Cercle 6e corrigé : le cercle et constructions : corrigé des

Cercle 6e corrigé : le cercle et constructions : corrigé des exercices de maths en 6ème en PDF.

Cette page rassemble la correction des trente-deux exercices de géométrie consacrés au cercle, niveau sixième. Pour chaque construction, les étapes au compas sont décrites et justifiées, et des figures illustrent plusieurs tracés : cordes, cercles concentriques, positions d’une voiture télécommandée ; les figures formées de demi-cercles sont décrites étape par étape.

Les réponses s’appuient sur une idée clé : tous les points d’un cercle sont à la même distance du centre. C’est elle qui permet de décider si un point appartient au cercle, de retrouver un centre caché, de placer les positions d’un poney ou d’une voiture télécommandée, et de repérer les villes touchées par l’orage. Le vocabulaire (rayon, diamètre, corde, arc) est employé avec précision et le calcul du périmètre est détaillé pas à pas.

Avant de lire une solution, reprenez l’exercice à partir des énoncés sur le cercle en 6e, puis comparez vos tracés et vos phrases avec ce corrigé en notant les erreurs à ne plus refaire.

Exercice 1 (cercle 6e corrigé)

1. Tracer un cercle de centre O et une corde [AB] comme ci-dessous.

2. Tracer une corde [BC] de façon que le point O soit à l’intérieur du triangle ABC.

3. Tracer une corde [BE] de façon que le point O soit à l’extérieur du triangle ABE.

Exercice 2 :

1.2. Voici la figure que nous obtenons :

3. Indiquer pour chaque point A,E,F,G,H s’il appartient ou non au cercle \(\varphi\) .

Uniquement le point G appartient au cercle car AG=2 cm = rayon

Un point appartient au cercle \(\varphi\) lorsque sa distance au centre A est égale au rayon, soit 2 cm :

A est le centre du cercle : il n’appartient pas au cercle (AA = 0 cm).
AE = 4 cm et 4 cm > 2 cm : E est à l’extérieur du cercle.
AF = 2,1 cm et 2,1 cm > 2 cm : F est à l’extérieur du cercle, tout près de lui.
AG = 2 cm : G appartient au cercle.
AH = 1,5 cm et 1,5 cm < 2 cm : H est à l’intérieur du cercle.

Seul le point G appartient au cercle \(\varphi\).

Exercice 3 (cercle 6e corrigé)

1. Tracer un segment [EF], puis le cercle de centre E passant par F.

2. Tracer le cercle de centre F et de rayon EF.

Exercice 4 :

1. Tracer un segment [PQ] et placer son milieu H.

2. Tracer le cercle de centre H passant par P.

Citer un segment qui est un diamètre de ce cercle.

Le segment [PQ] est un diamètre de ce cercle .

Exercice 5 (cercle 6e corrigé)

1. Placer sur la feuille deux points A et B distants de 4 cm.

2. Tracer le cercle de centre A passant par B.

Quel est son rayon ? son diamètre ?

Son rayon est de 4 cm et son diamètre est de 8 cm.

Exercice 6 :

1. Placer un point O sur la feuille.

Tracer le cercle de centre O et de rayon 3 cm.

2. Tracer le cercle de centre O et de diamètre 5 cm.

Exercice 7 (cercle 6e corrigé)

Exercice 8 :

a) On trace d’abord le carré de 6 cm de côté en pointillé et on prolonge chacun de ses côtés de 6 cm. En chaque sommet, on pointe le compas avec un écartement de 6 cm et on trace, à partir du sommet voisin, un quart de cercle de rayon 6 cm qui s’arrête au bout d’un prolongement. Sur ce prolongement de 6 cm, on trace ensuite le demi-cercle de diamètre 6 cm (rayon 3 cm, centre au milieu du prolongement) qui revient au sommet du carré.

b) Cette figure correspond à 2 petits cercles de rayon 3 cm et un grand cercle de rayon 6 cm .

\(P=2\times 2\times \pi\times 3+2\times \pi\times 6\)

\(P=12\pi+12 \pi\)

\(P=24\pi\)

\(P\approx 75{,}4\text{ cm}\)

Le contour est formé de 4 quarts de cercle de rayon 6 cm (soit l’équivalent d’un cercle entier de rayon 6 cm) et de 4 demi-cercles de rayon 3 cm (soit l’équivalent de 2 cercles de rayon 3 cm). En prenant \(\pi\approx 3{,}14\), on trouve \(24\times 3{,}14=75{,}36\).

Le périmètre de la figure est égal à \(24\pi\) cm, soit environ 75,4 cm.

Exercice 9 (cercle 6e corrigé)

Première figure (longueur totale : 4 + 2 + 4 = 10 cm).

Tracer un segment de 10 cm et placer dessus les points situés à 2 cm, 3 cm, 4 cm, 6 cm, 7 cm et 8 cm de son extrémité gauche.
Tracer le cercle rouge de centre le point à 2 cm et de rayon 2 cm (diamètre 4 cm).
Tracer le cercle bleu de centre le point à 8 cm et de rayon 2 cm (diamètre 4 cm).
Au-dessus du segment, tracer le demi-cercle de centre le point à 3 cm et de rayon 3 cm : il va de l’extrémité gauche jusqu’au point à 6 cm.
Au-dessous du segment, tracer le demi-cercle de centre le point à 7 cm et de rayon 3 cm : il va du point à 4 cm jusqu’à l’extrémité droite.
Colorier la partie comprise entre les deux grands demi-cercles et les deux disques.

Seconde figure (diamètre du grand cercle : 6 + 3 + 3 = 12 cm).

Tracer un segment de 12 cm, puis le grand cercle de centre son milieu et de rayon 6 cm.
Tracer le cercle jaune de centre le point à 4,5 cm de l’extrémité gauche et de rayon 4,5 cm (diamètre 6 + 3 = 9 cm).
À l’intérieur, tracer le cercle de centre le point à 3 cm et de rayon 3 cm, puis le cercle de centre le point à 7,5 cm et de rayon 1,5 cm.
Tracer le petit cercle jaune de centre le point à 10,5 cm et de rayon 1,5 cm.

Exercice 10 :

a. On associe chaque numéro à son étiquette :

Numéro	1	2	3	4	5
Étiquette	arc	corde	centre	diamètre	rayon

Le numéro 1 désigne la portion de cercle comprise entre C et D (un arc), le numéro 2 le segment [CD] qui joint deux points du cercle (une corde), le numéro 3 le point O, le numéro 4 le segment [BC] qui passe par O (les codages montrent OB = OC) et le numéro 5 le segment [OE] qui joint le centre à un point du cercle.

b. Exemples de phrases vraies :

O est le centre du cercle.
[CD] est une corde du cercle et la partie du cercle comprise entre C et D est un arc de ce cercle.
[BC] est un diamètre du cercle : il passe par le centre O et O est son milieu.
[OE] est un rayon du cercle, donc OE = OB = OC.

Exercice 11 (cercle 6e corrigé)

1. On compare la distance de chaque point au centre A avec le rayon 1,5 cm :

a. B est à l’intérieur du cercle : AB < 1,5 cm.
b. D est à l’extérieur du cercle : AD > 1,5 cm.
c. E est sur le cercle : AE = 1,5 cm.
d. F est à l’intérieur du cercle, près du bord : AF < 1,5 cm.

2. Les points E et G appartiennent tous les deux au cercle de centre A, donc AE = 1,5 cm et AG = 1,5 cm. Ryan a raison : AE = AG.

Exercice 12 :

Le centre d’un cercle est à la même distance de tous les points du cercle. Il faut donc chercher, parmi E, F, G et H, le point qui est à la même distance de A, de B, de C et de D.

Méthode : on pointe le compas sur l’un des points, on règle l’écartement jusqu’à A, puis on vérifie si le cercle obtenu passe aussi par B, C et D (on peut aussi mesurer les quatre longueurs à la règle).

Pour E : EC est bien plus petit que EA, donc E n’est pas le centre.
Pour G : GD et GA sont plus petits que GB, donc G n’est pas le centre.
Pour H : HB est plus petit que HD, donc H n’est pas le centre.
Pour F : FA = FB = FC = FD.

Le centre du cercle est le point F.

Exercice 13 (cercle 6e corrigé)

Tracer un segment [RT].
Placer le point M, milieu du segment [RT]. On mesure RT et on place M à la moitié de cette longueur : les codages indiquent MR = MT.
Tracer le cercle de centre M passant par R (c’est le cercle de diamètre [RT] : il passe aussi par T puisque MT = MR).

Exercice 14 :

Les quatre petits demi-cercles ont un diamètre de 3 cm, donc la base de la figure mesure 4 × 3 = 12 cm.

Tracer un segment de 12 cm et placer les points situés à 3 cm, 6 cm et 9 cm de son extrémité gauche.
Tracer, au-dessus du segment, les 4 petits demi-cercles de diamètre 3 cm, donc de rayon 1,5 cm : leurs centres sont à 1,5 cm, 4,5 cm, 7,5 cm et 10,5 cm de l’extrémité gauche.
Tracer les 2 demi-cercles moyens de diamètre 6 cm, donc de rayon 3 cm : leurs centres sont à 3 cm et à 9 cm de l’extrémité gauche.
Tracer le grand demi-cercle de diamètre 12 cm, donc de rayon 6 cm, dont le centre est le milieu du segment.

La figure est formée de 4 demi-cercles de rayon 1,5 cm, de 2 demi-cercles de rayon 3 cm et d’un demi-cercle de rayon 6 cm.

Exercice 15 (cercle 6e corrigé)

a. On reproduit le segment [AB] et le point C en reportant les longueurs au compas (ou en les mesurant à la règle).

b. On prend l’écartement AB au compas, on pointe en C et on trace le cercle : tous ses points sont à la distance AB de C.

c. On place un point D n’importe où sur ce cercle.

d. On garde le même écartement AB, on pointe le compas en D et on trace un arc qui coupe le cercle en deux points : ce sont E et F.

Justification : E et F sont sur l’arc de centre D et de rayon AB, donc DE = DF = AB. Comme ils sont aussi sur le cercle de centre C, on a également CE = CF = CD = AB : les triangles CDE et CDF ont leurs trois côtés égaux à AB.

Exercice 16 :

a. On place un point M n’importe où sur la feuille.

b. Le poney est toujours à 8 m du moniteur. Avec l’échelle 1 cm pour 1 m, cette distance est représentée par 8 cm. Les positions possibles du poney sont tous les points situés à 8 cm de M.

On trace le cercle de centre M et de rayon 8 cm : ce cercle représente toutes les positions possibles du poney de Jules.

Exercice 17 (cercle 6e corrigé)

a. On trace un segment [EF] de 5 cm.

b. EM = EF = 5 cm : le point M est à 5 cm du point E. Les emplacements possibles de M forment le cercle de centre E et de rayon 5 cm, c’est-à-dire le cercle de centre E passant par F.

c. Les points situés à 3 cm de F forment le cercle de centre F et de rayon 3 cm.

Exercice 18 :

Les points situés à 4 m de Karim sont sur le cercle de centre K et de rayon 4 m. Sur le quadrillage, 1 carreau représente 1 m : on trace donc le cercle de centre K et de rayon 4 carreaux.

La voiture était à 4 m de Karim aux points où ce cercle coupe le trajet noir. Le cercle coupe chacune des quatre lignes horizontales du trajet en deux points, et il ne touche aucun des petits segments verticaux.

Il y a 8 positions de la voiture situées à 4 m de Karim : ce sont les 8 points rouges de la figure.

Exercice 19 (cercle 6e corrigé)

On place un point P. Le chien peut s’éloigner du piquet d’au plus 5 m, soit 5 cm sur le dessin (1 m est représenté par 1 cm).

Les points qu’il peut atteindre sont tous les points situés à 5 cm ou moins de P. On trace le cercle de centre P et de rayon 5 cm, puis on colorie l’intérieur de ce cercle.

La zone à colorier est le disque de centre P et de rayon 5 cm, cercle compris.

Exercice 20 :

a. Sur la carte, 0,5 cm représente 10 km. Comme 40 km = 4 × 10 km, la distance de 40 km est représentée par 4 × 0,5 cm = 2 cm.

Une ville est dans la zone des orages si elle est à moins de 2 cm de Tours sur la carte. On pointe le compas sur Tours avec un écartement de 2 cm et on regarde quelles villes sont à l’intérieur du cercle :

Amboise, Azay-le-Rideau et Chenonceaux sont dans la zone des orages (à environ 22 km, 22 km et 30 km de Tours).
Blois, Chinon et Valençay ne sont pas dans cette zone (Blois et Valençay sont nettement plus loin ; Chinon est un peu au-delà de 40 km, à environ 42 km).

b. La zone des orages est l’intérieur du cercle de centre Tours et de rayon 2 cm sur la carte : on colorie ce disque.

Exercice 21 (cercle 6e corrigé)

a. Les phrases complétées :

Le cercle \((C_1)\) de centre E passe par les points A, B, C, D et F.
Le segment [EF] est un rayon de ce cercle.
Le segment [AC] est une corde de ce cercle.
E est le milieu du diamètre [AD].

b. Exemples de trois phrases similaires :

Le segment [EB] est un rayon du cercle \((C_1)\).
Le segment [BC] est une corde du cercle \((C_1)\).
Le segment [AD] est un diamètre du cercle \((C_1)\) : il passe par le centre E.

Exercice 22 :

Les trois points M, N et O sont les centres respectifs des cercles \((C_1);(C_2);(C_3)\).

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

[AC] est un diamètre du cercle \((C_2)\) : faux.
A et C sont les points d’intersection des cercles \((C_1)\) et \((C_2)\) : vrai.
[CD] est une corde de deux cercles : vrai.
EO =OD : vrai.
MC est le rayon du cercle \((C_1)\) : vrai.
Le cercle \((C_2)\) passe par les points A, B et C : vrai.

Exercice 23 (cercle 6e corrigé)

Poursuivre chacune des frises ci-dessous, en reproduisant le motif.

À vous de construire la suite…

Méthode : sur le quadrillage, on repère pour chaque cercle ou demi-cercle du motif la position de son centre et son rayon en carreaux. On reporte ensuite le motif en décalant tous les centres du même nombre de carreaux, avec les mêmes écartements de compas, et on colorie comme sur le modèle.

Exercice 24 :

Ecrire un programme de construction pour chacune des figures suivantes :

a. Construire le cercle de centre V et de rayon 4,5 cm.

b. Construire le cercle de centre F et de diamètre 8,6 cm.

c. Tracer un segment [GN] de longueur 3 + 7,6 = 10,6 cm et placer le point A de [GN] tel que GA = 3 cm (on a alors AN = 7,6 cm).

Placer P, milieu de [GN], puis tracer le cercle de centre P et de rayon 5,3 cm (le cercle de diamètre [GN]).

Également, placer R, milieu de [GA], puis tracer le cercle de centre R et de rayon 1,5 cm (le cercle de diamètre [GA]).

Placer I, milieu de [AN], puis tracer le cercle de centre I et de rayon 3,8 cm (le cercle de diamètre [AN]).

Exercice 25 (cercle 6e corrigé)

a. On trace le segment [FG] de 7 cm, puis le cercle de centre F et de rayon 5 cm (écartement du compas : 5 cm).

b. Le cercle de diamètre [FG] a pour centre le milieu de [FG], placé à 3,5 cm de F, et pour rayon 7 ÷ 2 = 3,5 cm.

c. Les points H et I sont sur le cercle de centre F et de rayon 5 cm, donc ils sont tous les deux à 5 cm de F.

FH = 5 cm et FI = 5 cm.

Exercice 26 :

On trace [MN] de 6 cm, le cercle de centre M et de rayon 4 cm, puis le cercle de centre N et de rayon 3 cm. Ils se coupent en A et B.

A et B sont sur le cercle de centre M et de rayon 4 cm, donc AM = 4 cm et BM = 4 cm.
A et B sont sur le cercle de centre N et de rayon 3 cm, donc AN = 3 cm et BN = 3 cm.

Exercice 27 :

a. On associe chaque numéro à son étiquette :

Numéro	1	2	3	4	5
Étiquette	arc	corde	centre	diamètre	rayon

b. Exemples de phrases vraies utilisant chaque étiquette :

Le point O est le centre du cercle.
Le segment [BC] est un diamètre du cercle : il passe par O, qui est son milieu.
Le segment [OE] est un rayon du cercle, donc OE = OB.
Le segment [CD] est une corde du cercle ; la partie du cercle comprise entre C et D (numéro 1) est un arc.

Exercice 28 :

Zoé a tort. AM = AN ne suffit pas : A n’est pas forcément sur le segment [MN]. Par exemple, si A, M et N forment un triangle avec AM = AN = 3 cm et MN = 4 cm, alors A n’est pas sur [MN], donc il n’en est pas le milieu.
Arthur a raison. M et N sont à la même distance de A : ils appartiennent tous les deux au cercle de centre A et de rayon AM.
Léa a tort. Les deux côtés égaux sont [AM] et [AN], qui partent tous deux du sommet A : si les points ne sont pas alignés, le triangle AMN est isocèle en A, et non en M.

Exercice 29 :

Les quatre petits demi-cercles ont un diamètre de 3 cm : la base de la figure mesure donc 4 × 3 = 12 cm.

Tracer un segment de 12 cm et marquer les points situés à 3 cm, 6 cm et 9 cm de son extrémité gauche.
Tracer les 4 petits demi-cercles de rayon 1,5 cm, centrés à 1,5 cm, 4,5 cm, 7,5 cm et 10,5 cm de l’extrémité gauche.
Tracer les 2 demi-cercles de rayon 3 cm, centrés à 3 cm et à 9 cm de l’extrémité gauche.
Tracer le grand demi-cercle de rayon 6 cm, centré au milieu du segment.

Tous les demi-cercles sont tracés du même côté du segment de 12 cm.

Exercice 30 :

1. Le rayon du cercle \(\mathcal{C}\) est 1,5 cm. Un point du cercle est à 1,5 cm de A, un point intérieur à moins de 1,5 cm, un point extérieur à plus de 1,5 cm.

a. B est à l’intérieur du cercle : AB < 1,5 cm.
b. D est à l’extérieur du cercle : AD > 1,5 cm.
c. E est sur le cercle : AE = 1,5 cm.
d. F est à l’intérieur du cercle : AF < 1,5 cm.

2. E et G sont deux points du cercle de centre A, donc AE = AG = 1,5 cm. Ryan a raison.

Exercice 31 :

Étape 1 : tracer un segment [RT].
Étape 2 : placer le point M, milieu du segment [RT] (on mesure RT et on place M à la moitié ; on code MR = MT).
Étape 3 : tracer le cercle de centre M et de rayon MR, c’est-à-dire le cercle de diamètre [RT], qui passe par R et par T.

Exercice 32 :

a. On reproduit le segment [AB] et le point C en reportant les longueurs à la règle ou au compas.

b. On prend au compas l’écartement AB, on pointe en C et on trace le cercle de centre C et de rayon AB.

c. On choisit un point D quelconque sur ce cercle.

d. Sans changer l’écartement AB, on pointe le compas en D et on trace deux arcs qui coupent le cercle : les deux points d’intersection sont E et F.

Justification : E et F sont à la distance AB du point D, donc DE = DF = AB, et ils sont bien sur le cercle de centre C. Les triangles CDE et CDF sont équilatéraux, car tous leurs côtés mesurent AB.

Bien travailler avec cercle 6e corrigé

Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec construction de figures géométriques : corrigé des exercices en 6ème en PDF.

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Couverture du livre Mathovore « Exercices corrigés de mathématiques 6e »

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