Corrigé du brevet de maths 2024 en Amérique du Nord

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Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Vrai ou faux (20 points) : statistiques, vitesse, probabilité, homothétie

1. Affirmation A : la moyenne des prix \(12\ ;\ 15\ ;\ 10\ ;\ 7\ ;\ 13\) (en euros) est \(11{,}40\) €.

\[m=\frac{12+15+10+7+13}{5}=\frac{57}{5}=11{,}4.\]

La moyenne vaut bien \(11{,}40\) € : l’affirmation A est vraie.

Affirmation B : la médiane de ces prix est \(10\) €.

On range les prix dans l’ordre croissant : \(7\ ;\ 10\ ;\ 12\ ;\ 13\ ;\ 15\). Il y a \(5\) valeurs, la médiane est donc la 3^e, soit \(12\) €. L’affirmation B est fausse (la médiane est \(12\) €).

2. Affirmation C : une élève qui court \(20\) m en \(6\) secondes a une vitesse moyenne de \(14\) km/h.

Une heure dure \(3\,600\) s, soit \(600\) fois \(6\) s. À vitesse constante, elle parcourrait en une heure :

\[20\times 600=12\,000\ \text{m}=12\ \text{km}.\]

Sa vitesse moyenne est donc de \(12\) km/h et non de \(14\) km/h : l’affirmation C est fausse.

3. Affirmation D : dans une urne de \(15\) boules numérotées de \(1\) à \(15\), la probabilité de tirer un nombre premier est \(\dfrac{7}{15}\).

Les nombres premiers compris entre \(1\) et \(15\) sont \(2\ ;\ 3\ ;\ 5\ ;\ 7\ ;\ 11\ ;\ 13\) : il y en a \(6\) (on rappelle que \(1\) n’est pas premier). Les boules étant indiscernables, on est en situation d’équiprobabilité :

\[P=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\neq\frac{7}{15}.\]

L’affirmation D est fausse.

4. Affirmation E : le triangle A′B′C′, image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport \(-3\), a une aire égale à \(3\) fois celle de ABC.

Une homothétie de rapport \(-3\) multiplie toutes les longueurs par \(3\) (on le vérifie sur la figure : \(5\times 3=15\), \(6\times 3=18\), \(9\times 3=27\)). Une aire étant le produit de deux longueurs, elle est multipliée par \(3^2=9\) :

\[\mathcal{A}_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}=9\times \mathcal{A}_{ABC}.\]

L’affirmation E est fausse : l’aire est multipliée par \(9\), pas par \(3\).

Exercice 2 :

Programme de calcul (20 points)

Rappel du programme : à partir du nombre choisi, on calcule d’un côté « ajouter \(2\) puis multiplier par \(4\) », de l’autre « multiplier par \(5\) puis soustraire \(3\) », et on multiplie les deux nombres obtenus.

1. Montrer qu’avec \(2\) au départ, on obtient \(112\).

• Branche de gauche : \(2+2=4\), puis \(4\times 4=16\).
• Branche de droite : \(2\times 5=10\), puis \(10-3=7\).
• Produit : \(16\times 7=112\).

On obtient bien \(112\).

2. Résultat avec \(-3\) au départ.

• Branche de gauche : \(-3+2=-1\), puis \(-1\times 4=-4\).
• Branche de droite : \(-3\times 5=-15\), puis \(-15-3=-18\).
• Produit : \((-4)\times (-18)=72\).

Le résultat à l’arrivée est \(72\).

3. Avec \(x\) au départ, quelles expressions donnent le résultat ?

La branche de gauche donne \((x+2)\times 4=4(x+2)=4x+8\) et celle de droite \(5x-3\). Le résultat est donc :

\[4(x+2)(5x-3)=(4x+8)(5x-3).\]

Parmi les expressions proposées :

• Expression A : \((x+2\times 4)(x\times 5-3)=(x+8)(5x-3)\) ne convient pas (la multiplication par \(4\) ne porte que sur \(2\)).
• Expression B : \((4x+2)(5x-3)\) ne convient pas (\(4(x+2)=4x+8\), et non \(4x+2\)).
• Expression C : \((4x+8)(5x-3)\) convient.
• Expression D : \((x+2)\times 4\times (5x-3)\) convient.

Les expressions C et D expriment le résultat du programme.

4. Trouver les deux nombres de départ qui donnent \(0\) à l’arrivée.

On résout l’équation \((4x+8)(5x-3)=0\). C’est une équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

\[4x+8=0\iff 4x=-8\iff x=-2\qquad\text{ou}\qquad 5x-3=0\iff 5x=3\iff x=\frac{3}{5}=0{,}6.\]

On obtient \(0\) à l’arrivée en choisissant \(-2\) ou \(0{,}6\) au départ.

5. Développer et réduire l’expression \(B=(4x+2)(5x-3)\).

\[B=4x\times 5x-4x\times 3+2\times 5x-2\times 3=20x^2-12x+10x-6.\]

Donc \(B=20x^2-2x-6\).

Exercice 3 :

Tarifs de cinéma et fonctions (20 points)

Rappel : tarif « Classique » à \(11\) € l’entrée ; tarif « Essentiel » avec un abonnement de \(50\) € puis \(5\) € par entrée ; tarif « Liberté » à \(240\) € par an, entrées illimitées.

1. Prix de trois entrées au tarif « Classique » : \(3\times 11=33\). La personne paiera \(33\) €.

2. Prix de huit entrées au tarif « Essentiel » : \(50+8\times 5=50+40=90\). Elle paiera bien \(90\) €.

3. Associer chaque fonction à un tarif (\(x\) désigne le nombre d’entrées).

• \(f:x\longmapsto 50+5x\) correspond au tarif « Essentiel » (\(50\) € fixes plus \(5\) € par entrée) ;
• \(g:x\longmapsto 240\) correspond au tarif « Liberté » (prix fixe quel que soit le nombre d’entrées) ;
• \(h:x\longmapsto 11x\) correspond au tarif « Classique » (\(11\) € par entrée).

Sur le graphique, la droite \((d_1)\) passe par l’origine et représente \(h\), la droite \((d_2)\) coupe l’axe des ordonnées en \(50\) et représente \(f\), la droite horizontale \((d_3)\) représente \(g\).

4. Quel tarif propose un prix proportionnel au nombre d’entrées ?

C’est le tarif « Classique » : \(h(x)=11x\) est une fonction linéaire, représentée par une droite passant par l’origine. (La fonction \(f\) est affine mais pas linéaire à cause des \(50\) € d’abonnement, et \(g\) est constante.)

5. a. Avec \(150\) €, nombre maximal d’entrées au tarif « Essentiel ».

La droite d’équation \(y=150\) coupe \((d_2)\) au point d’abscisse \(20\). Par le calcul : \(50+5x=150\iff 5x=100\iff x=20\). On peut acheter \(20\) entrées au maximum.

b. À partir de combien d’entrées le tarif « Liberté » devient-il le plus intéressant ?

Les droites \((d_2)\) et \((d_3)\) se coupent au point d’abscisse \(38\) : \(50+5x=240\iff 5x=190\iff x=38\). Pour \(38\) entrées, les tarifs « Essentiel » et « Liberté » coûtent tous les deux \(240\) € ; au-delà, la droite \((d_3)\) est en dessous des deux autres (le tarif « Classique » coûte déjà plus de \(240\) € dès \(22\) entrées, car \(11\times 22=242\)). Le tarif « Liberté » est donc le moins cher à partir de \(39\) entrées.

c. Avec un budget de \(200\) €, quel tarif permet le plus d’entrées ?

• Tarif « Liberté » : impossible, il coûte \(240\) €.
• Tarif « Classique » : \(11x\leq\, 200\) donne \(x\leq\, 18{,}1\ldots\), soit \(18\) entrées au plus.
• Tarif « Essentiel » : \(50+5x\leq\, 200\) donne \(x\leq\, 30\), soit \(30\) entrées.

Graphiquement, la droite d’équation \(y=200\) coupe \((d_2)\) le plus à droite. C’est le tarif « Essentiel » qui permet d’acheter le plus d’entrées (\(30\)).

Exercice 4 :

Terrasse en béton (21 points) : Pythagore, aire, volume, ratio

La terrasse, haute de \(15\) cm, a pour base le polygone EJGH formé du rectangle EFGH (\(\text{HG}=6\) m, \(\text{HE}=3\) m) et du triangle FJG rectangle en F, avec \(\text{EJ}=10\) m.

1. Montrer que \(\text{FJ}=4\) m.

EFGH est un rectangle, donc ses côtés opposés sont égaux : \(\text{EF}=\text{HG}=6\) m. Comme F appartient au segment [EJ] :

\[\text{FJ}=\text{EJ}-\text{EF}=10-6=4\ \text{m}.\]

2. Longueur minimale de planches pour entourer la terrasse.

Il faut d’abord calculer GJ. EFGH est un rectangle, donc \(\text{GF}=\text{HE}=3\) m. Le triangle GFJ est rectangle en F ; d’après le théorème de Pythagore :

\[\text{GJ}^2=\text{GF}^2+\text{FJ}^2=3^2+4^2=9+16=25,\quad\text{donc}\quad \text{GJ}=\sqrt{25}=5\ \text{m}.\]

Le tour de la terrasse mesure :

\[\text{EJ}+\text{JG}+\text{GH}+\text{HE}=10+5+6+3=24\ \text{m}.\]

Ils doivent acheter au minimum \(24\) m de planches.

3. a. Montrer que le volume de la terrasse est inférieur à \(4\ \text{m}^3\).

La terrasse est un prisme droit de base EJGH et de hauteur \(15\) cm \(=0{,}15\) m. Aire de la base :

\[\mathcal{A}=\mathcal{A}_{\text{EFGH}}+\mathcal{A}_{\text{FJG}}=6\times 3+\frac{4\times 3}{2}=18+6=24\ \text{m}^2.\]
\[V=\mathcal{A}\times h=24\times 0{,}15=3{,}6\ \text{m}^3.\]

Comme \(3{,}6\lt 4\), le volume de la terrasse (\(3{,}6\ \text{m}^3\)) est bien inférieur à \(4\ \text{m}^3\) : les \(4\ \text{m}^3\) de béton prévus suffisent.

b. Masse de ciment pour \(4\ \text{m}^3\) de béton, sachant qu’il faut \(250\) kg de ciment par mètre cube.

\[4\times 250=1\,000\ \text{kg}.\]

Ils doivent acheter \(1\,000\) kg de ciment (soit une tonne).

c. Masses de gravier et de sable, les masses ciment – gravier – sable étant dans le ratio \(2:7:5\).

Le ciment correspond à \(2\) parts et pèse \(1\,000\) kg, donc une part pèse \(1\,000: 2=500\) kg. On en déduit :

• gravier : \(7\times 500=3\,500\) kg ;
• sable : \(5\times 500=2\,500\) kg.

Il faut \(3\,500\) kg de gravier et \(2\,500\) kg de sable.

4. Choisir le type et le nombre de pots de peinture pour peindre le dessus de la terrasse au moindre coût.

D’après les documents, il faut passer deux couches, et un litre de peinture couvre \(5\ \text{m}^2\). La surface supérieure mesure \(24\ \text{m}^2\) (question 3a) ; avec deux couches, cela revient à peindre :

\[2\times 24=48\ \text{m}^2,\qquad\text{soit}\qquad \frac{48}{5}=9{,}6\ \text{L de peinture}.\]

Deux possibilités pour disposer d’au moins \(9{,}6\) L :

• deux pots A de \(5\) L à \(79{,}90\) €, le 2^e pot étant à \(-50\,\%\) : \(79{,}90+\dfrac{79{,}90}{2}=79{,}90+39{,}95=119{,}85\) € ;
• un pot B de \(10\) L : \(129{,}90\) €.

Comme \(119{,}85\lt 129{,}90\), le coût minimum est obtenu en achetant deux pots A de \(5\) L, pour \(119{,}85\) €.

Exercice 5 :

Triangle équilatéral, parallélisme et Scratch (19 points)

Sur la figure codée, les points A, C, E sont alignés, ainsi que B, C, D ; \(\text{AB}=240\) mm et \(\text{CE}=80\) mm. L’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) mesure \(60°\), les angles en A et en B sont codés égaux, et le triangle CDE a ses trois côtés codés de même longueur.

Partie A

1. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

D’après le codage, \(\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{BAC}}=60°\). La somme des angles d’un triangle vaut \(180°\), donc :

\[\widehat{\text{ACB}}=180°-(60°+60°)=60°.\]

Les trois angles du triangle ABC mesurent \(60°\) : ABC est équilatéral.

2. Montrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.

Le triangle CDE a ses trois côtés de même longueur : il est équilatéral, donc \(\widehat{\text{CED}}=60°\).

Les droites (DE) et (AB) sont coupées par la sécante (AE). Les angles \(\widehat{\text{CED}}\) et \(\widehat{\text{CAB}}\) sont alternes-internes (ils sont de part et d’autre de la sécante, entre les deux droites) et ils ont la même mesure \(60°\). Donc les droites (DE) et (AB) sont parallèles.

Partie B

Le programme Scratch utilise une variable « côté » (1 pas = 1 mm) :

1  quand le drapeau est cliqué
2  aller à x : 0  y : 0
3  s'orienter à 90 degrés
4  mettre côté à ...
5  triangle
6  tourner ↺ de 60 degrés
7  avancer de 240 pas
8  mettre côté à côté / 3

bloc triangle :
   stylo en position d'écriture
   répéter 3 fois
      avancer de côté pas
      tourner ↺ de 120 degrés
   relever le stylo

1. Coordonnées du point de départ du lutin.

L’instruction de la ligne 2 place le lutin au point de coordonnées \((0\ ;\ 0)\).

2. Valeur à saisir à la ligne 4.

Le premier triangle tracé (ligne 5) part de A vers la droite : c’est le grand triangle ABC, de côté \(\text{AB}=240\) mm, soit \(240\) pas. Il faut saisir \(240\) à la ligne 4.

3. Case où se trouve le lutin après la ligne 7, sachant qu’il démarre en D8.

Après le tracé du grand triangle, le lutin est revenu en A, orienté vers la droite (il a tourné trois fois de \(120°\), soit un tour complet). La ligne 6 le fait pivoter de \(60°\) vers la gauche : il est alors orienté selon le côté [AC]. En avançant de \(240\) pas, il parcourt exactement le côté [AC] et arrive au sommet C. Sur la grille (une case représente \(40\) pas), C se trouve dans la case G3.

4. Expliquer l’instruction « côté / 3 » de la ligne 8.

Après le grand triangle, il faut tracer le petit triangle équilatéral CDE, de côté \(\text{CE}=80\) mm. Or

\[\frac{240}{3}=80.\]

La ligne 8 remplace donc la valeur \(240\) de la variable par \(80\) : le côté du petit triangle est trois fois plus petit que celui du grand. Le petit triangle est une réduction de rapport \(\dfrac{1}{3}\) du grand ; en rappelant ensuite le bloc « triangle » depuis C, le lutin trace CDE.