Corrigé du contrôle de maths 4ème : développer et réduire des expressions

Exercice 1 : Substituer une valeur (3 points)

On remplace la lettre par la valeur donnée, en rétablissant les signes \(\times \) sous-entendus et en mettant les nombres négatifs entre parenthèses.

1. \(A = 3 \times 2^2 – 5 \times 2 + 2 = 3 \times 4 – 10 + 2 = 12 – 10 + 2\), donc pour \(x = 2\), \(A = 4\).
2. \(A = 3 \times (-1)^2 – 5 \times (-1) + 2 = 3 \times 1 + 5 + 2\), donc pour \(x = -1\), \(A = 10\).
3. \(B = (2 \times (-2) – 1) \times (-2 + 3) = (-4 – 1) \times 1 = (-5) \times 1\), donc pour \(y = -2\), \(B = -5\).

Barème : 1 point par calcul : 0,5 point pour la substitution correcte (parenthèses autour des nombres négatifs), 0,5 point pour le résultat.

Erreur fréquente : écrire \(-5 \times -1\) sans parenthèses, puis se tromper de signe ; ou calculer \((-1)^2 = -1\) alors que \((-1)^2 = (-1) \times (-1) = 1\).

Exercice 2 : Réduire des expressions (4 points)

On regroupe les termes de même nature (les termes en \(x^2\), les termes en \(x\), les nombres) ; dans un produit, on multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles.

1. \(5x + 3x = (5 + 3)x\), donc \(5x + 3x = 8x\).
2. \(7a – 10a = (7 – 10)a\), donc \(7a – 10a = -3a\).
3. \(4x – 9x + 3 + 5\), donc \(4x + 3 – 9x + 5 = -5x + 8\).
4. \(2x^2 – x^2 + 3x + x\), donc \(2x^2 + 3x – x^2 + x = x^2 + 4x\).
5. \(3 \times 4 \times x \times x\), donc \(3x \times 4x = 12x^2\).
6. \(6 \times (-3) \times y\), donc \(6y \times (-3) = -18y\).
7. \(x \times x \times x = x^3\).
8. La multiplication est prioritaire : \(5 – 6x + 4x\), donc \(5 – 2x \times 3 + 4x = 5 – 2x\).

Barème : 0,5 point par expression correctement réduite.

Erreur fréquente : écrire \(4x + 3 = 7x\) : on ne peut pas ajouter un terme en \(x\) et un nombre.

Exercice 3 : Développer avec la distributivité (4 points)

On utilise la simple distributivité : \(k(a + b) = ka + kb\) et \(k(a – b) = ka – kb\).

1. \(C = 4 \times x + 4 \times 3\), donc \(C = 4x + 12\).
2. \(D = (-3) \times 2a + (-3) \times (-5)\), donc \(D = -6a + 15\).
3. \(E = x \times x – x \times 7\), donc \(E = x^2 – 7x\).

4. \(F = 5 \times 2x + 5 \times 1 – 3 \times x – 3 \times (-4)\)

   \(F = 10x + 5 – 3x + 12\)

   \(F = 7x + 17\)

5. \(G = 2x \times 3x – 2x \times 1 + 4x\)

   \(G = 6x^2 – 2x + 4x\)

   \(G = 6x^2 + 2x\)

Barème : a) et b) 0,5 point chacun ; c), d) et e) 1 point chacun : 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour la réduction.

Erreur fréquente : dans \(F\), écrire \(-3x – 12\) : le produit de \(-3\) par \(-4\) est \(+12\).

Exercice 4 : Supprimer des parenthèses (3 points)

Lorsque des parenthèses sont précédées d’un signe moins, on peut les supprimer à condition de changer le signe de chaque terme qu’elles contiennent.

1. \(H = 7 – x – 4\), donc \(H = -x + 3\) (ou \(3 – x\)).
2. \(K = 3x – 2 – 5x + 8\), donc \(K = -2x + 6\).
3. \(L = x^2 – 2x + 1 + 3x\), donc \(L = x^2 + x + 1\).

Barème : 1 point par expression : 0,5 point pour la suppression correcte des parenthèses, 0,5 point pour la réduction.

Erreur fréquente : ne changer que le signe du premier terme, par exemple écrire \(K = 3x – 2 – 5x – 8\).

Exercice 5 : Factoriser (2 points)

On repère un facteur commun aux deux termes, puis on utilise la distributivité « à l’envers » : \(ka + kb = k(a + b)\).

1. \(6x + 18 = 6 \times x + 6 \times 3\), donc \(6x + 18 = 6(x + 3)\).
2. \(7a – 7 = 7 \times a – 7 \times 1\), donc \(7a – 7 = 7(a – 1)\).
3. \(x^2 + 5x = x \times x + x \times 5\), donc \(x^2 + 5x = x(x + 5)\).
4. \(12y – 8 = 4 \times 3y – 4 \times 2\), donc \(12y – 8 = 4(3y – 2)\).

Barème : 0,5 point par factorisation. En d), \(2(6y – 4)\) est accepté pour 0,25 point, car le facteur commun n’est pas le plus grand possible.

Exercice 6 : Problème : le rectangle découpé (4 points)

1. La longueur du rectangle \(ABCD\) est \(AB = AE + EB = x + 6\) et sa largeur est \(AD = 4\).

   \(P = 2 \times (x + 6) + 2 \times 4 = 2x + 12 + 8\)

   \(P = 2x + 20\) (en cm).

2. Première façon, avec le grand rectangle : \(S = 4 \times (x + 6) = 4(x + 6)\).

   Seconde façon, avec les deux petits rectangles : aire de \(AEFD\) : \(4 \times x = 4x\) ; aire de \(EBCF\) : \(4 \times 6 = 24\). Donc \(S = 4x + 24\).

   \(S = 4(x + 6) = 4x + 24\) (en cm²) : on passe d’une écriture à l’autre grâce à la distributivité de la multiplication sur l’addition.

3. Pour \(x = 3{,}5\) :

   \(P = 2 \times 3{,}5 + 20 = 7 + 20 = 27\)

   \(S = 4 \times 3{,}5 + 24 = 14 + 24 = 38\)

   Le périmètre est de 27 cm et l’aire est de 38 cm².

   Vérification avec l’autre écriture : \(4 \times (3{,}5 + 6) = 4 \times 9{,}5 = 38\).

4. Pour \(x = 1\) : \(4x + 6 = 4 \times 1 + 6 = 10\), alors que l’aire vaut \(4 \times (1 + 6) = 4 \times 7 = 28\). Comme \(10 \neq 28\), Zoé se trompe : elle a oublié de multiplier 6 par 4.

Barème : a) 0,5 point pour l’expression, 0,5 point pour la forme réduite ; b) 0,5 point par écriture de l’aire, 0,5 point pour la propriété ; c) 0,5 point pour le périmètre, 0,5 point pour l’aire avec les unités ; d) 0,5 point pour un contre-exemple correct.

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Après le corrigé du contrôle : développer et réduire des expressions

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