+1)}.\]

D’où

\[f^{\prime}(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x(x+1)}=\frac{-x+(x+1)}{x(x+1)^2}=\frac{1}{x(x+1)^2}.\]

Pour \(x\geq\, 1\), \(f^{\prime}(x)\gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\). De plus \(f(1)=\frac{1}{2}+\ln\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\ln 2\approx -0{,}193\).

\(x\)	1		\(+\infty\)
\(f^{\prime}(x)\)		+
\(f\)	\(\frac{1}{2}-\ln 2\)	croissante	0

La fonction \(f\) est strictement croissante et tend vers 0 en \(+\infty\) : elle ne peut donc jamais atteindre la valeur 0 (sinon elle dépasserait 0 juste après et ne pourrait plus tendre vers 0). Ainsi \(f(x)\lt 0\) pour tout \(x\in[1\,;+\infty[\).

Partie B

On définit, pour \(n\geq\, 1\), \(u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}-\ln n\). L’algorithme proposé saisit \(n\), initialise \(u\) à 0, puis, pour \(i\) allant de 1 à \(n\), remplace \(u\) par \(u+\frac{1}{i}\), et affiche \(u\).

Variables : i et n entiers naturels, u réel
Entrée    : saisir n
Traitement: u prend la valeur 0
            Pour i variant de 1 à n
                u prend la valeur u + 1/i
            Fin Pour
Sortie    : afficher u

1. On demande les valeurs successives de \(u\) pour \(n=3\).

\(i\)	départ	1	2	3
\(u\)	0	\(0+1=1\)	\(1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)	\(\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\)

L’algorithme affiche \(\frac{11}{6}\), qui est la somme \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\) et non \(u_3\).

2. On demande de modifier l’algorithme pour qu’il affiche \(u_n\).

Il suffit de remplacer la sortie par : afficher \(u-\ln n\) (ou d’ajouter avant la sortie l’instruction « u prend la valeur u − ln(n) »).

3. À l’aide des valeurs affichées pour \(n\) allant de 4 à 2000, on demande une conjecture.

Les valeurs obtenues sont par exemple \(u_4\approx 0{,}6970\), \(u_{10}\approx 0{,}6264\), \(u_{100}\approx 0{,}5822\), \(u_{1000}\approx 0{,}5777\), \(u_{2000}\approx 0{,}5775\). On peut conjecturer que la suite \((u_n)\) est décroissante et converge vers un nombre proche de 0,577.

Partie C

1. On demande d’étudier le sens de variation de \((u_n)\).

Pour \(n\geq\, 1\), tous les termes de la somme s’éliminent sauf le dernier :

\[u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\ln(n+1)+\ln n=\frac{1}{n+1}+\ln(\frac{n}{n+1})=f(n).\]

D’après la partie A, \(f(n)\lt 0\) puisque \(n\geq\, 1\). Donc \(u_{n+1}\lt u_n\) : la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

2. a. Soit \(k\) un entier naturel non nul. On demande de montrer que \(\displaystyle\int_k^{k+1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{x})\mathrm{d}x\geq\, 0\), puis d’en déduire que \(\ln(k+1)-\ln k\leq\,\frac{1}{k}\).

Pour \(x\in[k\,;k+1]\), on a \(0\lt k\leq\, x\), donc \(\frac{1}{x}\leq\,\frac{1}{k}\) (la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;+\infty[\)), soit \(\frac{1}{k}-\frac{1}{x}\geq\, 0\). La fonction \(x\mapsto \frac{1}{k}-\frac{1}{x}\) est continue et positive sur \([k\,;k+1]\) avec \(k\lt k+1\), donc son intégrale est positive :

\[\int_k^{k+1}(\frac{1}{k}-\frac{1}{x})\mathrm{d}x\geq\, 0.\]

Par linéarité, cela donne \(\displaystyle\int_k^{k+1}\frac{1}{k}\,\mathrm{d}x\geq\,\int_k^{k+1}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\). Or

\[\int_k^{k+1}\frac{1}{k}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{k}\times (k+1-k)=\frac{1}{k}\quad\text{et}\quad\int_k^{k+1}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\Big[\ln x\Big]_k^{k+1}=\ln(k+1)-\ln k.\]

On obtient bien \(\ln(k+1)-\ln k\leq\,\frac{1}{k}\) (1).

2. b. On demande d’en déduire que \(\ln(n+1)\leq\, 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}\).

On écrit l’inégalité (1) pour \(k=1,2,\dots,n\) :

\[\ln 2-\ln 1\leq\, 1,\quad \ln 3-\ln 2\leq\,\frac{1}{2},\quad\dots,\quad \ln n-\ln(n-1)\leq\,\frac{1}{n-1},\quad \ln(n+1)-\ln n\leq\,\frac{1}{n}.\]

En additionnant membre à membre, les termes intermédiaires se simplifient deux à deux (somme télescopique) :

\[\ln(n+1)-\ln 1\leq\, 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n},\quad\text{soit}\quad \mathbf{\ln(n+1)\leq\, 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}}\ \text{ car }\ln 1=0.\]

2. c. On demande d’en déduire le signe de \(u_n\).

La fonction \(\ln\) est strictement croissante, donc \(\ln n\lt\ln(n+1)\). Avec la question précédente :

\[\ln n\lt\ln(n+1)\leq\, 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}\quad\text{donc}\quad u_n=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}-\ln n\gt 0.\]

Pour tout \(n\geq\, 1\), \(u_n\gt 0\).

3. On demande de prouver que la suite \((u_n)\) est convergente.

La suite \((u_n)\) est décroissante (question C.1) et minorée par 0 (question C.2.c). D’après le théorème de convergence monotone, \((u_n)\) converge vers une limite \(\gamma\geq\, 0\). Cette limite, voisine de 0,577 d’après la partie B, est appelée constante d’Euler.

Exercice 4 :

Nombres complexes, translation et inversion – 5 points, candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\), \(f\) associe à tout point \(M\) d’affixe \(z\neq -1\) le point \(M^{\prime}\) d’affixe \(\frac{1}{z+1}\). On cherche l’image par \(f\) de la droite \(D\) d’équation \(x=-\frac{1}{2}\).

1. a. On place les points \(A\), \(B\), \(C\) d’affixes \(z_A=-\frac{1}{2}\), \(z_B=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\), \(z_C=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}\) (unité 2 cm). Ils sont tous sur la droite \(D\) : voir la figure ci-dessous, qui regroupe aussi les constructions des questions suivantes.

1. b. On demande les affixes de \(A^{\prime}=f(A)\), \(B^{\prime}=f(B)\) et \(C^{\prime}=f(C)\).

\[z_{A^{\prime}}=\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=\mathbf{2}.\]
\[z_{B^{\prime}}=\frac{1}{\frac{1}{2}+\mathrm{i}}=\frac{\frac{1}{2}-\mathrm{i}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{4}{5}(\frac{1}{2}-\mathrm{i})=\mathbf{\frac{2}{5}-\frac{4}{5}\mathrm{i}}.\]
\[z_{C^{\prime}}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=2(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i})=\mathbf{1+\mathrm{i}}.\]

1. c. On demande de démontrer que \(A^{\prime}\), \(B^{\prime}\), \(C^{\prime}\) ne sont pas alignés.

On a \(\vec{A^{\prime}B^{\prime}}(-\frac{8}{5}\,;-\frac{4}{5})\) et \(\vec{A^{\prime}C^{\prime}}(-1\,;1)\). Leur déterminant vaut

\[(-\frac{8}{5})\times 1-(-\frac{4}{5})\times (-1)=-\frac{8}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{12}{5}\neq 0.\]

Les vecteurs ne sont pas colinéaires : \(A^{\prime}\), \(B^{\prime}\), \(C^{\prime}\) ne sont pas alignés. L’image de la droite \(D\) par \(f\) n’est donc pas une droite.

2. a. \(g\) associe à \(M(z)\) le point \(M_1\) d’affixe \(z+1\) ; on demande sa nature.

\(g\) est la translation de vecteur \(\vec{u}\) (vecteur d’affixe 1).

2. b. On place \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) et on trace \(D_1=g(D)\).

\(z_{A_1}=\frac{1}{2}\), \(z_{B_1}=\frac{1}{2}+\mathrm{i}\), \(z_{C_1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}\). L’image d’une droite par une translation est une droite parallèle : \(D_1\) est la droite d’équation \(x=\frac{1}{2}\) (voir figure).

2. c. On demande de démontrer que \(D_1\) est l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-1|=|z|\).

Notons \(I\) le point d’affixe 1. \(|z-1|=|z|\) signifie \(IM=OM\), c’est-à-dire que \(M\) appartient à la médiatrice de \([OI]\). Cette médiatrice est la droite perpendiculaire à l’axe des abscisses passant par le milieu de \([OI]\), d’affixe \(\frac{1}{2}\) : c’est la droite d’équation \(x=\frac{1}{2}\), donc \(D_1\).

(Algébriquement, avec \(z=x+\mathrm{i}y\) : \((x-1)^2+y^2=x^2+y^2\iff -2x+1=0\iff x=\frac{1}{2}\).)

3. a. \(h\) associe à \(M(z)\), \(z\neq 0\), le point \(M_2\) d’affixe \(\frac{1}{z}\). On demande de justifier que \(h(A_1)=A^{\prime}\), \(h(B_1)=B^{\prime}\) et \(h(C_1)=C^{\prime}\).

Pour tout point \(M\) d’affixe \(z\neq -1\), \(g(M)\) a pour affixe \(z+1\neq 0\), et \(h(g(M))\) a pour affixe \(\frac{1}{z+1}\), qui est l’affixe de \(f(M)\). Donc \(f=h\circ g\). En particulier \(h(A_1)=h(g(A))=f(A)=A^{\prime}\), et de même pour \(B\) et \(C\).

3. b. On demande de démontrer que, pour tout complexe \(z\) non nul, \(|\frac{1}{z}-1|=1\iff|z-1|=|z|\).

Pour \(z\neq 0\) : \(\frac{1}{z}-1=\frac{1-z}{z}\), donc \(|\frac{1}{z}-1|=\frac{|1-z|}{|z|}=\frac{|z-1|}{|z|}\). Ainsi

\[|\frac{1}{z}-1|=1\iff\frac{|z-1|}{|z|}=1\iff|z-1|=|z|.\]

3. c. On demande d’en déduire que l’image de \(D_1\) par \(h\) est incluse dans un cercle \(\mathscr{C}\), et de le tracer.

Le point \(O\) n’est pas sur \(D_1\), donc tout point \(M\) de \(D_1\) a une affixe \(z\neq 0\) et une image \(M_2\) d’affixe \(Z=\frac{1}{z}\). Comme \(M\in D_1\), \(|z-1|=|z|\), donc d’après 3.b, \(|Z-1|=1\) : le point \(M_2\) est à la distance 1 du point \(\Omega\) d’affixe 1. L’image de \(D_1\) par \(h\) est donc incluse dans le cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(\Omega(1)\) et de rayon 1.

Vérification : \(|2-1|=1\), \(|(1+\mathrm{i})-1|=1\) et \(|-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\mathrm{i}|=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=1\) : \(A^{\prime}\), \(B^{\prime}\), \(C^{\prime}\) sont bien sur \(\mathscr{C}\).

4. On demande l’image de la droite \(D\) par \(f\), sachant que l’image de \(D_1\) par \(h\) est le cercle \(\mathscr{C}\) privé de \(O\).

On a \(f=h\circ g\). Le point d’affixe \(-1\) n’est pas sur \(D\), donc \(f\) est définie en tout point de \(D\). La translation \(g\) transforme \(D\) en \(D_1\) tout entière, puis \(h\) transforme \(D_1\) en \(\mathscr{C}\) privé de \(O\). Donc l’image de \(D\) par \(f\) est le cercle de centre \(\Omega(1)\) et de rayon 1, privé du point \(O\).

Exercice 4 (spécialité) :

Nombres complexes, similitude et inversion – 5 points, candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\), on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) d’affixes \(z_A=-1+\mathrm{i}\), \(z_B=2\mathrm{i}\), \(z_C=1+3\mathrm{i}\), et la droite \(D\) d’équation \(y=x+2\).

1. On demande de prouver que \(A\), \(B\), \(C\) appartiennent à \(D\) et de faire la figure (unité 2 cm).

\(A(-1\,;1)\) : \(-1+2=1\) ✓ ; \(B(0\,;2)\) : \(0+2=2\) ✓ ; \(C(1\,;3)\) : \(1+2=3\) ✓. Les trois points vérifient l’équation \(y=x+2\) : ils appartiennent à \(D\). La figure ci-dessous regroupe les constructions de tout l’exercice.

2. On demande de résoudre \((1+\mathrm{i})z+3-\mathrm{i}=0\) et de vérifier que la solution n’est pas l’affixe d’un point de \(D\).

\[(1+\mathrm{i})z=-3+\mathrm{i}\iff z=\frac{-3+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(-3+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{2}=\frac{-3+3\mathrm{i}+\mathrm{i}+1}{2}=\frac{-2+4\mathrm{i}}{2}=\mathbf{-1+2\mathrm{i}}.\]

Le point \(P(-1\,;2)\) n’est pas sur \(D\) car \(-1+2=1\neq 2\).

Dans la suite, \(f\) associe à tout point \(M(z)\), \(z\neq -1+2\mathrm{i}\), le point \(M^{\prime}\) d’affixe \(\frac{1}{(1+\mathrm{i})z+3-\mathrm{i}}\) ; on cherche l’image de \(D\) par \(f\).

3. a. \(g\) associe à \(M(z)\) le point \(M_1\) d’affixe \((1+\mathrm{i})z+3-\mathrm{i}\) ; on demande sa nature et ses éléments caractéristiques.

L’écriture complexe est de la forme \(z^{\prime}=az+b\) avec \(a=1+\mathrm{i}\neq 1\) : \(g\) est une similitude directe. Son rapport est \(|a|=\sqrt{2}\) et son angle \(\arg(a)=\frac{\pi}{4}\) puisque \(1+\mathrm{i}=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}\). Son centre \(\omega\) est le point invariant :

\[\omega=(1+\mathrm{i})\omega+3-\mathrm{i}\iff -\mathrm{i}\,\omega=3-\mathrm{i}\iff\omega=\frac{3-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}}=\mathrm{i}(3-\mathrm{i})=1+3\mathrm{i}.\]

\(g\) est la similitude directe de centre \(C(1+3\mathrm{i})\), de rapport \(\sqrt{2}\) et d’angle \(\frac{\pi}{4}\).

3. b. On demande les affixes de \(A_1=g(A)\), \(B_1=g(B)\), \(C_1=g(C)\).

\[z_{A_1}=(1+\mathrm{i})(-1+\mathrm{i})+3-\mathrm{i}=-2+3-\mathrm{i}=\mathbf{1-\mathrm{i}},\]
\[z_{B_1}=(1+\mathrm{i})\times 2\mathrm{i}+3-\mathrm{i}=-2+2\mathrm{i}+3-\mathrm{i}=\mathbf{1+\mathrm{i}},\]

et \(C_1=C\), d’affixe \(\mathbf{1+3\mathrm{i}}\), puisque \(C\) est le centre de \(g\).

3. c. On demande l’image \(D_1\) de \(D\) par \(g\).

Une similitude transforme une droite en droite ; \(D_1\) est donc la droite passant par \(A_1(1\,;-1)\) et \(B_1(1\,;1)\) (qui contient aussi \(C_1(1\,;3)\)) : \(D_1\) est la droite d’équation \(x=1\).

4. \(h\) associe à \(M(z)\), \(z\neq 0\), le point \(M_2\) d’affixe \(\frac{1}{z}\).

4. a. On demande les affixes de \(h(A_1)\), \(h(B_1)\), \(h(C_1)\) (l’énoncé écrit par erreur \(h(A_1)\) deux fois).

\[\frac{1}{1-\mathrm{i}}=\frac{1+\mathrm{i}}{2}=\mathbf{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}},\qquad\frac{1}{1+\mathrm{i}}=\frac{1-\mathrm{i}}{2}=\mathbf{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}},\qquad\frac{1}{1+3\mathrm{i}}=\frac{1-3\mathrm{i}}{10}=\mathbf{\frac{1}{10}-\frac{3}{10}\mathrm{i}}.\]

4. b. On demande de démontrer que, pour tout \(z\neq 0\), \(|\frac{1}{z}-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}\iff|z-2|=|z|\).

Pour \(z\neq 0\) : \(\frac{1}{z}-\frac{1}{2}=\frac{2-z}{2z}\), donc \(|\frac{1}{z}-\frac{1}{2}|=\frac{|z-2|}{2|z|}\). Ainsi

\[|\frac{1}{z}-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}\iff\frac{|z-2|}{2|z|}=\frac{1}{2}\iff|z-2|=|z|.\]

4. c. On demande d’en déduire que \(h(D_1)\) est incluse dans un cercle \(\mathscr{C}\).

La droite \(D_1\) d’équation \(x=1\) est la médiatrice du segment joignant \(O\) au point d’affixe 2 : c’est l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z-2|=|z|\). Elle ne passe pas par \(O\). Pour \(M(z)\in D_1\), l’image \(M_2\) a pour affixe \(Z=\frac{1}{z}\) et, d’après 4.b, \(|Z-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}\). Donc \(h(D_1)\) est incluse dans le cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(K\) d’affixe \(\frac{1}{2}\) et de rayon \(\frac{1}{2}\).

Vérification : \(|\frac{1}{2}\mathrm{i}|=\frac{1}{2}\) et \(|\frac{1-3\mathrm{i}}{10}-\frac{1}{2}|=|\frac{-4-3\mathrm{i}}{10}|=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\).

4. d. On demande de démontrer que tout point de \(\mathscr{C}\) distinct de \(O\) est l’image par \(h\) d’un point de \(D_1\).

Soit \(N\) un point de \(\mathscr{C}\) d’affixe \(Z\neq 0\). Posons \(z=\frac{1}{Z}\) ; alors \(z\neq 0\) et \(h\) envoie le point \(M(z)\) sur le point d’affixe \(\frac{1}{z}=Z\), c’est-à-dire sur \(N\). De plus \(|\frac{1}{z}-\frac{1}{2}|=|Z-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}\), donc d’après 4.b, \(|z-2|=|z|\) : \(M\) appartient à \(D_1\). Ainsi \(h(D_1)\) est exactement le cercle \(\mathscr{C}\) privé de \(O\).

5. On demande l’image de \(D\) par \(f\).

Pour \(M(z)\) avec \(z\neq -1+2\mathrm{i}\), \(g(M)\) a une affixe \((1+\mathrm{i})z+3-\mathrm{i}\neq 0\) et \(h(g(M))\) a pour affixe \(\frac{1}{(1+\mathrm{i})z+3-\mathrm{i}}\) : \(f=h\circ g\). Le point \(P(-1+2\mathrm{i})\) n’est pas sur \(D\), \(g\) transforme \(D\) en \(D_1\) tout entière (c’est une bijection), et \(h\) transforme \(D_1\) en \(\mathscr{C}\) privé de \(O\). Donc l’image de \(D\) par \(f\) est le cercle de centre \(K(\frac{1}{2})\) et de rayon \(\frac{1}{2}\), privé du point \(O\).