Exercices maths terminale S et ES

Exercices sur la comparaison, simplification et dérivée de logarithmes en terminale S

La série 3 des exercices sur les fonctions logarithmes en terminale S afin de se préparer en ligne et d’imprimer les documents librement en PDF.

Signe d’une fonction

soit g définie sur ]0;+infini[ par g(x)= 2x²+1-ln(x)

quel est le signe de g pour x>0?.

Corrigé de cet exercice

Dérivée

Soit g la fonction définie sur ]0;+[ par: g(x) = 1-x2– ln(x)

1.calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g

2. Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle ]0;+[ .

Corrigé de cet exercice

Logarithme népérien et simplifications

1) simplifier \frac{lne}{ln e^2-ln(\frac{1}{e})}

2) Déterminer le plus petit entier n tel que 1,05n1,5

3) Chaque année, la population d’une ville diminue de 3%. Au bout de combien d’année, la population de cette ville aura-t-elle diminué de plus de 30%

Corrigé de cet exercice

Bac et logarithmes

Partie A :

Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0;+\infty[ par g(x)=x-xlnx.

1.Déterminer les limites de la fonction g en 0 et +\infty.

2.Montrer que g est dérivable sur l’intervalle ]0;+\infty[ et que g'(x)=-lnx.

3.Dresser le tableau de variations de la fonction g.

Partie B :

soit (u_n) la suite définie pour tout n\in\mathbb{N}^* par u_n=\frac{e^n}{n^n}.

1.Conjecturer, à l’aide de la calculatrice ;

a. le sens de variation de la suite(u_n) ;

b. la limite éventuelle de la suite (u_n).

2.Soit (v_n) la suite définie pour tout n\in\mathbb{N}^* par v_n=ln(u_n).

a.Montrer que v_n=n-nln(n).

b.En utilisant la partie A, déterminer le sens de variation de la suite (v_n).

3.Montrer que la suite (u_n) est bornée.

4.Montrer que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

Corrigé de cet exercice

Exercice : comparaison entre x^2 et 2^x

Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=ln(2^x)-ln(x^2).

1. Démontrer que f(x)=xln2-2lnx.

2. Calculer f(2) et f(4).

3. Calculer la dérivée f ‘ de f.En déduire les variations de f.

4. A l’aide des questions 2 et 3, préciser le signe de f.

5. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels on a 2^n\geq\,\,n^2.

Corrigé de cet exercice


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