Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Or \(2{,}7 \times 10^{0} = 2{,}7\) et \(2{,}7 \times 10^{7} = 27\,000\,000\) sont plus grands que 1 ; seul \(2{,}7 \times 10^{-7} = 0{,}000\,000\,27\) convient, ce qui correspond bien à un événement très rare. Réponse A.
2. La multiplication est prioritaire sur la soustraction : \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{4} = \dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10}\). Puis \(\dfrac{3}{5} – \dfrac{7}{10} = \dfrac{6}{10} – \dfrac{7}{10} = -\dfrac{1}{10}\). Réponse A.
3. La baisse est de \(80 – 60 = 20\) €. Rapportée au prix de départ : \(\dfrac{20}{80} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\), soit une réduction de 25 % : réponse B.
4. Le codage indique que F est le milieu de [AB], donc \(\text{AF} = \dfrac{1}{2}\text{AB}\) : l’homothétie de centre A qui envoie B sur F a pour rapport \(\dfrac{1}{2}\) (et non 2, ce qui écarte la réponse A). Cette homothétie de rapport \(\dfrac{1}{2}\) envoie tout point M sur le milieu de [AM]. Comme G est le milieu de [AD], c’est D qui est transformé en G, et non G en D (réponse B fausse). Enfin, les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc E est le milieu de [AC] : l’homothétie transforme C en E. Réponse C.
5. On range les 9 valeurs dans l’ordre croissant : 3 – 5 – 8 – 10 – 11 – 12 – 14 – 17 – 20. Avec 9 valeurs, la médiane est la 5e : il y a 4 valeurs avant et 4 après. La médiane vaut 11. Réponse C.
Exercice 2 :
1. a. \(78 = 2 \times 39 = 2 \times 3 \times 13\) et \(51 = 3 \times 17\). Les nombres 2, 3, 13 et 17 sont premiers, donc ces écritures sont bien les décompositions en facteurs premiers : \(78 = 2 \times 3 \times 13\) et \(51 = 3 \times 17\).
b. Pour que les paniers soient identiques et que tous les légumes soient utilisés, le nombre de paniers doit diviser à la fois 39, 78 et 51. On cherche donc le plus grand diviseur commun à ces trois nombres. En comparant les décompositions \(39 = 3 \times 13\), \(78 = 2 \times 3 \times 13\) et \(51 = 3 \times 17\), le seul facteur premier présent dans les trois est 3 (13 ne divise pas 51). Le PGCD vaut 3 : José peut préparer au maximum 3 paniers.
c. On divise chaque quantité par 3 : \(39 : 3 = 13\), \(78 : 3 = 26\) et \(51 : 3 = 17\). Chaque panier contiendrait 13 salades, 26 carottes et 17 aubergines.
2. a. On effectue la division euclidienne de 51 par 13 : \(51 = 13 \times 3 + 12\), avec \(12 \lt 13\). Chacun des 13 paniers reçoit donc 3 aubergines, ce qui en utilise 39, et il en reste 12 aubergines non utilisées.
b. Pour que toutes les aubergines soient réparties, il faut que leur nombre soit un multiple de 13. Le premier multiple de 13 supérieur à 51 est \(13 \times 4 = 52\). Il suffit donc de cueillir 1 aubergine supplémentaire ; chaque panier en contiendra alors 4.
3. Le nombre de tomates cueillies doit être un multiple de 13 (pour les répartir équitablement dans les 13 paniers sans perte) et être compris entre 110 et 125. Les multiples de 13 voisins sont \(13 \times 8 = 104\), \(13 \times 9 = 117\) et \(13 \times 10 = 130\). Seul 117 est dans l’intervalle. José doit donc cueillir au maximum 117 tomates, soit 9 tomates par panier.
Exercice 3 :
1. Sur le plan, les segments [AC], [BE] et [GF] portent le même codage : ils ont la même longueur, donc BE = AC = 2,5 m. Comme E appartient au segment [BD], on a \(\text{DE} = \text{BD} – \text{BE} = 4{,}3 – 2{,}5 = 1{,}8\). On a bien DE = 1,8 m.
2. Le triangle DEF est rectangle en E. Dans ce triangle, [DE] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{EFD}}\) et [DF] est l’hypoténuse. On utilise donc le sinus :
\[\sin \widehat{\text{EFD}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{DF}} \quad \text{donc} \quad \sin 30^\circ = \dfrac{1{,}8}{\text{DF}}\]
d’où \(\text{DF} = \dfrac{1{,}8}{\sin 30^\circ} = \dfrac{1{,}8}{0{,}5} = 3{,}6\). La longueur du toit de la terrasse est bien DF = 3,6 m.
3. Aire du toit de la terrasse : \(12 \times 3{,}6 = 43{,}2\ \text{m}^2\). Nombre de rouleaux nécessaires : \(43{,}2 : 6 = 7{,}2\). Sept rouleaux ne couvriraient que 42 m², ce qui est insuffisant ; il faut arrondir à l’entier supérieur. Matthieu doit acheter 8 rouleaux de laine de roche.
4. Le quadrilatère ABEC a trois angles droits (en A, B et E) : c’est un rectangle, donc CE = AB = 8 m et (CE) est perpendiculaire à (BD). Le triangle CDE est donc rectangle en E, avec DE = 1,8 m et CE = 8 m. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{CD}^2 = \text{CE}^2 + \text{DE}^2 = 8^2 + 1{,}8^2 = 64 + 3{,}24 = 67{,}24\]
Donc \(\text{CD} = \sqrt{67{,}24} = 8{,}2\) (car \(8{,}2^2 = 67{,}24\)). La longueur du toit de la partie habitable est bien CD = 8,2 m.
5. La couche de ouate forme un pavé droit de 12 m sur 8,2 m, d’épaisseur 10 cm = 0,1 m. Son volume est \(V = 12 \times 8{,}2 \times 0{,}1 = 9{,}84\ \text{m}^3\). Chaque mètre cube de ouate pèse 40 kg, donc la masse vaut \(9{,}84 \times 40 = 393{,}6\) kg. Matthieu doit acheter 393,6 kg de ouate de cellulose.
Exercice 4 :
1. D’après les angles droits codés sur la figure, la droite (PN) est perpendiculaire à (DM) et la droite (VM) est aussi perpendiculaire à (DM). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : (PN) et (VM) sont parallèles.
2. Les points D, P, V sont alignés, les points D, N, M sont alignés, et les droites (PN) et (VM) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles DPN et DVM :
\[\dfrac{\text{DP}}{\text{DV}} = \dfrac{\text{DN}}{\text{DM}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{VM}}\]
On utilise l’égalité \(\dfrac{\text{DP}}{\text{DV}} = \dfrac{\text{PN}}{\text{VM}}\), soit \(\dfrac{3}{3{,}8} = \dfrac{\text{PN}}{0{,}741}\). D’où \(\text{PN} = \dfrac{3 \times 0{,}741}{3{,}8} = \dfrac{2{,}223}{3{,}8} = 0{,}585\) km. Au panneau, Fabienne se trouve à 585 m d’altitude.
3. Elle a parcouru 3 km en 2 h, donc sa vitesse moyenne est \(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\) : elle a marché à 1,5 km/h sur le trajet [DP].
4. Il lui reste \(\text{PV} = 3{,}8 – 3 = 0{,}8\) km à parcourir à 1,2 km/h. La durée correspondante est \(t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{0{,}8}{1{,}2} = \dfrac{2}{3}\) h, soit \(\dfrac{2}{3} \times 60 = 40\) min. Durée totale de l’aller : 2 h + 40 min = 2 h 40 min. Comme 2 h 40 min est supérieur à 2 h 30 min, Fabienne a dépassé la durée estimée, de 10 minutes.
Exercice 5 :
1. a. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Or la courbe \(\mathcal{C}_f\) de l’annexe n’est pas une droite (c’est une courbe qui descend puis remonte). Donc \(f\) n’est pas une fonction affine.
b. On lit sur le graphique les ordonnées des points de \(\mathcal{C}_f\) d’abscisses \(-1\), 0, 1 et 2 :
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 0 | \(-3\) | \(-4\) | \(-3\) | 0 | 5 |
c. La cellule B1 contient la valeur de \(x\), et la question 3 donne \(f(x) = (x + 3)(x – 1)\). La bonne formule est donc =(B1 + 3)*(B1 − 1). On peut le vérifier : pour \(x = -3\), elle donne \(0 \times (-4) = 0\), ce qui correspond à la cellule B2. La formule =B1 + 3 donnerait aussi 0 en B2, mais \(-2 + 3 = 1\) en C2 au lieu de \(-3\) : elle est donc à rejeter.
2. a. \(g(-2) = 2 \times (-2) + 1 = -4 + 1 = -3\). L’image de \(-2\) par \(g\) est \(-3\).
b. \(g(3) = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1\), donc \(g(3) = 7\).
c. On cherche \(x\) tel que \(g(x) = 2\) : \(2x + 1 = 2\), donc \(2x = 1\), puis \(x = \dfrac{1}{2}\). L’antécédent de 2 par \(g\) est \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\).
d. La représentation graphique de \(g\), fonction affine, est une droite. Il suffit de deux points, par exemple les points de coordonnées \((-2\ ;\ -3)\) et \((3\ ;\ 7)\) trouvés aux questions précédentes ; on peut contrôler avec un troisième point comme \((0\ ;\ 1)\). On trace sur l’annexe la droite passant par ces points (elle a pour coefficient directeur 2 et coupe l’axe des ordonnées en 1).
3. a. On utilise la double distributivité : \((x + 3)(x – 1) = x \times x – x \times 1 + 3 \times x – 3 \times 1 = x^2 – x + 3x – 3\), d’où \((x + 3)(x – 1) = x^2 + 2x – 3\).
b. On résout l’équation \(f(x) = g(x)\) :
\[x^2 + 2x – 3 = 2x + 1\]
En retirant \(2x\) des deux côtés puis en ajoutant 3 : \(x^2 = 4\). Les nombres dont le carré vaut 4 sont 2 et \(-2\). Donc \(f(x) = g(x)\) pour \(x = -2\) et pour \(x = 2\). Vérification : \(f(2) = 5 \times 1 = 5\) et \(g(2) = 5\) ; \(f(-2) = 1 \times (-3) = -3\) et \(g(-2) = -3\). Graphiquement, ce sont les abscisses des deux points d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) et de la droite tracée en 2. d.
Exercice 6 :
1. a. Les points A, B et X sont alignés, donc l’angle \(\widehat{\text{ABX}}\) est plat et mesure 180°. Les angles \(\widehat{\text{ABC}}\) et \(\widehat{\text{XBC}}\) sont adjacents et supplémentaires : \(\widehat{\text{XBC}} = 180^\circ – 120^\circ\), soit \(\widehat{\text{XBC}} = 60^\circ\).
b. Un hexagone a 6 côtés : il faut répéter 6 fois « avancer puis tourner ». À chaque sommet, le lutin qui arrive dans la direction de [AB] doit repartir dans la direction de [BC] : il tourne de l’angle extérieur \(\widehat{\text{XBC}}\) calculé à la question précédente, soit 60°. Le bloc complété est :
définir Hexagone
stylo en position d'écriture
répéter 6 fois
avancer de (longueur)
tourner ↺ de 60 degrés
relever le stylo
On peut vérifier : le lutin fait \(6 \times 60^\circ = 360^\circ\), soit exactement un tour complet, et revient à son point de départ dans sa direction initiale. Il faut donc écrire 6 et 60.
2. a. La boucle « répéter 5 fois » appelle le bloc Hexagone une fois à chaque passage : le script trace 5 hexagones réguliers.
b. Avant la boucle, la variable longueur est fixée à 32 : les côtés du 1er hexagone mesurent 32 pas.
c. Après le tracé du 1er hexagone, la longueur est multipliée par 1,5 : \(32 \times 1{,}5 = 48\). Les côtés du 2e hexagone mesurent 48 pas.
d. Les longueurs successives sont 32, 48, 72, 108 et 162 : les hexagones sont de plus en plus grands, ce qui écarte le dessin 1 (hexagones identiques). Par ailleurs, le lutin ne se déplace jamais entre deux hexagones : chaque tracé revient au point de départ avec la même orientation (vers la droite), donc tous les hexagones partent du même sommet, avec leur côté inférieur sur la même droite horizontale. Ils ne sont pas concentriques comme dans le dessin 2. Le script correspond au dessin 3.
Retour à l’énoncé : Brevet de maths 2023 en Nouvelle-Calédonie : sujet et corrigé.
