Cette fiche rassemble 30 exercices de seconde pour apprendre à manipuler la valeur absolue d’un réel, vue comme une distance sur la droite graduée, et à décrire les intervalles de \(\mathbb{R}\). Les premiers exercices demandent de calculer et de simplifier sans calculatrice, de lire des distances sur un axe, puis de résoudre des équations et des inéquations du type \(|x-a|\leq\, r\).
La seconde partie est consacrée aux intervalles : notations avec crochets, représentation graphique, symboles \(\in\) et \(\notin\), intersection et réunion de deux ensembles, passage d’une inégalité à un intervalle. Le centre et le rayon d’un intervalle font le lien entre les deux notions, et quelques questions « vrai ou faux » obligent à justifier par un contre-exemple ou une propriété.
Cherche chaque exercice au brouillon en traçant une droite graduée dès que possible, puis compare ta démarche avec le corrigé détaillé des exercices : chaque réponse y est justifiée étape par étape, ce qui permet de repérer précisément une erreur de signe ou de crochet.
Exercice 1 (exercices valeur absolue)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes :
a) | 2 – x | < 4
b) | 6 – 2 x | = 3
c) | x + 2 | > 3
d) | x + 2 | < | x + 3 |
e) | x3 – 1 | + π > 0
f) 3 < | x + 2 | < 4
g) | 4 x² – 12 x + 9 | = 4
h) | 3 x + 1 | + | 1 – x | > 3
i) | 1 + x² | = 2x
Exercice 2 :
Calculer.
a) \(|-4|\) b) \(|3{,}8|\) c) \(|-\frac{100}{3}|\)
d) \(|5-6|\) e) \(|\sqrt{17}-2|\) f) \(|2-\sqrt{17}|\)
Exercice 3 (exercices valeur absolue)
Sans calculatrice, simplifier :
a) \(|4|+|-3|\) b) \(|1{,}2|-|-1{,}2|\)
c) \(\frac{|5-8|-3}{2}\) d) \(2|4-10|+|7-5|\)
Exercice 4 :
1.a) Sur une droite graduée, placer les nombres 5 et \(\frac{1}{3}\).
b) Calculer la distance entre 5 et \(\frac{1}{3}\).
2. Reprendre la question 1. avec 3 et \(-\frac{4}{5}\).
3. Reprendre la question 1. avec -1 et \(-\frac{4}{5}\).
Exercice 5 :
A l’aide d’une valeur absolue, écrire la distance entre :
a) \(\frac{125}{3}\) et 2. b) \(\sqrt{2}\) et 5
c) – 5 et \(\frac{12}{5}\) d) \(\pi\) et 4
Exercice 6 :
Sans calculatrice, simplifier :
a) \(|5-\pi|\) b) \(|8-\frac{2}{3}|\) c) \(|2-\frac{9}{2}|\)
d) \(|-1-8|\) e) \(|-5-\pi|\) f) \(|\frac{1}{2}+6|\)
Exercice 7 :
De la même façon que \(|x-3|\) représente la distance entre le nombre réel \(x\) et 3,
exprimer en termes de distance :
a) \(|x-100|\) b) \(|x-\frac{1}{3}|\)
c) \(|x+5|\) d) \(|1{,}35-x|\)
e) \(|-7-x|\) f) \(|\pi-x|\)
Exercice 8 :
Déterminer l’ensemble, sous la forme d’intervalle, des réels \(x\) vérifiant :
a) \(|x-10|\leq\,\, 1\) b) \(|x-2{,}5|\leq\,\, 0{,}2\) c) \(|x-\frac{1}{2}|\leq\,\, \frac{5}{2}\)
Exercice 9 :
On considère un intervalle [a ; b] avec a et b deux nombres réels.
On appelle centre de l’intervalle [a ; b] le nombre \(c=\frac{a+b}{2}\)
et rayon de l’intervalle [a ; b] le nombre \(r=\frac{b-a}{2}\).
Graphiquement, on a :
1. a) Calculer le centre et le rayon de [2 ; 6].
b) Traduire |x – 4| en termes de distance entre deux réels.
c) Recopier et compléter: \(x\in[2;6]\Leftrightarrow |x-4|\leq\,\, …\)
2. De la même manière, recopier et compléter :
a) \(x\in[1;25]\Leftrightarrow |x-13|\leq\,\, …\).
b) \(x\in[6;20]\Leftrightarrow |x-…|\leq\,\, …\)
c) \(x\in[1{,}2;3]\Leftrightarrow |x-…|\leq\,\, …\)
Exercice 10 :
Ecrire une inégalité vérifiée par \(x\) et utilisant une valeur absolue dans les cas suivants.
a) \(x\in [-4;5]\) b) \(x\in [0;1{,}1]\) c) \(x\in [ \frac{1}{3};\frac{2}{3}]\)
Exercice 11 :
On donne un axe gradué, sur lequel on a placé les points A, B et C.
Compléter les pointillés.
a. AB = …. b. AC = … c. BC = … d. CC = …
Exercice 12 :
On donne un axe gradué, sur lequel on a placé les points A, B et C.
Compléter les pointillés.
a. AB = …. b. AC = … c. BC = …
Exercice 13 :
Ecrire sans les barres de valeurs absolues les nombres :
\(a.\,|\,(1-\sqrt{2})\,^2\,|\)
\(b.\,|\,2\sqrt{2}-\sqrt{3}|\)
\(c.\,|\,6-2\pi\,|\)
\(d.\,\frac{\,|\,-2|}{|\,-5+1|}\)
Exercice 14 :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
a. \(|x|=5\) b. \(|-x|=19\) c. \(|x-7|=0\)
d. \(|x+5{,}4|=0\) e. \(|x-5|=8\) f. \(|x-\frac{7}{2}|=2\)
Exercice 15 :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :
a. \(|x-2|\leq\, 5\) b. \(|x-5|\leq\, 1\) c. \(|x+1{,}5|+2{,}5\lt 6\)
d. \(|x-\sqrt{3}|\lt \sqrt{3}\) e. \(|x-2|\geq\, \sqrt{3}\) f. \(|x+\pi|\lt \sqrt{5}\)
Exercice 16 :
Recopier et compléter le tableau ci-dessous :
|
Enoncé |
Intervalle |
Représentation graphique |
| \(-1\leq\,\,\,x<3\) | x \(\in\) | |
| \(4>x>0\) | x \(\in\) | |
| \(-7\geq\,\,\,x>\,-8\) | x \(\in\) | |
| \(x\in\,\mathbb{R}^+\) | x \(\in\) | |
| \(x\neq\,5\) | x \(\in\) |
Exercice 17 :
Traduire sous forme d’intervalle :
1) y > – 3 et y < 4 2) y > – 3 ou y < 4
3) \(y\leq\,\,\,\frac{1}{3}\) et \(y\leq\,\,\,\frac{1}{2}\) 4) \(y\leq\,\,\,\frac{1}{3}\) ou \(y\leq\,\,\,\frac{1}{2}\)
Exercice 18 :
Compléter avec les symboles \(\in\) ou \(\notin\) :
1) 7 … ] 0 ; 7 [
2) 5,9 … ] 5,8 ; +∞ [
3) – 0,25 … ] – 0,3 ; – 0,2 [ et – 0,25 … ] 1 ; 2 ]
4) – 0,199 … ] – 0,2 ; – 0,19 [
5) \(\pi\)…. [ 3,14 ; 3,141 [
Exercice 19 :
Vrai ou faux ?
1) Si x ∈ [ 6,7 ; +∞ [ alors x ∈ [ 6 ; +∞ [.
2) Si x ∈ ] – 3 ; 4 [ alors x ∈ [ – 2 ; 5 [.
3) Si x ∉ [ – 5 ; 2[ alors x ∈ ] \(-\infty\) ; – 3 [ ∪ [ 2 ; +∞[.
4) L’intervalle ] 0 ; 4[ est inclus dans [ 0 ; 4 [.
5) \(\mathbb{N}\,\subset\,\mathbb{Q}^+\).
6) Si \(x\,\notin\,\mathbb{Q}\) alors \(x\,\notin\,\mathbb{D}\).
Exercice 20 :
Simplifier les notations suivantes lorsque c’est possible.
A = [ – 5 ; 7[ ∪ [ – 2 ; 12 [
B = [ 0 ; +∞ [ ∪ ] – 2 ; +∞ [
C = ] –∞ ; 0 [ ∪ [ 0 ; +∞ [
D = ] -∞ ; 4/3 [ ∩ [ – 10 ; 10 ]
E = [ – 4 ; [ ∪ ] \(\frac{1}{2}\) ; 10]
Exercice 21 :
Représenter I et J sur une droite graduée, puis déterminer I ∩ J et I ∪ J.
1) I = [ 2 ; 5,5 ] et J = ] 1 ; 3 ].
2) I = [ – 1 ; +∞ [ et J = ] –2 ; 3 ].
3) I = ] – 1 ; 3 ] et J = [ – \(\sqrt{2}\); \(\pi\) [.
4) \(I\,=\,\mathbb{R}^-\) et \(J\,=\,\mathbb{R}^+\).
5) I = {1 ; 2 ; 3 ; 4} et J = [ – 5 ; 5 ].
Exercice 22 :
On considère des droites graduées sur lesquelles on a marqué des ensembles de nombres.
Donner l’intervalle correspondant.
Exercice 23 :
Représenter sur une droite graduée et décrire, à l’aide d’un intervalle, chacun des ensembles de nombres réels \(x\) tels que :
a) \(0\leq\,\,\,x\leq\,\,\,3\) b) \(-2<x<1\)
c) \(x\leq\,\,\,9\) d) \(x>-3{,}5\)
Exercice 24 :
Représenter sur une droite graduée chacun des intervalles suivants.
a) \(]1;6]\) b) \([-0{,}5;3{,}2]\)
c) \(]-\infty;2]\) d) \([0;+\infty[\)
Exercice 25 :
Ecrire les inégalités vérifiées par les réels \(x\) pour chacun des cas suivants.
a) \(x\in[0;1{,}2]\) b) \(x\in]-\frac{5}{3};3]\)
c) \(x\in[4{,}73;+\infty[\) d) \(x\in\,]-\infty;0[\)
Exercice 26 :
Recopier et compléter par les signes \(\in\) et \(\notin\).
a) \(1{,}4…[0;7]\) b) \(-\pi…]-3;-1[\)
c) \(6…[\frac{7}{3};+\infty[\) d) \(-3…\,]-\infty;-3{,}5[\)
Exercice 27 :
Sans calculatrice, dire si \(\frac{2}{3}\) appartient aux intervalles suivants.
a) \([0;\frac{4}{5}]\) b) \([\frac{3}{5};1]\) c) \([\frac{1}{3};\frac{2}{5}]\)
Exercice 28 :
Soit \(I=[-6;8]\) et \(J=]2;100[\).
Dire si chacun des nombres suivants appartient à I, à J, à \(I\cap\,J\), à \(I\cup\,J\).
a) – 10 b) – 6 c) – 0,5 d) 2
e) 8,1 f) 99,9 g) 1 000 h) 0
Exercice 29 :
Compléter le tableau suivant :
| Valeur absolue | Distance | Intervalle(s) auxquels appartient \(x\) | Inégalités vérifiées par \(x\) |
| \(|x+2|\lt 1\) | |||
| \(d(x,a)\geq\, r\) | |||
| \(x\leq\, -5\) ou \(x\geq\, 5\) | |||
| \(x\in\,]2;8[\) |
Exercice 30 :
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
Justifier.
a. Quels que soient les réels a et b, \(|a\,+\,b|\,=\,|a|\,+|b|\).
b. Si \(|x|=|-x|\) alors x=0.
c. \(|a-b|=|b-a|\)
d. \(4|x+y|=|4x+4y|\).
Exercices valeur absolue : méthode de travail
Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur exercices valeur absolue vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Intervalle (mathématiques) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec vecteurs et translation : exercices de maths en 2de corrigés en PDF.
