Corrigé du contrôle de maths 4ème : produits, quotients de fractions et problèmes

Exercice 1 : Automatismes (3 points)

1. \(\dfrac{7}{4} \times \dfrac{4}{7} = 1\) : l’inverse de \(\dfrac{7}{4}\) est \(\dfrac{4}{7}\).
2. \((-5) \times (-\dfrac{1}{5}) = 1\) : l’inverse de \(-5\) est \(-\dfrac{1}{5}\) (soit \(-0{,}2\)).
3. \(\dfrac{3}{5} \times 40 = \dfrac{3 \times 40}{5} = 3 \times 8\) : les \(\dfrac{3}{5}\) de 40 valent 24.
4. \(\dfrac{2}{7} \times 7 = \dfrac{2 \times 7}{7}\), donc \(\dfrac{2}{7} \times 7 = 2\).
5. \(\dfrac{1}{2} : 2 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}\), donc \(\dfrac{1}{2} : 2 = \dfrac{1}{4}\).
6. \(-\dfrac{3}{4} \times (-8) = \dfrac{3 \times 8}{4} = 3 \times 2\), donc \(-\dfrac{3}{4} \times (-8) = 6\) (produit de deux nombres négatifs, donc positif).

Barème : 0,5 point par résultat exact et simplifié.

Exercice 2 : Multiplier des fractions (4 points)

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. On décompose avant de calculer pour simplifier.

1. \(A = \dfrac{4 \times 3}{9 \times 8} = \dfrac{4 \times 3}{3 \times 3 \times 4 \times 2}\), donc \(A = \dfrac{1}{6}\).
2. Le produit d’un nombre négatif et d’un nombre positif est négatif :

   \(B = -\dfrac{10 \times 14}{21 \times 15} = -\dfrac{2 \times 5 \times 2 \times 7}{3 \times 7 \times 3 \times 5}\), donc \(B = -\dfrac{4}{9}\).

3. \(C = -\dfrac{6 \times 5}{12} = -\dfrac{6 \times 5}{6 \times 2}\), donc \(C = -\dfrac{5}{2}\).
4. Il y a deux facteurs négatifs, donc \(D\) est positif :

   \(D = \dfrac{9 \times 10 \times 6}{4 \times 27 \times 5} = \dfrac{9 \times 2 \times 5 \times 2 \times 3}{2 \times 2 \times 9 \times 3 \times 5}\), donc \(D = 1\).

Barème : 1 point par calcul : 0,25 point pour le signe, 0,25 point pour la méthode, 0,5 point pour le résultat simplifié.

Exercice 3 : Diviser des fractions (4 points)

1. \(E = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{10}{9} = \dfrac{3 \times 2 \times 5}{5 \times 3 \times 3}\), donc \(E = \dfrac{2}{3}\).
2. \(F = -\dfrac{7}{8} \times \dfrac{4}{21} = -\dfrac{7 \times 4}{2 \times 4 \times 3 \times 7}\), donc \(F = -\dfrac{1}{6}\).
3. L’inverse de \(-8\) est \(-\dfrac{1}{8}\) : \(G = \dfrac{4}{9} \times (-\dfrac{1}{8}) = -\dfrac{4}{9 \times 2 \times 4}\), donc \(G = -\dfrac{1}{18}\).
4. Le trait de fraction principal indique une division : \(H = \dfrac{5}{6} : \dfrac{10}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{5 \times 3}{2 \times 3 \times 2 \times 5}\), donc \(H = \dfrac{1}{4}\).

Barème : 1 point par calcul : 0,5 point pour la multiplication par l’inverse, 0,5 point pour le résultat simplifié avec le bon signe.

Erreur fréquente : multiplier par la fraction elle-même au lieu de son inverse, ou prendre l’inverse de la première fraction au lieu de la seconde.

Exercice 4 : Enchaînements de calculs (3 points)

1. La multiplication est prioritaire sur l’addition.

   \(K = \dfrac{2}{3} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\)

   \(K = \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12}\)

   \(K = \dfrac{17}{12}\)

2. On calcule d’abord la parenthèse.

   \(L = (\dfrac{5}{6} – \dfrac{3}{6}) : \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{6} : \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{3} : \dfrac{4}{9}\)

   \(L = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{12}\)

   \(L = \dfrac{3}{4}\)

Barème : pour chaque calcul, 0,5 point pour l’ordre des opérations, 0,5 point pour les calculs intermédiaires, 0,5 point pour le résultat simplifié.

Erreur fréquente : dans \(K\), calculer d’abord \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1\), puis multiplier par \(\dfrac{9}{4}\) : on obtient \(\dfrac{9}{4}\), ce qui est faux.

Exercice 5 : Le budget de Maya (6 points)

1. \(\dfrac{1}{4} \times 240 = 240 : 4 = 60\). Maya dépense 60 € pour le concert.
2. Après le concert, il lui reste \(1 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\) de la somme de départ. Le vélo représente les \(\dfrac{2}{3}\) de ce reste :

   \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 2 \times 2} = \dfrac{1}{2}\)

   Le vélo représente bien \(\dfrac{1}{2}\) de la somme de départ, soit \(240 : 2 = 120\) €.

3. \(1 – \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{4} – \dfrac{1}{4} – \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{4}\). Il reste à Maya \(\dfrac{1}{4}\) de la somme de départ.

   Vérification : \(240 – 60 – 120 = 60\) et \(\dfrac{1}{4} \times 240 = 60\). Il lui reste bien 60 €.

4. Le reste après le concert est formé de trois quarts ; les \(\dfrac{2}{3}\) de ce reste correspondent à deux de ces trois quarts.

   

5. Après sa première dépense, il reste à Inès \(1 – \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\) de la somme. Elle en dépense la moitié et garde donc l’autre moitié :

   \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{10}\), et \(\dfrac{3}{10} \times 240 = \dfrac{720}{10} = 72\).

   Inès garde 72 € et Maya 60 €. On peut aussi comparer les fractions : \(\dfrac{3}{10} = \dfrac{6}{20}\) et \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{20}\).

   C’est Inès qui garde le plus d’argent (72 € contre 60 €).

Barème : a) 1 point ; b) 0,5 point pour le reste \(\dfrac{3}{4}\), 0,5 point pour le produit \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}\), 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour la fraction, 0,5 point pour la vérification ; d) 0,5 point pour le partage correct, 0,5 point pour les montants ; e) 0,5 point pour \(\dfrac{3}{10}\), 0,5 point pour 72 €, 0,5 point pour la conclusion.

Erreur fréquente : calculer les \(\dfrac{2}{3}\) de 240 € au lieu des \(\dfrac{2}{3}\) du reste, ce qui donne 160 € pour le vélo.

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Après le corrigé du contrôle : produits, quotients de fractions et problèmes

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